Theorem pthdifv 29701

Description: The vertices of a path are distinct (except the first and last vertex), so the restricted vertex function is one-to-one. (Contributed by AV, 2-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
pthdifv	⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝑃 ↾ (1...(♯‘𝐹))):(1...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺))

Proof of Theorem pthdifv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trliswlk 29667	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
2		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3	2	wlkp 29588	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
4		fz1ssfz0 13515	. . . . . . 7 ⊢ (1...(♯‘𝐹)) ⊆ (0...(♯‘𝐹))
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (1...(♯‘𝐹)) ⊆ (0...(♯‘𝐹)))
6	3, 5	fssresd 6686	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝑃 ↾ (1...(♯‘𝐹))):(1...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
7	1, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → (𝑃 ↾ (1...(♯‘𝐹))):(1...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
8	7	anim1i 615	. . 3 ⊢ ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1...(♯‘𝐹)))) → ((𝑃 ↾ (1...(♯‘𝐹))):(1...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1...(♯‘𝐹)))))
9	8	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1...(♯‘𝐹))) ∧ (𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑃 ↾ (1...(♯‘𝐹))):(1...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1...(♯‘𝐹)))))
10		dfpth2 29700	. 2 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1...(♯‘𝐹))) ∧ (𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))))
11		df-f1 6482	. 2 ⊢ ((𝑃 ↾ (1...(♯‘𝐹))):(1...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) ↔ ((𝑃 ↾ (1...(♯‘𝐹))):(1...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1...(♯‘𝐹)))))
12	9, 10, 11	3imtr4i 292	1 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝑃 ↾ (1...(♯‘𝐹))):(1...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∉ wnel 3030   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5089  ^◡ccnv 5613   ↾ cres 5616   “ cima 5617  Fun wfun 6471  ⟶wf 6473  –1-1→wf1 6474  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  0cc0 10998  1c1 10999  ...cfz 13399  ..^cfzo 13546  ♯chash 14229  Vtxcvtx 28967  Walkscwlks 29568  Trailsctrls 29660  Pathscpths 29681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-map 8747  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-card 9824  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-nn 12118  df-n0 12374  df-z 12461  df-uz 12725  df-fz 13400  df-fzo 13547  df-hash 14230  df-word 14413  df-wlks 29571  df-trls 29662  df-pths 29685

This theorem is referenced by:  cyclnumvtx  29771