Theorem fz1ssfz0 12858

Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fz1ssfz0	⊢ (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁)

Proof of Theorem fz1ssfz0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1e0p1 11994	. . 3 ⊢ 1 = (0 + 1)
2	1	oveq1i 7031	. 2 ⊢ (1...𝑁) = ((0 + 1)...𝑁)
3		0z 11845	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		fzp1ss 12813	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℤ → ((0 + 1)...𝑁) ⊆ (0...𝑁))
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((0 + 1)...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
6	2, 5	eqsstri 3926	1 ⊢ (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁)

Syntax hints:   ∈ wcel 2081   ⊆ wss 3863  (class class class)co 7021  0cc0 10388  1c1 10389   + caddc 10391  ℤcz 11834  ...cfz 12747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-cnex 10444  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464  ax-pre-mulgt0 10465

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-uni 4750  df-iun 4831  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-pred 6028  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-om 7442  df-1st 7550  df-2nd 7551  df-wrecs 7803  df-recs 7865  df-rdg 7903  df-er 8144  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-xr 10530  df-ltxr 10531  df-le 10532  df-sub 10724  df-neg 10725  df-nn 11492  df-n0 11751  df-z 11835  df-uz 12099  df-fz 12748

This theorem is referenced by:  bcm1k  13530  bcpasc  13536  pfxfv0  13895  pfxfvlsw  13898  prmdiveq  15957  prmdivdiv  15958  efgsres  18596  efgredlemd  18602  efgredlem  18605  chfacfpmmulgsum2  21162  dvtaylp  24646  taylthlem2  24650  pserdvlem2  24704  advlogexp  24924  wilthlem1  25332  basellem5  25349  2clwwlk2clwwlk  27826  prmdvdsbc  30221  ballotlemodife  31377  ballotlemfrci  31407  ballotlemfrceq  31408  f1resfz0f1d  31980  pthhashvtx  31988  bcprod  32584  poimirlem1  34449  poimirlem2  34450  poimirlem6  34454  poimirlem14  34462  poimirlem15  34463  poimirlem31  34479  poimirlem32  34480  nnuzdisj  41189  stoweidlem26  41879  stoweidlem34  41887  etransclem24  42111  etransclem35  42122