Theorem qsqueeze 13218

Description: If a nonnegative real is less than any positive rational, it is zero. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
qsqueeze	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 → 𝐴 < 𝑥)) → 𝐴 = 0)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem qsqueeze

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11198	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		ltnle 11277	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 0))
3	1, 2	mpan 702	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 0))
4		qbtwnre 13216	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴))
5	1, 4	mp3an1 1472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴))
6	5	ex 417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴)))
7		qre 12968	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ)
8		ltnsym 11296	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑥 → ¬ 𝑥 < 𝐴))
9	8	con2d 135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝐴 → ¬ 𝐴 < 𝑥))
10	7, 9	sylan2 604	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → (𝑥 < 𝐴 → ¬ 𝐴 < 𝑥))
11	10	anim2d 623	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → ((0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴) → (0 < 𝑥 ∧ ¬ 𝐴 < 𝑥)))
12	11	reximdva 3178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 ∧ ¬ 𝐴 < 𝑥)))
13	6, 12	syld 48	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 ∧ ¬ 𝐴 < 𝑥)))
14	3, 13	sylbird 263	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (¬ 𝐴 ≤ 0 → ∃𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 ∧ ¬ 𝐴 < 𝑥)))
15		rexanali 3119	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 ∧ ¬ 𝐴 < 𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 → 𝐴 < 𝑥))
16	14, 15	imbitrdi 254	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (¬ 𝐴 ≤ 0 → ¬ ∀𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 → 𝐴 < 𝑥)))
17	16	con4d 116	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 → 𝐴 < 𝑥) → 𝐴 ≤ 0))
18	17	imp 411	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 → 𝐴 < 𝑥)) → 𝐴 ≤ 0)
19	18	3adant2 1147	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 → 𝐴 < 𝑥)) → 𝐴 ≤ 0)
20		letri3 11283	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 = 0 ↔ (𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐴)))
21	1, 20	mpan2 703	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 = 0 ↔ (𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐴)))
22	21	rbaibd 549	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 = 0 ↔ 𝐴 ≤ 0))
23	22	3adant3 1148	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 → 𝐴 < 𝑥)) → (𝐴 = 0 ↔ 𝐴 ≤ 0))
24	19, 23	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 → 𝐴 < 𝑥)) → 𝐴 = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   class class class wbr 5105  ℝcr 11087  0cc0 11088   < clt 11231   ≤ cle 11232  ℚcq 12963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-q 12964

This theorem is referenced by: (None)