Theorem qsqueeze 13184

Description: If a nonnegative real is less than any positive rational, it is zero. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
qsqueeze	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 → 𝐴 < 𝑥)) → 𝐴 = 0)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem qsqueeze

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11220	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		ltnle 11297	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 0))
3	1, 2	mpan 686	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 0))
4		qbtwnre 13182	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴))
5	1, 4	mp3an1 1446	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴))
6	5	ex 411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴)))
7		qre 12941	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ)
8		ltnsym 11316	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑥 → ¬ 𝑥 < 𝐴))
9	8	con2d 134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝐴 → ¬ 𝐴 < 𝑥))
10	7, 9	sylan2 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → (𝑥 < 𝐴 → ¬ 𝐴 < 𝑥))
11	10	anim2d 610	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → ((0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴) → (0 < 𝑥 ∧ ¬ 𝐴 < 𝑥)))
12	11	reximdva 3166	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 ∧ ¬ 𝐴 < 𝑥)))
13	6, 12	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 ∧ ¬ 𝐴 < 𝑥)))
14	3, 13	sylbird 259	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (¬ 𝐴 ≤ 0 → ∃𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 ∧ ¬ 𝐴 < 𝑥)))
15		rexanali 3100	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 ∧ ¬ 𝐴 < 𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 → 𝐴 < 𝑥))
16	14, 15	imbitrdi 250	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (¬ 𝐴 ≤ 0 → ¬ ∀𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 → 𝐴 < 𝑥)))
17	16	con4d 115	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 → 𝐴 < 𝑥) → 𝐴 ≤ 0))
18	17	imp 405	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 → 𝐴 < 𝑥)) → 𝐴 ≤ 0)
19	18	3adant2 1129	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 → 𝐴 < 𝑥)) → 𝐴 ≤ 0)
20		letri3 11303	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 = 0 ↔ (𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐴)))
21	1, 20	mpan2 687	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 = 0 ↔ (𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐴)))
22	21	rbaibd 539	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 = 0 ↔ 𝐴 ≤ 0))
23	22	3adant3 1130	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 → 𝐴 < 𝑥)) → (𝐴 = 0 ↔ 𝐴 ≤ 0))
24	19, 23	mpbird 256	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 → 𝐴 < 𝑥)) → 𝐴 = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ∀wral 3059  ∃wrex 3068   class class class wbr 5147  ℝcr 11111  0cc0 11112   < clt 11252   ≤ cle 11253  ℚcq 12936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937

This theorem is referenced by: (None)