Theorem flge0nn0 13735

Description: The floor of a number greater than or equal to 0 is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
flge0nn0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem flge0nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcl 13710	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
2	1	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
3		0z 12519	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		flge 13720	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (⌊‘𝐴)))
5	3, 4	mpan2 689	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (⌊‘𝐴)))
6	5	biimpa 477	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (⌊‘𝐴))
7		elnn0z 12521	. 2 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘𝐴)))
8	2, 6, 7	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5110  ‘cfv 6501  ℝcr 11059  0cc0 11060   ≤ cle 11199  ℕ₀cn0 12422  ℤcz 12508  ⌊cfl 13705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137  ax-pre-sup 11138

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9387  df-inf 9388  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-nn 12163  df-n0 12423  df-z 12509  df-uz 12773  df-fl 13707

This theorem is referenced by:  fldivnn0  13737  expnbnd  14145  facavg  14211  o1fsum  15709  efcllem  15971  odzdvds  16678  prmreclem3  16801  1arith  16810  odmodnn0  19336  lebnumii  24366  lmnn  24664  vitalilem4  25012  mbfi1fseqlem1  25117  mbfi1fseqlem3  25119  mbfi1fseqlem5  25121  harmoniclbnd  26395  harmonicbnd4  26397  fsumharmonic  26398  ppiltx  26563  logfac2  26602  chpval2  26603  chpchtsum  26604  chpub  26605  logfaclbnd  26607  logfacbnd3  26608  logfacrlim  26609  bposlem1  26669  gausslemma2dlem0d  26744  lgsquadlem2  26766  chtppilimlem1  26858  vmadivsum  26867  rpvmasumlem  26872  dchrisumlema  26873  dchrisumlem1  26874  dchrisum0lem1b  26900  dchrisum0lem1  26901  dchrisum0lem2a  26902  dchrisum0lem3  26904  mudivsum  26915  mulogsumlem  26916  selberglem2  26931  selberg2lem  26935  pntrsumo1  26950  pntrlog2bndlem2  26963  pntrlog2bndlem4  26965  pntrlog2bndlem6a  26967  pntpbnd1  26971  pntpbnd2  26972  pntlemg  26983  pntlemj  26988  pntlemf  26990  ostth2lem2  27019  ostth2lem3  27020  minvecolem3  29881  minvecolem4  29885  itg2addnclem2  36203  irrapxlem4  41206  irrapxlem5  41207  recnnltrp  43732  rpgtrecnn  43735  ioodvbdlimc1lem2  44293  ioodvbdlimc2lem  44295  fourierdlem47  44514  vonioolem1  45041  fllog2  46774  blennnelnn  46782  dignnld  46809  dignn0flhalf  46824