Theorem flge0nn0 13252

Description: The floor of a number greater than or equal to 0 is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
flge0nn0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem flge0nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcl 13227	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
2	1	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
3		0z 12044	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		flge 13237	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (⌊‘𝐴)))
5	3, 4	mpan2 690	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (⌊‘𝐴)))
6	5	biimpa 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (⌊‘𝐴))
7		elnn0z 12046	. 2 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘𝐴)))
8	2, 6, 7	sylanbrc 586	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5036  ‘cfv 6340  ℝcr 10587  0cc0 10588   ≤ cle 10727  ℕ₀cn0 11947  ℤcz 12033  ⌊cfl 13222

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-er 8305  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-sup 8952  df-inf 8953  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-n0 11948  df-z 12034  df-uz 12296  df-fl 13224

This theorem is referenced by:  fldivnn0  13254  expnbnd  13656  facavg  13724  o1fsum  15229  efcllem  15492  odzdvds  16201  prmreclem3  16323  1arith  16332  odmodnn0  18749  lebnumii  23681  lmnn  23977  vitalilem4  24325  mbfi1fseqlem1  24429  mbfi1fseqlem3  24431  mbfi1fseqlem5  24433  harmoniclbnd  25707  harmonicbnd4  25709  fsumharmonic  25710  ppiltx  25875  logfac2  25914  chpval2  25915  chpchtsum  25916  chpub  25917  logfaclbnd  25919  logfacbnd3  25920  logfacrlim  25921  bposlem1  25981  gausslemma2dlem0d  26056  lgsquadlem2  26078  chtppilimlem1  26170  vmadivsum  26179  rpvmasumlem  26184  dchrisumlema  26185  dchrisumlem1  26186  dchrisum0lem1b  26212  dchrisum0lem1  26213  dchrisum0lem2a  26214  dchrisum0lem3  26216  mudivsum  26227  mulogsumlem  26228  selberglem2  26243  selberg2lem  26247  pntrsumo1  26262  pntrlog2bndlem2  26275  pntrlog2bndlem4  26277  pntrlog2bndlem6a  26279  pntpbnd1  26283  pntpbnd2  26284  pntlemg  26295  pntlemj  26300  pntlemf  26302  ostth2lem2  26331  ostth2lem3  26332  minvecolem3  28772  minvecolem4  28776  itg2addnclem2  35424  irrapxlem4  40184  irrapxlem5  40185  recnnltrp  42422  rpgtrecnn  42426  ioodvbdlimc1lem2  42985  ioodvbdlimc2lem  42987  fourierdlem47  43206  vonioolem1  43730  fllog2  45406  blennnelnn  45414  dignnld  45441  dignn0flhalf  45456