Theorem flge0nn0 13857

Description: The floor of a number greater than or equal to 0 is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
flge0nn0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem flge0nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcl 13832	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
2	1	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
3		0z 12622	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		flge 13842	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (⌊‘𝐴)))
5	3, 4	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (⌊‘𝐴)))
6	5	biimpa 476	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (⌊‘𝐴))
7		elnn0z 12624	. 2 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘𝐴)))
8	2, 6, 7	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  ℝcr 11152  0cc0 11153   ≤ cle 11294  ℕ₀cn0 12524  ℤcz 12611  ⌊cfl 13827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fl 13829

This theorem is referenced by:  fldivnn0  13859  expnbnd  14268  facavg  14337  o1fsum  15846  efcllem  16110  odzdvds  16829  prmreclem3  16952  1arith  16961  odmodnn0  19573  lebnumii  25012  lmnn  25311  vitalilem4  25660  mbfi1fseqlem1  25765  mbfi1fseqlem3  25767  mbfi1fseqlem5  25769  harmoniclbnd  27067  harmonicbnd4  27069  fsumharmonic  27070  ppiltx  27235  logfac2  27276  chpval2  27277  chpchtsum  27278  chpub  27279  logfaclbnd  27281  logfacbnd3  27282  logfacrlim  27283  bposlem1  27343  gausslemma2dlem0d  27418  lgsquadlem2  27440  chtppilimlem1  27532  vmadivsum  27541  rpvmasumlem  27546  dchrisumlema  27547  dchrisumlem1  27548  dchrisum0lem1b  27574  dchrisum0lem1  27575  dchrisum0lem2a  27576  dchrisum0lem3  27578  mudivsum  27589  mulogsumlem  27590  selberglem2  27605  selberg2lem  27609  pntrsumo1  27624  pntrlog2bndlem2  27637  pntrlog2bndlem4  27639  pntrlog2bndlem6a  27641  pntpbnd1  27645  pntpbnd2  27646  pntlemg  27657  pntlemj  27662  pntlemf  27664  ostth2lem2  27693  ostth2lem3  27694  minvecolem3  30905  minvecolem4  30909  itg2addnclem2  37659  irrapxlem4  42813  irrapxlem5  42814  recnnltrp  45327  rpgtrecnn  45330  ioodvbdlimc1lem2  45888  ioodvbdlimc2lem  45890  fourierdlem47  46109  vonioolem1  46636  fllog2  48418  blennnelnn  48426  dignnld  48453  dignn0flhalf  48468