Theorem pthdifv 29693

Description: The vertices of a path are distinct (except the first and last vertex), so the restricted vertex function is one-to-one. (Contributed by AV, 2-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
pthdifv	⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝑃 ↾ (1...(♯‘𝐹))):(1...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺))

Proof of Theorem pthdifv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trliswlk 29659	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
2		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3	2	wlkp 29580	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
4		fz1ssfz0 13544	. . . . . . 7 ⊢ (1...(♯‘𝐹)) ⊆ (0...(♯‘𝐹))
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (1...(♯‘𝐹)) ⊆ (0...(♯‘𝐹)))
6	3, 5	fssresd 6695	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝑃 ↾ (1...(♯‘𝐹))):(1...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
7	1, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → (𝑃 ↾ (1...(♯‘𝐹))):(1...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
8	7	anim1i 615	. . 3 ⊢ ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1...(♯‘𝐹)))) → ((𝑃 ↾ (1...(♯‘𝐹))):(1...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1...(♯‘𝐹)))))
9	8	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1...(♯‘𝐹))) ∧ (𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑃 ↾ (1...(♯‘𝐹))):(1...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1...(♯‘𝐹)))))
10		dfpth2 29692	. 2 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1...(♯‘𝐹))) ∧ (𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))))
11		df-f1 6491	. 2 ⊢ ((𝑃 ↾ (1...(♯‘𝐹))):(1...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) ↔ ((𝑃 ↾ (1...(♯‘𝐹))):(1...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1...(♯‘𝐹)))))
12	9, 10, 11	3imtr4i 292	1 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝑃 ↾ (1...(♯‘𝐹))):(1...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∉ wnel 3029   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5095  ^◡ccnv 5622   ↾ cres 5625   “ cima 5626  Fun wfun 6480  ⟶wf 6482  –1-1→wf1 6483  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  0cc0 11028  1c1 11029  ...cfz 13428  ..^cfzo 13575  ♯chash 14255  Vtxcvtx 28959  Walkscwlks 29560  Trailsctrls 29652  Pathscpths 29673

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-hash 14256  df-word 14439  df-wlks 29563  df-trls 29654  df-pths 29677

This theorem is referenced by:  cyclnumvtx  29763