Theorem flltp1 13750

Description: A basic property of the floor (greatest integer) function. (Contributed by NM, 24-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
flltp1	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1))

Proof of Theorem flltp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fllelt 13747	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
2	1	simprd 495	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℝcr 11028  1c1 11030   + caddc 11032   < clt 11170   ≤ cle 11171  ⌊cfl 13740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fl 13742

This theorem is referenced by:  fllep1  13751  fraclt1  13752  flge  13755  flflp1  13757  fladdz  13775  flhalf  13780  ceim1l  13797  expnbnd  14185  efcllem  16033  bitscmp  16398  1arith  16889  zcld  24789  lebnumii  24943  lmnn  25240  vitalilem4  25588  bposlem1  27261  lgsquadlem1  27357  chebbnd1lem2  27447  dchrisumlem3  27468  pntrlog2bndlem2  27555  pntrlog2bndlem4  27557  pntlemh  27576  ostth2lem3  27612  minvecolem3  30962  dya2ub  34430  dnibndlem5  36758  ltflcei  37943  cntotbnd  38131  aks6d1c2  42583  pellexlem5  43279  recnnltrp  45824  rpgtrecnn  45827  ioodvbdlimc1lem2  46378  ioodvbdlimc2lem  46380  fourierdlem4  46557  fourierdlem47  46599  fourierdlem65  46617  fllogbd  49048  nnpw2blen  49068  dignn0ldlem  49090