Theorem qsqueeze 12935

Description: If a nonnegative real is less than any positive rational, it is zero. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
qsqueeze	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 → 𝐴 < 𝑥)) → 𝐴 = 0)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem qsqueeze

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 10977	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		ltnle 11054	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 0))
3	1, 2	mpan 687	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 0))
4		qbtwnre 12933	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴))
5	1, 4	mp3an1 1447	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴))
6	5	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴)))
7		qre 12693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ)
8		ltnsym 11073	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑥 → ¬ 𝑥 < 𝐴))
9	8	con2d 134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝐴 → ¬ 𝐴 < 𝑥))
10	7, 9	sylan2 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → (𝑥 < 𝐴 → ¬ 𝐴 < 𝑥))
11	10	anim2d 612	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → ((0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴) → (0 < 𝑥 ∧ ¬ 𝐴 < 𝑥)))
12	11	reximdva 3203	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 ∧ ¬ 𝐴 < 𝑥)))
13	6, 12	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 ∧ ¬ 𝐴 < 𝑥)))
14	3, 13	sylbird 259	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (¬ 𝐴 ≤ 0 → ∃𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 ∧ ¬ 𝐴 < 𝑥)))
15		rexanali 3192	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 ∧ ¬ 𝐴 < 𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 → 𝐴 < 𝑥))
16	14, 15	syl6ib 250	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (¬ 𝐴 ≤ 0 → ¬ ∀𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 → 𝐴 < 𝑥)))
17	16	con4d 115	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 → 𝐴 < 𝑥) → 𝐴 ≤ 0))
18	17	imp 407	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 → 𝐴 < 𝑥)) → 𝐴 ≤ 0)
19	18	3adant2 1130	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 → 𝐴 < 𝑥)) → 𝐴 ≤ 0)
20		letri3 11060	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 = 0 ↔ (𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐴)))
21	1, 20	mpan2 688	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 = 0 ↔ (𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐴)))
22	21	rbaibd 541	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 = 0 ↔ 𝐴 ≤ 0))
23	22	3adant3 1131	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 → 𝐴 < 𝑥)) → (𝐴 = 0 ↔ 𝐴 ≤ 0))
24	19, 23	mpbird 256	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 → 𝐴 < 𝑥)) → 𝐴 = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065   class class class wbr 5074  ℝcr 10870  0cc0 10871   < clt 11009   ≤ cle 11010  ℚcq 12688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689

This theorem is referenced by: (None)