Theorem fz1ssfz0 13569

Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fz1ssfz0	⊢ (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁)

Proof of Theorem fz1ssfz0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1e0p1 12678	. . 3 ⊢ 1 = (0 + 1)
2	1	oveq1i 7367	. 2 ⊢ (1...𝑁) = ((0 + 1)...𝑁)
3		0z 12527	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		fzp1ss 13521	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℤ → ((0 + 1)...𝑁) ⊆ (0...𝑁))
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((0 + 1)...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
6	2, 5	eqsstri 3961	1 ⊢ (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁)

Syntax hints:   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3883  (class class class)co 7357  0cc0 11030  1c1 11031   + caddc 11033  ℤcz 12516  ...cfz 13453

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12167  df-n0 12430  df-z 12517  df-uz 12781  df-fz 13454

This theorem is referenced by:  bcm1k  14269  bcpasc  14275  pfxfv0  14646  pfxfvlsw  14649  prmdvdsbc  16688  prmdiveq  16748  prmdivdiv  16749  efgsres  19705  efgredlemd  19711  efgredlem  19714  chfacfpmmulgsum2  22849  dvtaylp  26354  taylthlem2  26358  pserdvlem2  26412  advlogexp  26638  wilthlem1  27050  basellem5  27067  pthdifv  29817  cyclnumvtx  29887  2clwwlk2clwwlk  30439  gsummulsubdishift1  33150  esplyind  33768  vietalem  33772  ballotlemodife  34691  ballotlemfrci  34721  ballotlemfrceq  34722  f1resfz0f1d  35351  pthhashvtx  35365  bcprod  35975  poimirlem1  37997  poimirlem2  37998  poimirlem6  38002  poimirlem14  38010  poimirlem15  38011  poimirlem31  38027  poimirlem32  38028  nnuzdisj  45808  stoweidlem26  46477  stoweidlem34  46485  etransclem24  46709  etransclem35  46720  stgredgiun  48457  stgrnbgr0  48463  isubgr3stgrlem7  48471