Theorem flge0nn0 13184

Description: The floor of a number greater than or equal to 0 is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
flge0nn0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem flge0nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcl 13159	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
2	1	adantr 483	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
3		0z 11986	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		flge 13169	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (⌊‘𝐴)))
5	3, 4	mpan2 689	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (⌊‘𝐴)))
6	5	biimpa 479	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (⌊‘𝐴))
7		elnn0z 11988	. 2 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘𝐴)))
8	2, 6, 7	sylanbrc 585	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5058  ‘cfv 6349  ℝcr 10530  0cc0 10531   ≤ cle 10670  ℕ₀cn0 11891  ℤcz 11975  ⌊cfl 13154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-sup 8900  df-inf 8901  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fl 13156

This theorem is referenced by:  fldivnn0  13186  expnbnd  13587  facavg  13655  o1fsum  15162  efcllem  15425  odzdvds  16126  prmreclem3  16248  1arith  16257  odmodnn0  18662  lebnumii  23564  lmnn  23860  vitalilem4  24206  mbfi1fseqlem1  24310  mbfi1fseqlem3  24312  mbfi1fseqlem5  24314  harmoniclbnd  25580  harmonicbnd4  25582  fsumharmonic  25583  ppiltx  25748  logfac2  25787  chpval2  25788  chpchtsum  25789  chpub  25790  logfaclbnd  25792  logfacbnd3  25793  logfacrlim  25794  bposlem1  25854  gausslemma2dlem0d  25929  lgsquadlem2  25951  chtppilimlem1  26043  vmadivsum  26052  rpvmasumlem  26057  dchrisumlema  26058  dchrisumlem1  26059  dchrisum0lem1b  26085  dchrisum0lem1  26086  dchrisum0lem2a  26087  dchrisum0lem3  26089  mudivsum  26100  mulogsumlem  26101  selberglem2  26116  selberg2lem  26120  pntrsumo1  26135  pntrlog2bndlem2  26148  pntrlog2bndlem4  26150  pntrlog2bndlem6a  26152  pntpbnd1  26156  pntpbnd2  26157  pntlemg  26168  pntlemj  26173  pntlemf  26175  ostth2lem2  26204  ostth2lem3  26205  minvecolem3  28647  minvecolem4  28651  itg2addnclem2  34938  irrapxlem4  39415  irrapxlem5  39416  recnnltrp  41638  rpgtrecnn  41642  ioodvbdlimc1lem2  42210  ioodvbdlimc2lem  42212  fourierdlem47  42432  vonioolem1  42956  fllog2  44622  blennnelnn  44630  dignnld  44657  dignn0flhalf  44672