Theorem flge0nn0 13731

Description: The floor of a number greater than or equal to 0 is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
flge0nn0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem flge0nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcl 13706	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
2	1	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
3		0z 12490	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		flge 13716	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (⌊‘𝐴)))
5	3, 4	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (⌊‘𝐴)))
6	5	biimpa 476	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (⌊‘𝐴))
7		elnn0z 12492	. 2 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘𝐴)))
8	2, 6, 7	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5095  ‘cfv 6489  ℝcr 11016  0cc0 11017   ≤ cle 11158  ℕ₀cn0 12392  ℤcz 12479  ⌊cfl 13701

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-pre-sup 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9337  df-inf 9338  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-n0 12393  df-z 12480  df-uz 12743  df-fl 13703

This theorem is referenced by:  fldivnn0  13733  expnbnd  14146  facavg  14215  o1fsum  15727  efcllem  15991  odzdvds  16714  prmreclem3  16837  1arith  16846  odmodnn0  19460  lebnumii  24912  lmnn  25210  vitalilem4  25559  mbfi1fseqlem1  25663  mbfi1fseqlem3  25665  mbfi1fseqlem5  25667  harmoniclbnd  26966  harmonicbnd4  26968  fsumharmonic  26969  ppiltx  27134  logfac2  27175  chpval2  27176  chpchtsum  27177  chpub  27178  logfaclbnd  27180  logfacbnd3  27181  logfacrlim  27182  bposlem1  27242  gausslemma2dlem0d  27317  lgsquadlem2  27339  chtppilimlem1  27431  vmadivsum  27440  rpvmasumlem  27445  dchrisumlema  27446  dchrisumlem1  27447  dchrisum0lem1b  27473  dchrisum0lem1  27474  dchrisum0lem2a  27475  dchrisum0lem3  27477  mudivsum  27488  mulogsumlem  27489  selberglem2  27504  selberg2lem  27508  pntrsumo1  27523  pntrlog2bndlem2  27536  pntrlog2bndlem4  27538  pntrlog2bndlem6a  27540  pntpbnd1  27544  pntpbnd2  27545  pntlemg  27556  pntlemj  27561  pntlemf  27563  ostth2lem2  27592  ostth2lem3  27593  minvecolem3  30877  minvecolem4  30881  itg2addnclem2  37785  irrapxlem4  42982  irrapxlem5  42983  recnnltrp  45537  rpgtrecnn  45540  ioodvbdlimc1lem2  46092  ioodvbdlimc2lem  46094  fourierdlem47  46313  vonioolem1  46840  fllog2  48730  blennnelnn  48738  dignnld  48765  dignn0flhalf  48780