Theorem qsqueeze 13245

Description: If a nonnegative real is less than any positive rational, it is zero. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
qsqueeze	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 → 𝐴 < 𝑥)) → 𝐴 = 0)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem qsqueeze

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11228	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		ltnle 11307	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 0))
3	1, 2	mpan 703	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 0))
4		qbtwnre 13243	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴))
5	1, 4	mp3an1 1477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴))
6	5	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴)))
7		qre 12995	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ)
8		ltnsym 11326	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑥 → ¬ 𝑥 < 𝐴))
9	8	con2d 135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝐴 → ¬ 𝐴 < 𝑥))
10	7, 9	sylan2 605	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → (𝑥 < 𝐴 → ¬ 𝐴 < 𝑥))
11	10	anim2d 624	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → ((0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴) → (0 < 𝑥 ∧ ¬ 𝐴 < 𝑥)))
12	11	reximdva 3181	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 ∧ ¬ 𝐴 < 𝑥)))
13	6, 12	syld 48	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 ∧ ¬ 𝐴 < 𝑥)))
14	3, 13	sylbird 263	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (¬ 𝐴 ≤ 0 → ∃𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 ∧ ¬ 𝐴 < 𝑥)))
15		rexanali 3122	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 ∧ ¬ 𝐴 < 𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 → 𝐴 < 𝑥))
16	14, 15	imbitrdi 254	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (¬ 𝐴 ≤ 0 → ¬ ∀𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 → 𝐴 < 𝑥)))
17	16	con4d 116	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 → 𝐴 < 𝑥) → 𝐴 ≤ 0))
18	17	imp 412	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 → 𝐴 < 𝑥)) → 𝐴 ≤ 0)
19	18	3adant2 1149	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 → 𝐴 < 𝑥)) → 𝐴 ≤ 0)
20		letri3 11313	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 = 0 ↔ (𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐴)))
21	1, 20	mpan2 704	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 = 0 ↔ (𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐴)))
22	21	rbaibd 550	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 = 0 ↔ 𝐴 ≤ 0))
23	22	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 → 𝐴 < 𝑥)) → (𝐴 = 0 ↔ 𝐴 ≤ 0))
24	19, 23	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 → 𝐴 < 𝑥)) → 𝐴 = 0)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082  ∃wrex 3092   class class class wbr 5114  ℝcr 11117  0cc0 11118   < clt 11261   ≤ cle 11262  ℚcq 12990

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-q 12991

This theorem is used by: (None)