Theorem fz1ssfz0 13537

Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fz1ssfz0	⊢ (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁)

Proof of Theorem fz1ssfz0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1e0p1 12647	. . 3 ⊢ 1 = (0 + 1)
2	1	oveq1i 7366	. 2 ⊢ (1...𝑁) = ((0 + 1)...𝑁)
3		0z 12497	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		fzp1ss 13489	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℤ → ((0 + 1)...𝑁) ⊆ (0...𝑁))
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((0 + 1)...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
6	2, 5	eqsstri 3978	1 ⊢ (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁)

Syntax hints:   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3899  (class class class)co 7356  0cc0 11024  1c1 11025   + caddc 11027  ℤcz 12486  ...cfz 13421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422

This theorem is referenced by:  bcm1k  14236  bcpasc  14242  pfxfv0  14613  pfxfvlsw  14616  prmdvdsbc  16651  prmdiveq  16711  prmdivdiv  16712  efgsres  19665  efgredlemd  19671  efgredlem  19674  chfacfpmmulgsum2  22807  dvtaylp  26332  taylthlem2  26336  taylthlem2OLD  26337  pserdvlem2  26392  advlogexp  26618  wilthlem1  27032  basellem5  27049  pthdifv  29752  cyclnumvtx  29822  2clwwlk2clwwlk  30374  gsummulsubdishift1  33100  esplyind  33680  vietalem  33684  ballotlemodife  34604  ballotlemfrci  34634  ballotlemfrceq  34635  f1resfz0f1d  35257  pthhashvtx  35271  bcprod  35881  poimirlem1  37761  poimirlem2  37762  poimirlem6  37766  poimirlem14  37774  poimirlem15  37775  poimirlem31  37791  poimirlem32  37792  nnuzdisj  45542  stoweidlem26  46212  stoweidlem34  46220  etransclem24  46444  etransclem35  46455  stgredgiun  48146  stgrnbgr0  48152  isubgr3stgrlem7  48160