Theorem fz1ssfz0 13781

Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fz1ssfz0	⊢ (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁)

Proof of Theorem fz1ssfz0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1e0p1 12885	. . 3 ⊢ 1 = (0 + 1)
2	1	oveq1i 7450	. 2 ⊢ (1...𝑁) = ((0 + 1)...𝑁)
3		0z 12728	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		fzp1ss 13733	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℤ → ((0 + 1)...𝑁) ⊆ (0...𝑁))
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((0 + 1)...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
6	2, 5	eqsstri 3959	1 ⊢ (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁)

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  (class class class)co 7440  0cc0 11224  1c1 11225   + caddc 11227  ℤcz 12717  ...cfz 13663

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-fz 13664

This theorem is used by:  f1resfz0f1d  13951  bcm1k  14483  bcpasc  14489  pfxfv0  14866  pfxfvlsw  14869  prmdvdsbc  16928  prmdiveq  16989  prmdivdiv  16990  efgsres  19979  efgredlemd  19985  efgredlem  19988  chfacfpmmulgsum2  23210  dvtaylp  26724  taylthlem2  26728  pserdvlem2  26782  advlogexp  27010  wilthlem1  27422  basellem5  27439  pthhashvtx  30342  pthdifv  30343  cyclnumvtx  30415  2clwwlk2clwwlk  30978  gsummulsubdishift1  33696  esplyind  34274  vietalem  34278  ballotlemodife  35197  ballotlemfrci  35227  ballotlemfrceq  35228  bcprod  36680  poimirlem1  38730  poimirlem2  38731  poimirlem6  38735  poimirlem14  38743  poimirlem15  38744  poimirlem31  38760  poimirlem32  38761  nnuzdisj  46570  stoweidlem26  47239  stoweidlem34  47247  etransclem24  47471  etransclem35  47482  stgredgiun  49259  stgrnbgr0  49265  isubgr3stgrlem7  49273