MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flge0nn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flge0nn0 13180
Description: The floor of a number greater than or equal to 0 is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
flge0nn0 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem flge0nn0
StepHypRef Expression
1 flcl 13155 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
21adantr 481 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
3 0z 11981 . . . 4 0 ∈ ℤ
4 flge 13165 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (⌊‘𝐴)))
53, 4mpan2 687 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (⌊‘𝐴)))
65biimpa 477 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (⌊‘𝐴))
7 elnn0z 11983 . 2 ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘𝐴)))
82, 6, 7sylanbrc 583 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wcel 2107   class class class wbr 5063  cfv 6352  cr 10525  0cc0 10526  cle 10665  0cn0 11886  cz 11970  cfl 13150
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-sup 8895  df-inf 8896  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-fl 13152
This theorem is referenced by:  fldivnn0  13182  expnbnd  13583  facavg  13651  o1fsum  15158  efcllem  15421  odzdvds  16122  prmreclem3  16244  1arith  16253  odmodnn0  18588  lebnumii  23485  lmnn  23781  vitalilem4  24127  mbfi1fseqlem1  24231  mbfi1fseqlem3  24233  mbfi1fseqlem5  24235  harmoniclbnd  25500  harmonicbnd4  25502  fsumharmonic  25503  ppiltx  25668  logfac2  25707  chpval2  25708  chpchtsum  25709  chpub  25710  logfaclbnd  25712  logfacbnd3  25713  logfacrlim  25714  bposlem1  25774  gausslemma2dlem0d  25849  lgsquadlem2  25871  chtppilimlem1  25963  vmadivsum  25972  rpvmasumlem  25977  dchrisumlema  25978  dchrisumlem1  25979  dchrisum0lem1b  26005  dchrisum0lem1  26006  dchrisum0lem2a  26007  dchrisum0lem3  26009  mudivsum  26020  mulogsumlem  26021  selberglem2  26036  selberg2lem  26040  pntrsumo1  26055  pntrlog2bndlem2  26068  pntrlog2bndlem4  26070  pntrlog2bndlem6a  26072  pntpbnd1  26076  pntpbnd2  26077  pntlemg  26088  pntlemj  26093  pntlemf  26095  ostth2lem2  26124  ostth2lem3  26125  minvecolem3  28567  minvecolem4  28571  itg2addnclem2  34811  irrapxlem4  39287  irrapxlem5  39288  recnnltrp  41510  rpgtrecnn  41514  ioodvbdlimc1lem2  42082  ioodvbdlimc2lem  42084  fourierdlem47  42304  vonioolem1  42828  fllog2  44460  blennnelnn  44468  dignnld  44495  dignn0flhalf  44510
  Copyright terms: Public domain W3C validator