Theorem flge0nn0 13540

Description: The floor of a number greater than or equal to 0 is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
flge0nn0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem flge0nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcl 13515	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
2	1	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
3		0z 12330	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		flge 13525	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (⌊‘𝐴)))
5	3, 4	mpan2 688	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (⌊‘𝐴)))
6	5	biimpa 477	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (⌊‘𝐴))
7		elnn0z 12332	. 2 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘𝐴)))
8	2, 6, 7	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  ℝcr 10870  0cc0 10871   ≤ cle 11010  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ⌊cfl 13510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fl 13512

This theorem is referenced by:  fldivnn0  13542  expnbnd  13947  facavg  14015  o1fsum  15525  efcllem  15787  odzdvds  16496  prmreclem3  16619  1arith  16628  odmodnn0  19148  lebnumii  24129  lmnn  24427  vitalilem4  24775  mbfi1fseqlem1  24880  mbfi1fseqlem3  24882  mbfi1fseqlem5  24884  harmoniclbnd  26158  harmonicbnd4  26160  fsumharmonic  26161  ppiltx  26326  logfac2  26365  chpval2  26366  chpchtsum  26367  chpub  26368  logfaclbnd  26370  logfacbnd3  26371  logfacrlim  26372  bposlem1  26432  gausslemma2dlem0d  26507  lgsquadlem2  26529  chtppilimlem1  26621  vmadivsum  26630  rpvmasumlem  26635  dchrisumlema  26636  dchrisumlem1  26637  dchrisum0lem1b  26663  dchrisum0lem1  26664  dchrisum0lem2a  26665  dchrisum0lem3  26667  mudivsum  26678  mulogsumlem  26679  selberglem2  26694  selberg2lem  26698  pntrsumo1  26713  pntrlog2bndlem2  26726  pntrlog2bndlem4  26728  pntrlog2bndlem6a  26730  pntpbnd1  26734  pntpbnd2  26735  pntlemg  26746  pntlemj  26751  pntlemf  26753  ostth2lem2  26782  ostth2lem3  26783  minvecolem3  29238  minvecolem4  29242  itg2addnclem2  35829  irrapxlem4  40647  irrapxlem5  40648  recnnltrp  42916  rpgtrecnn  42919  ioodvbdlimc1lem2  43473  ioodvbdlimc2lem  43475  fourierdlem47  43694  vonioolem1  44218  fllog2  45914  blennnelnn  45922  dignnld  45949  dignn0flhalf  45964