Theorem flge0nn0 13849

Description: The floor of a number greater than or equal to 0 is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
flge0nn0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem flge0nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcl 13824	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
2	1	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
3		0z 12598	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		flge 13834	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (⌊‘𝐴)))
5	3, 4	mpan2 703	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (⌊‘𝐴)))
6	5	biimpa 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (⌊‘𝐴))
7		elnn0z 12600	. 2 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘𝐴)))
8	2, 6, 7	sylanbrc 594	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5110  ‘cfv 6533  ℝcr 11095  0cc0 11096   ≤ cle 11240  ℕ₀cn0 12500  ℤcz 12587  ⌊cfl 13819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-fl 13821

This theorem is referenced by:  fldivnn0  13851  expnbnd  14264  facavg  14333  o1fsum  15861  efcllem  16127  odzdvds  16851  prmreclem3  16974  1arith  16983  odmodnn0  19606  lebnumii  25090  lmnn  25387  vitalilem4  25735  mbfi1fseqlem1  25839  mbfi1fseqlem3  25841  mbfi1fseqlem5  25843  harmoniclbnd  27135  harmonicbnd4  27137  fsumharmonic  27138  ppiltx  27303  logfac2  27343  chpval2  27344  chpchtsum  27345  chpub  27346  logfaclbnd  27348  logfacbnd3  27349  logfacrlim  27350  bposlem1  27410  gausslemma2dlem0d  27485  lgsquadlem2  27507  chtppilimlem1  27599  vmadivsum  27608  rpvmasumlem  27613  dchrisumlema  27614  dchrisumlem1  27615  dchrisum0lem1b  27641  dchrisum0lem1  27642  dchrisum0lem2a  27643  dchrisum0lem3  27645  mudivsum  27656  mulogsumlem  27657  selberglem2  27672  selberg2lem  27676  pntrsumo1  27691  pntrlog2bndlem2  27704  pntrlog2bndlem4  27706  pntrlog2bndlem6a  27708  pntpbnd1  27712  pntpbnd2  27713  pntlemg  27724  pntlemj  27729  pntlemf  27731  ostth2lem2  27760  ostth2lem3  27761  minvecolem3  31165  minvecolem4  31169  itg2addnclem2  38206  irrapxlem4  43437  irrapxlem5  43438  recnnltrp  45977  rpgtrecnn  45980  ioodvbdlimc1lem2  46531  ioodvbdlimc2lem  46533  fourierdlem47  46752  vonioolem1  47279  fllog2  49226  blennnelnn  49234  dignnld  49261  dignn0flhalf  49276