Theorem flge0nn0 13185

Description: The floor of a number greater than or equal to 0 is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
flge0nn0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem flge0nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcl 13160	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
2	1	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
3		0z 11980	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		flge 13170	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (⌊‘𝐴)))
5	3, 4	mpan2 690	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (⌊‘𝐴)))
6	5	biimpa 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (⌊‘𝐴))
7		elnn0z 11982	. 2 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘𝐴)))
8	2, 6, 7	sylanbrc 586	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  ℝcr 10525  0cc0 10526   ≤ cle 10665  ℕ₀cn0 11885  ℤcz 11969  ⌊cfl 13155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fl 13157

This theorem is referenced by:  fldivnn0  13187  expnbnd  13589  facavg  13657  o1fsum  15160  efcllem  15423  odzdvds  16122  prmreclem3  16244  1arith  16253  odmodnn0  18660  lebnumii  23571  lmnn  23867  vitalilem4  24215  mbfi1fseqlem1  24319  mbfi1fseqlem3  24321  mbfi1fseqlem5  24323  harmoniclbnd  25594  harmonicbnd4  25596  fsumharmonic  25597  ppiltx  25762  logfac2  25801  chpval2  25802  chpchtsum  25803  chpub  25804  logfaclbnd  25806  logfacbnd3  25807  logfacrlim  25808  bposlem1  25868  gausslemma2dlem0d  25943  lgsquadlem2  25965  chtppilimlem1  26057  vmadivsum  26066  rpvmasumlem  26071  dchrisumlema  26072  dchrisumlem1  26073  dchrisum0lem1b  26099  dchrisum0lem1  26100  dchrisum0lem2a  26101  dchrisum0lem3  26103  mudivsum  26114  mulogsumlem  26115  selberglem2  26130  selberg2lem  26134  pntrsumo1  26149  pntrlog2bndlem2  26162  pntrlog2bndlem4  26164  pntrlog2bndlem6a  26166  pntpbnd1  26170  pntpbnd2  26171  pntlemg  26182  pntlemj  26187  pntlemf  26189  ostth2lem2  26218  ostth2lem3  26219  minvecolem3  28659  minvecolem4  28663  itg2addnclem2  35109  irrapxlem4  39766  irrapxlem5  39767  recnnltrp  42009  rpgtrecnn  42013  ioodvbdlimc1lem2  42574  ioodvbdlimc2lem  42576  fourierdlem47  42795  vonioolem1  43319  fllog2  44982  blennnelnn  44990  dignnld  45017  dignn0flhalf  45032