Theorem flge0nn0 13742

Description: The floor of a number greater than or equal to 0 is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
flge0nn0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem flge0nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcl 13717	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
2	1	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
3		0z 12500	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		flge 13727	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (⌊‘𝐴)))
5	3, 4	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (⌊‘𝐴)))
6	5	biimpa 476	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (⌊‘𝐴))
7		elnn0z 12502	. 2 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘𝐴)))
8	2, 6, 7	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  ℝcr 11027  0cc0 11028   ≤ cle 11169  ℕ₀cn0 12402  ℤcz 12489  ⌊cfl 13712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9351  df-inf 9352  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-fl 13714

This theorem is referenced by:  fldivnn0  13744  expnbnd  14157  facavg  14226  o1fsum  15738  efcllem  16002  odzdvds  16725  prmreclem3  16848  1arith  16857  odmodnn0  19437  lebnumii  24881  lmnn  25179  vitalilem4  25528  mbfi1fseqlem1  25632  mbfi1fseqlem3  25634  mbfi1fseqlem5  25636  harmoniclbnd  26935  harmonicbnd4  26937  fsumharmonic  26938  ppiltx  27103  logfac2  27144  chpval2  27145  chpchtsum  27146  chpub  27147  logfaclbnd  27149  logfacbnd3  27150  logfacrlim  27151  bposlem1  27211  gausslemma2dlem0d  27286  lgsquadlem2  27308  chtppilimlem1  27400  vmadivsum  27409  rpvmasumlem  27414  dchrisumlema  27415  dchrisumlem1  27416  dchrisum0lem1b  27442  dchrisum0lem1  27443  dchrisum0lem2a  27444  dchrisum0lem3  27446  mudivsum  27457  mulogsumlem  27458  selberglem2  27473  selberg2lem  27477  pntrsumo1  27492  pntrlog2bndlem2  27505  pntrlog2bndlem4  27507  pntrlog2bndlem6a  27509  pntpbnd1  27513  pntpbnd2  27514  pntlemg  27525  pntlemj  27530  pntlemf  27532  ostth2lem2  27561  ostth2lem3  27562  minvecolem3  30838  minvecolem4  30842  itg2addnclem2  37654  irrapxlem4  42801  irrapxlem5  42802  recnnltrp  45360  rpgtrecnn  45363  ioodvbdlimc1lem2  45917  ioodvbdlimc2lem  45919  fourierdlem47  46138  vonioolem1  46665  fllog2  48557  blennnelnn  48565  dignnld  48592  dignn0flhalf  48607