Theorem flge0nn0 13741

Description: The floor of a number greater than or equal to 0 is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
flge0nn0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem flge0nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcl 13716	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
2	1	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
3		0z 12500	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		flge 13726	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (⌊‘𝐴)))
5	3, 4	mpan2 692	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (⌊‘𝐴)))
6	5	biimpa 476	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (⌊‘𝐴))
7		elnn0z 12502	. 2 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘𝐴)))
8	2, 6, 7	sylanbrc 584	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ‘cfv 6490  ℝcr 11026  0cc0 11027   ≤ cle 11168  ℕ₀cn0 12402  ℤcz 12489  ⌊cfl 13711

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9346  df-inf 9347  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12753  df-fl 13713

This theorem is referenced by:  fldivnn0  13743  expnbnd  14156  facavg  14225  o1fsum  15737  efcllem  16001  odzdvds  16724  prmreclem3  16847  1arith  16856  odmodnn0  19473  lebnumii  24911  lmnn  25208  vitalilem4  25556  mbfi1fseqlem1  25660  mbfi1fseqlem3  25662  mbfi1fseqlem5  25664  harmoniclbnd  26959  harmonicbnd4  26961  fsumharmonic  26962  ppiltx  27127  logfac2  27168  chpval2  27169  chpchtsum  27170  chpub  27171  logfaclbnd  27173  logfacbnd3  27174  logfacrlim  27175  bposlem1  27235  gausslemma2dlem0d  27310  lgsquadlem2  27332  chtppilimlem1  27424  vmadivsum  27433  rpvmasumlem  27438  dchrisumlema  27439  dchrisumlem1  27440  dchrisum0lem1b  27466  dchrisum0lem1  27467  dchrisum0lem2a  27468  dchrisum0lem3  27470  mudivsum  27481  mulogsumlem  27482  selberglem2  27497  selberg2lem  27501  pntrsumo1  27516  pntrlog2bndlem2  27529  pntrlog2bndlem4  27531  pntrlog2bndlem6a  27533  pntpbnd1  27537  pntpbnd2  27538  pntlemg  27549  pntlemj  27554  pntlemf  27556  ostth2lem2  27585  ostth2lem3  27586  minvecolem3  30936  minvecolem4  30940  itg2addnclem2  37984  irrapxlem4  43256  irrapxlem5  43257  recnnltrp  45809  rpgtrecnn  45812  ioodvbdlimc1lem2  46364  ioodvbdlimc2lem  46366  fourierdlem47  46585  vonioolem1  47112  fllog2  49002  blennnelnn  49010  dignnld  49037  dignn0flhalf  49052