Theorem flge0nn0 13842

Description: The floor of a number greater than or equal to 0 is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
flge0nn0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem flge0nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcl 13817	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
2	1	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
3		0z 12604	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		flge 13827	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (⌊‘𝐴)))
5	3, 4	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (⌊‘𝐴)))
6	5	biimpa 476	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (⌊‘𝐴))
7		elnn0z 12606	. 2 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘𝐴)))
8	2, 6, 7	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  ℝcr 11133  0cc0 11134   ≤ cle 11275  ℕ₀cn0 12506  ℤcz 12593  ⌊cfl 13812

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-fl 13814

This theorem is referenced by:  fldivnn0  13844  expnbnd  14255  facavg  14324  o1fsum  15834  efcllem  16098  odzdvds  16820  prmreclem3  16943  1arith  16952  odmodnn0  19526  lebnumii  24921  lmnn  25220  vitalilem4  25569  mbfi1fseqlem1  25673  mbfi1fseqlem3  25675  mbfi1fseqlem5  25677  harmoniclbnd  26976  harmonicbnd4  26978  fsumharmonic  26979  ppiltx  27144  logfac2  27185  chpval2  27186  chpchtsum  27187  chpub  27188  logfaclbnd  27190  logfacbnd3  27191  logfacrlim  27192  bposlem1  27252  gausslemma2dlem0d  27327  lgsquadlem2  27349  chtppilimlem1  27441  vmadivsum  27450  rpvmasumlem  27455  dchrisumlema  27456  dchrisumlem1  27457  dchrisum0lem1b  27483  dchrisum0lem1  27484  dchrisum0lem2a  27485  dchrisum0lem3  27487  mudivsum  27498  mulogsumlem  27499  selberglem2  27514  selberg2lem  27518  pntrsumo1  27533  pntrlog2bndlem2  27546  pntrlog2bndlem4  27548  pntrlog2bndlem6a  27550  pntpbnd1  27554  pntpbnd2  27555  pntlemg  27566  pntlemj  27571  pntlemf  27573  ostth2lem2  27602  ostth2lem3  27603  minvecolem3  30862  minvecolem4  30866  itg2addnclem2  37701  irrapxlem4  42815  irrapxlem5  42816  recnnltrp  45371  rpgtrecnn  45374  ioodvbdlimc1lem2  45928  ioodvbdlimc2lem  45930  fourierdlem47  46149  vonioolem1  46676  fllog2  48515  blennnelnn  48523  dignnld  48550  dignn0flhalf  48565