Theorem fz1ssfz0 13656

Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fz1ssfz0	⊢ (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁)

Proof of Theorem fz1ssfz0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1e0p1 12762	. . 3 ⊢ 1 = (0 + 1)
2	1	oveq1i 7420	. 2 ⊢ (1...𝑁) = ((0 + 1)...𝑁)
3		0z 12606	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		fzp1ss 13608	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℤ → ((0 + 1)...𝑁) ⊆ (0...𝑁))
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((0 + 1)...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
6	2, 5	eqsstri 3983	1 ⊢ (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁)

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3905  (class class class)co 7410  0cc0 11104  1c1 11105   + caddc 11107  ℤcz 12595  ...cfz 13539

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12867  df-fz 13540

This theorem is used by:  bcm1k  14356  bcpasc  14362  pfxfv0  14734  pfxfvlsw  14737  prmdvdsbc  16789  prmdiveq  16849  prmdivdiv  16850  efgsres  19812  efgredlemd  19818  efgredlem  19821  chfacfpmmulgsum2  23031  dvtaylp  26542  taylthlem2  26546  pserdvlem2  26600  advlogexp  26829  wilthlem1  27241  basellem5  27258  pthdifv  30088  cyclnumvtx  30158  2clwwlk2clwwlk  30710  gsummulsubdishift1  33397  esplyind  33974  vietalem  33978  ballotlemodife  34897  ballotlemfrci  34927  ballotlemfrceq  34928  f1resfz0f1d  35613  pthhashvtx  35628  bcprod  36238  poimirlem1  38300  poimirlem2  38301  poimirlem6  38305  poimirlem14  38313  poimirlem15  38314  poimirlem31  38330  poimirlem32  38331  nnuzdisj  46099  stoweidlem26  46768  stoweidlem34  46776  etransclem24  47000  etransclem35  47011  stgredgiun  48751  stgrnbgr0  48757  isubgr3stgrlem7  48765