Theorem flge0nn0 13964

Description: The floor of a number greater than or equal to 0 is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
flge0nn0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem flge0nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcl 13939	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
2	1	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
3		0z 12708	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		flge 13949	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (⌊‘𝐴)))
5	3, 4	mpan2 704	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (⌊‘𝐴)))
6	5	biimpa 482	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (⌊‘𝐴))
7		elnn0z 12710	. 2 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘𝐴)))
8	2, 6, 7	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ‘cfv 6539  ℝcr 11203  0cc0 11204   ≤ cle 11348  ℕ₀cn0 12610  ℤcz 12697  ⌊cfl 13934

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-sup 9438  df-inf 9439  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-fl 13936

This theorem is used by:  fldivnn0  13966  expnbnd  14380  facavg  14449  o1fsum  15986  efcllem  16249  odzdvds  16979  prmreclem3  17102  1arith  17111  odmodnn0  19760  lebnumii  25293  lmnn  25590  vitalilem4  25938  mbfi1fseqlem1  26042  mbfi1fseqlem3  26044  mbfi1fseqlem5  26046  harmoniclbnd  27342  harmonicbnd4  27344  fsumharmonic  27345  ppiltx  27510  logfac2  27550  chpval2  27551  chpchtsum  27552  chpub  27553  logfaclbnd  27555  logfacbnd3  27556  logfacrlim  27557  bposlem1  27617  gausslemma2dlem0d  27692  lgsquadlem2  27714  chtppilimlem1  27806  vmadivsum  27815  rpvmasumlem  27820  dchrisumlema  27821  dchrisumlem1  27822  dchrisum0lem1b  27848  dchrisum0lem1  27849  dchrisum0lem2a  27850  dchrisum0lem3  27852  mudivsum  27863  mulogsumlem  27864  selberglem2  27879  selberg2lem  27883  pntrsumo1  27898  pntrlog2bndlem2  27911  pntrlog2bndlem4  27913  pntrlog2bndlem6a  27915  pntpbnd1  27919  pntpbnd2  27920  pntlemg  27931  pntlemj  27936  pntlemf  27938  ostth2lem2  27967  ostth2lem3  27968  minvecolem3  31484  minvecolem4  31488  itg2addnclem2  38684  irrapxlem4  43926  irrapxlem5  43927  recnnltrp  46482  rpgtrecnn  46485  ioodvbdlimc1lem2  47036  ioodvbdlimc2lem  47038  fourierdlem47  47257  vonioolem1  47784  fllog2  49774  blennnelnn  49782  dignnld  49809  dignn0flhalf  49824