Theorem flge0nn0 13752

Description: The floor of a number greater than or equal to 0 is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
flge0nn0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem flge0nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcl 13727	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
2	1	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
3		0z 12511	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		flge 13737	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (⌊‘𝐴)))
5	3, 4	mpan2 692	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (⌊‘𝐴)))
6	5	biimpa 476	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (⌊‘𝐴))
7		elnn0z 12513	. 2 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘𝐴)))
8	2, 6, 7	sylanbrc 584	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  ℝcr 11037  0cc0 11038   ≤ cle 11179  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12500  ⌊cfl 13722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fl 13724

This theorem is referenced by:  fldivnn0  13754  expnbnd  14167  facavg  14236  o1fsum  15748  efcllem  16012  odzdvds  16735  prmreclem3  16858  1arith  16867  odmodnn0  19481  lebnumii  24933  lmnn  25231  vitalilem4  25580  mbfi1fseqlem1  25684  mbfi1fseqlem3  25686  mbfi1fseqlem5  25688  harmoniclbnd  26987  harmonicbnd4  26989  fsumharmonic  26990  ppiltx  27155  logfac2  27196  chpval2  27197  chpchtsum  27198  chpub  27199  logfaclbnd  27201  logfacbnd3  27202  logfacrlim  27203  bposlem1  27263  gausslemma2dlem0d  27338  lgsquadlem2  27360  chtppilimlem1  27452  vmadivsum  27461  rpvmasumlem  27466  dchrisumlema  27467  dchrisumlem1  27468  dchrisum0lem1b  27494  dchrisum0lem1  27495  dchrisum0lem2a  27496  dchrisum0lem3  27498  mudivsum  27509  mulogsumlem  27510  selberglem2  27525  selberg2lem  27529  pntrsumo1  27544  pntrlog2bndlem2  27557  pntrlog2bndlem4  27559  pntrlog2bndlem6a  27561  pntpbnd1  27565  pntpbnd2  27566  pntlemg  27577  pntlemj  27582  pntlemf  27584  ostth2lem2  27613  ostth2lem3  27614  minvecolem3  30963  minvecolem4  30967  itg2addnclem2  37920  irrapxlem4  43179  irrapxlem5  43180  recnnltrp  45732  rpgtrecnn  45735  ioodvbdlimc1lem2  46287  ioodvbdlimc2lem  46289  fourierdlem47  46508  vonioolem1  47035  fllog2  48925  blennnelnn  48933  dignnld  48960  dignn0flhalf  48975