Theorem flge0nn0 13770

Description: The floor of a number greater than or equal to 0 is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
flge0nn0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem flge0nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcl 13745	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
2	1	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
3		0z 12526	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		flge 13755	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (⌊‘𝐴)))
5	3, 4	mpan2 692	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (⌊‘𝐴)))
6	5	biimpa 476	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (⌊‘𝐴))
7		elnn0z 12528	. 2 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘𝐴)))
8	2, 6, 7	sylanbrc 584	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  ℝcr 11028  0cc0 11029   ≤ cle 11171  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ⌊cfl 13740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fl 13742

This theorem is referenced by:  fldivnn0  13772  expnbnd  14185  facavg  14254  o1fsum  15767  efcllem  16033  odzdvds  16757  prmreclem3  16880  1arith  16889  odmodnn0  19506  lebnumii  24943  lmnn  25240  vitalilem4  25588  mbfi1fseqlem1  25692  mbfi1fseqlem3  25694  mbfi1fseqlem5  25696  harmoniclbnd  26986  harmonicbnd4  26988  fsumharmonic  26989  ppiltx  27154  logfac2  27194  chpval2  27195  chpchtsum  27196  chpub  27197  logfaclbnd  27199  logfacbnd3  27200  logfacrlim  27201  bposlem1  27261  gausslemma2dlem0d  27336  lgsquadlem2  27358  chtppilimlem1  27450  vmadivsum  27459  rpvmasumlem  27464  dchrisumlema  27465  dchrisumlem1  27466  dchrisum0lem1b  27492  dchrisum0lem1  27493  dchrisum0lem2a  27494  dchrisum0lem3  27496  mudivsum  27507  mulogsumlem  27508  selberglem2  27523  selberg2lem  27527  pntrsumo1  27542  pntrlog2bndlem2  27555  pntrlog2bndlem4  27557  pntrlog2bndlem6a  27559  pntpbnd1  27563  pntpbnd2  27564  pntlemg  27575  pntlemj  27580  pntlemf  27582  ostth2lem2  27611  ostth2lem3  27612  minvecolem3  30962  minvecolem4  30966  itg2addnclem2  38007  irrapxlem4  43271  irrapxlem5  43272  recnnltrp  45824  rpgtrecnn  45827  ioodvbdlimc1lem2  46378  ioodvbdlimc2lem  46380  fourierdlem47  46599  vonioolem1  47126  fllog2  49056  blennnelnn  49064  dignnld  49091  dignn0flhalf  49106