MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flge0nn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flge0nn0 13731
Description: The floor of a number greater than or equal to 0 is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
flge0nn0 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem flge0nn0
StepHypRef Expression
1 flcl 13706 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
21adantr 482 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
3 0z 12515 . . . 4 0 ∈ ℤ
4 flge 13716 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (⌊‘𝐴)))
53, 4mpan2 690 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (⌊‘𝐴)))
65biimpa 478 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (⌊‘𝐴))
7 elnn0z 12517 . 2 ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘𝐴)))
82, 6, 7sylanbrc 584 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wcel 2107   class class class wbr 5106  cfv 6497  cr 11055  0cc0 11056  cle 11195  0cn0 12418  cz 12504  cfl 13701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fl 13703
This theorem is referenced by:  fldivnn0  13733  expnbnd  14141  facavg  14207  o1fsum  15703  efcllem  15965  odzdvds  16672  prmreclem3  16795  1arith  16804  odmodnn0  19327  lebnumii  24345  lmnn  24643  vitalilem4  24991  mbfi1fseqlem1  25096  mbfi1fseqlem3  25098  mbfi1fseqlem5  25100  harmoniclbnd  26374  harmonicbnd4  26376  fsumharmonic  26377  ppiltx  26542  logfac2  26581  chpval2  26582  chpchtsum  26583  chpub  26584  logfaclbnd  26586  logfacbnd3  26587  logfacrlim  26588  bposlem1  26648  gausslemma2dlem0d  26723  lgsquadlem2  26745  chtppilimlem1  26837  vmadivsum  26846  rpvmasumlem  26851  dchrisumlema  26852  dchrisumlem1  26853  dchrisum0lem1b  26879  dchrisum0lem1  26880  dchrisum0lem2a  26881  dchrisum0lem3  26883  mudivsum  26894  mulogsumlem  26895  selberglem2  26910  selberg2lem  26914  pntrsumo1  26929  pntrlog2bndlem2  26942  pntrlog2bndlem4  26944  pntrlog2bndlem6a  26946  pntpbnd1  26950  pntpbnd2  26951  pntlemg  26962  pntlemj  26967  pntlemf  26969  ostth2lem2  26998  ostth2lem3  26999  minvecolem3  29860  minvecolem4  29864  itg2addnclem2  36176  irrapxlem4  41191  irrapxlem5  41192  recnnltrp  43698  rpgtrecnn  43701  ioodvbdlimc1lem2  44259  ioodvbdlimc2lem  44261  fourierdlem47  44480  vonioolem1  45007  fllog2  46740  blennnelnn  46748  dignnld  46775  dignn0flhalf  46790
  Copyright terms: Public domain W3C validator