Theorem pthdifv 29697

Description: The vertices of a path are distinct (except the first and last vertex), so the restricted vertex function is one-to-one. (Contributed by AV, 2-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
pthdifv	⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝑃 ↾ (1...(♯‘𝐹))):(1...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺))

Proof of Theorem pthdifv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trliswlk 29662	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
2		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3	2	wlkp 29581	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
4		fz1ssfz0 13646	. . . . . . 7 ⊢ (1...(♯‘𝐹)) ⊆ (0...(♯‘𝐹))
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (1...(♯‘𝐹)) ⊆ (0...(♯‘𝐹)))
6	3, 5	fssresd 6756	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝑃 ↾ (1...(♯‘𝐹))):(1...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
7	1, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → (𝑃 ↾ (1...(♯‘𝐹))):(1...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
8	7	anim1i 615	. . 3 ⊢ ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1...(♯‘𝐹)))) → ((𝑃 ↾ (1...(♯‘𝐹))):(1...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1...(♯‘𝐹)))))
9	8	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1...(♯‘𝐹))) ∧ (𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑃 ↾ (1...(♯‘𝐹))):(1...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1...(♯‘𝐹)))))
10		dfpth2 29696	. 2 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1...(♯‘𝐹))) ∧ (𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))))
11		df-f1 6547	. 2 ⊢ ((𝑃 ↾ (1...(♯‘𝐹))):(1...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) ↔ ((𝑃 ↾ (1...(♯‘𝐹))):(1...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1...(♯‘𝐹)))))
12	9, 10, 11	3imtr4i 292	1 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝑃 ↾ (1...(♯‘𝐹))):(1...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∉ wnel 3035   ⊆ wss 3933   class class class wbr 5125  ^◡ccnv 5666   ↾ cres 5669   “ cima 5670  Fun wfun 6536  ⟶wf 6538  –1-1→wf1 6539  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11138  1c1 11139  ...cfz 13530  ..^cfzo 13677  ♯chash 14352  Vtxcvtx 28960  Walkscwlks 29561  Trailsctrls 29655  Pathscpths 29677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5261  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-op 4615  df-uni 4890  df-int 4929  df-iun 4975  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-tr 5242  df-id 5560  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6303  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7871  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8289  df-wrecs 8320  df-recs 8394  df-rdg 8433  df-1o 8489  df-er 8728  df-map 8851  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12250  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12862  df-fz 13531  df-fzo 13678  df-hash 14353  df-word 14536  df-wlks 29564  df-trls 29657  df-pths 29681

This theorem is referenced by:  cyclnumvtx  29767