MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fz1ssfz0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fz1ssfz0 13637
Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
fz1ssfz0 (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁)

Proof of Theorem fz1ssfz0
StepHypRef Expression
1 1e0p1 12757 . . 3 1 = (0 + 1)
21oveq1i 7436 . 2 (1...𝑁) = ((0 + 1)...𝑁)
3 0z 12607 . . 3 0 ∈ ℤ
4 fzp1ss 13592 . . 3 (0 ∈ ℤ → ((0 + 1)...𝑁) ⊆ (0...𝑁))
53, 4ax-mp 5 . 2 ((0 + 1)...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
62, 5eqsstri 4016 1 (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2098  wss 3949  (class class class)co 7426  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149  cz 12596  ...cfz 13524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525
This theorem is referenced by:  bcm1k  14314  bcpasc  14320  pfxfv0  14682  pfxfvlsw  14685  prmdvdsbc  16705  prmdiveq  16762  prmdivdiv  16763  efgsres  19700  efgredlemd  19706  efgredlem  19709  chfacfpmmulgsum2  22787  dvtaylp  26325  taylthlem2  26329  taylthlem2OLD  26330  pserdvlem2  26385  advlogexp  26609  wilthlem1  27020  basellem5  27037  2clwwlk2clwwlk  30180  ballotlemodife  34150  ballotlemfrci  34180  ballotlemfrceq  34181  f1resfz0f1d  34756  pthhashvtx  34770  bcprod  35365  poimirlem1  37127  poimirlem2  37128  poimirlem6  37132  poimirlem14  37140  poimirlem15  37141  poimirlem31  37157  poimirlem32  37158  nnuzdisj  44766  stoweidlem26  45443  stoweidlem34  45451  etransclem24  45675  etransclem35  45686
  Copyright terms: Public domain W3C validator