Theorem flge0nn0 13792

Description: The floor of a number greater than or equal to 0 is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
flge0nn0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem flge0nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcl 13767	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
2	1	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
3		0z 12576	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		flge 13777	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (⌊‘𝐴)))
5	3, 4	mpan2 688	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (⌊‘𝐴)))
6	5	biimpa 476	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (⌊‘𝐴))
7		elnn0z 12578	. 2 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘𝐴)))
8	2, 6, 7	sylanbrc 582	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  ℝcr 11115  0cc0 11116   ≤ cle 11256  ℕ₀cn0 12479  ℤcz 12565  ⌊cfl 13762

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9443  df-inf 9444  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-fl 13764

This theorem is referenced by:  fldivnn0  13794  expnbnd  14202  facavg  14268  o1fsum  15766  efcllem  16028  odzdvds  16735  prmreclem3  16858  1arith  16867  odmodnn0  19456  lebnumii  24813  lmnn  25112  vitalilem4  25461  mbfi1fseqlem1  25566  mbfi1fseqlem3  25568  mbfi1fseqlem5  25570  harmoniclbnd  26856  harmonicbnd4  26858  fsumharmonic  26859  ppiltx  27024  logfac2  27065  chpval2  27066  chpchtsum  27067  chpub  27068  logfaclbnd  27070  logfacbnd3  27071  logfacrlim  27072  bposlem1  27132  gausslemma2dlem0d  27207  lgsquadlem2  27229  chtppilimlem1  27321  vmadivsum  27330  rpvmasumlem  27335  dchrisumlema  27336  dchrisumlem1  27337  dchrisum0lem1b  27363  dchrisum0lem1  27364  dchrisum0lem2a  27365  dchrisum0lem3  27367  mudivsum  27378  mulogsumlem  27379  selberglem2  27394  selberg2lem  27398  pntrsumo1  27413  pntrlog2bndlem2  27426  pntrlog2bndlem4  27428  pntrlog2bndlem6a  27430  pntpbnd1  27434  pntpbnd2  27435  pntlemg  27446  pntlemj  27451  pntlemf  27453  ostth2lem2  27482  ostth2lem3  27483  minvecolem3  30564  minvecolem4  30568  itg2addnclem2  37007  irrapxlem4  42029  irrapxlem5  42030  recnnltrp  44549  rpgtrecnn  44552  ioodvbdlimc1lem2  45110  ioodvbdlimc2lem  45112  fourierdlem47  45331  vonioolem1  45858  fllog2  47419  blennnelnn  47427  dignnld  47454  dignn0flhalf  47469