Theorem fz1ssfz0 13703

Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fz1ssfz0	⊢ (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁)

Proof of Theorem fz1ssfz0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1e0p1 12808	. . 3 ⊢ 1 = (0 + 1)
2	1	oveq1i 7426	. 2 ⊢ (1...𝑁) = ((0 + 1)...𝑁)
3		0z 12651	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		fzp1ss 13655	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℤ → ((0 + 1)...𝑁) ⊆ (0...𝑁))
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((0 + 1)...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
6	2, 5	eqsstri 3977	1 ⊢ (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁)

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  (class class class)co 7416  0cc0 11149  1c1 11150   + caddc 11152  ℤcz 12640  ...cfz 13586

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-er 8703  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12283  df-n0 12554  df-z 12641  df-uz 12913  df-fz 13587

This theorem is used by:  f1resfz0f1d  13873  bcm1k  14404  bcpasc  14410  pfxfv0  14786  pfxfvlsw  14789  prmdvdsbc  16842  prmdiveq  16902  prmdivdiv  16903  efgsres  19891  efgredlemd  19897  efgredlem  19900  chfacfpmmulgsum2  23122  dvtaylp  26638  taylthlem2  26642  pserdvlem2  26696  advlogexp  26924  wilthlem1  27336  basellem5  27353  pthhashvtx  30226  pthdifv  30227  cyclnumvtx  30299  2clwwlk2clwwlk  30862  gsummulsubdishift1  33540  esplyind  34118  vietalem  34122  ballotlemodife  35042  ballotlemfrci  35072  ballotlemfrceq  35073  bcprod  36400  poimirlem1  38435  poimirlem2  38436  poimirlem6  38440  poimirlem14  38448  poimirlem15  38449  poimirlem31  38465  poimirlem32  38466  nnuzdisj  46250  stoweidlem26  46919  stoweidlem34  46927  etransclem24  47151  etransclem35  47162  stgredgiun  48939  stgrnbgr0  48945  isubgr3stgrlem7  48953