Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  relexpmulg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem relexpmulg 43204
Description: With ordered exponents, the composition of powers of a relation is the relation raised to the product of exponents. (Contributed by RP, 13-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
relexpmulg (((๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ผ = (๐ฝ ยท ๐พ) โˆง (๐ผ = 0 โ†’ ๐ฝ โ‰ค ๐พ)) โˆง (๐ฝ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐‘…โ†‘๐‘Ÿ๐ฝ)โ†‘๐‘Ÿ๐พ) = (๐‘…โ†‘๐‘Ÿ๐ผ))

Proof of Theorem relexpmulg
StepHypRef Expression
1 elnn0 12502 . . . 4 (๐ฝ โˆˆ โ„•0 โ†” (๐ฝ โˆˆ โ„• โˆจ ๐ฝ = 0))
2 elnn0 12502 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†” (๐พ โˆˆ โ„• โˆจ ๐พ = 0))
3 relexpmulnn 43203 . . . . . . . . . 10 (((๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ผ = (๐ฝ ยท ๐พ)) โˆง (๐ฝ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘…โ†‘๐‘Ÿ๐ฝ)โ†‘๐‘Ÿ๐พ) = (๐‘…โ†‘๐‘Ÿ๐ผ))
433adantl3 1165 . . . . . . . . 9 (((๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ผ = (๐ฝ ยท ๐พ) โˆง (๐ผ = 0 โ†’ ๐ฝ โ‰ค ๐พ)) โˆง (๐ฝ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘…โ†‘๐‘Ÿ๐ฝ)โ†‘๐‘Ÿ๐พ) = (๐‘…โ†‘๐‘Ÿ๐ผ))
54expcom 412 . . . . . . . 8 ((๐ฝ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ผ = (๐ฝ ยท ๐พ) โˆง (๐ผ = 0 โ†’ ๐ฝ โ‰ค ๐พ)) โ†’ ((๐‘…โ†‘๐‘Ÿ๐ฝ)โ†‘๐‘Ÿ๐พ) = (๐‘…โ†‘๐‘Ÿ๐ผ)))
65expcom 412 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ (๐ฝ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ผ = (๐ฝ ยท ๐พ) โˆง (๐ผ = 0 โ†’ ๐ฝ โ‰ค ๐พ)) โ†’ ((๐‘…โ†‘๐‘Ÿ๐ฝ)โ†‘๐‘Ÿ๐พ) = (๐‘…โ†‘๐‘Ÿ๐ผ))))
7 simprr 771 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐พ = 0 โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ผ = (๐ฝ ยท ๐พ))) โ†’ ๐ผ = (๐ฝ ยท ๐พ))
8 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐พ = 0 โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ผ = (๐ฝ ยท ๐พ))) โ†’ ๐พ = 0)
98oveq2d 7431 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐พ = 0 โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ผ = (๐ฝ ยท ๐พ))) โ†’ (๐ฝ ยท ๐พ) = (๐ฝ ยท 0))
10 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐พ = 0 โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ผ = (๐ฝ ยท ๐พ))) โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„•)
1110nncnd 12256 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐พ = 0 โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ผ = (๐ฝ ยท ๐พ))) โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„‚)
1211mul01d 11441 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐พ = 0 โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ผ = (๐ฝ ยท ๐พ))) โ†’ (๐ฝ ยท 0) = 0)
137, 9, 123eqtrd 2769 . . . . . . . . . . . 12 (((๐พ = 0 โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ผ = (๐ฝ ยท ๐พ))) โ†’ ๐ผ = 0)
14 simpl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐พ = 0 โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ผ = (๐ฝ ยท ๐พ))) โ†’ (๐พ = 0 โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„•))
15 nnnle0 12273 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ฝ โˆˆ โ„• โ†’ ยฌ ๐ฝ โ‰ค 0)
1615adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐พ = 0 โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„•) โ†’ ยฌ ๐ฝ โ‰ค 0)
17 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐พ = 0 โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐พ = 0)
1817breq2d 5155 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐พ = 0 โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ฝ โ‰ค ๐พ โ†” ๐ฝ โ‰ค 0))
1916, 18mtbird 324 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐พ = 0 โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„•) โ†’ ยฌ ๐ฝ โ‰ค ๐พ)
2014, 19syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((๐พ = 0 โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ผ = (๐ฝ ยท ๐พ))) โ†’ ยฌ ๐ฝ โ‰ค ๐พ)
2113, 20jcnd 163 . . . . . . . . . . 11 (((๐พ = 0 โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ผ = (๐ฝ ยท ๐พ))) โ†’ ยฌ (๐ผ = 0 โ†’ ๐ฝ โ‰ค ๐พ))
2221pm2.21d 121 . . . . . . . . . 10 (((๐พ = 0 โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ผ = (๐ฝ ยท ๐พ))) โ†’ ((๐ผ = 0 โ†’ ๐ฝ โ‰ค ๐พ) โ†’ ((๐‘…โ†‘๐‘Ÿ๐ฝ)โ†‘๐‘Ÿ๐พ) = (๐‘…โ†‘๐‘Ÿ๐ผ)))
2322exp32 419 . . . . . . . . 9 ((๐พ = 0 โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (๐ผ = (๐ฝ ยท ๐พ) โ†’ ((๐ผ = 0 โ†’ ๐ฝ โ‰ค ๐พ) โ†’ ((๐‘…โ†‘๐‘Ÿ๐ฝ)โ†‘๐‘Ÿ๐พ) = (๐‘…โ†‘๐‘Ÿ๐ผ)))))
24233impd 1345 . . . . . . . 8 ((๐พ = 0 โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ผ = (๐ฝ ยท ๐พ) โˆง (๐ผ = 0 โ†’ ๐ฝ โ‰ค ๐พ)) โ†’ ((๐‘…โ†‘๐‘Ÿ๐ฝ)โ†‘๐‘Ÿ๐พ) = (๐‘…โ†‘๐‘Ÿ๐ผ)))
2524ex 411 . . . . . . 7 (๐พ = 0 โ†’ (๐ฝ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ผ = (๐ฝ ยท ๐พ) โˆง (๐ผ = 0 โ†’ ๐ฝ โ‰ค ๐พ)) โ†’ ((๐‘…โ†‘๐‘Ÿ๐ฝ)โ†‘๐‘Ÿ๐พ) = (๐‘…โ†‘๐‘Ÿ๐ผ))))
266, 25jaoi 855 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆจ ๐พ = 0) โ†’ (๐ฝ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ผ = (๐ฝ ยท ๐พ) โˆง (๐ผ = 0 โ†’ ๐ฝ โ‰ค ๐พ)) โ†’ ((๐‘…โ†‘๐‘Ÿ๐ฝ)โ†‘๐‘Ÿ๐พ) = (๐‘…โ†‘๐‘Ÿ๐ผ))))
272, 26sylbi 216 . . . . 5 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ฝ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ผ = (๐ฝ ยท ๐พ) โˆง (๐ผ = 0 โ†’ ๐ฝ โ‰ค ๐พ)) โ†’ ((๐‘…โ†‘๐‘Ÿ๐ฝ)โ†‘๐‘Ÿ๐พ) = (๐‘…โ†‘๐‘Ÿ๐ผ))))
28 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ฝ = 0) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ผ = (๐ฝ ยท ๐พ) โˆง (๐ผ = 0 โ†’ ๐ฝ โ‰ค ๐พ))) โ†’ ๐ฝ = 0)
2928oveq2d 7431 . . . . . . . . . 10 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ฝ = 0) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ผ = (๐ฝ ยท ๐พ) โˆง (๐ผ = 0 โ†’ ๐ฝ โ‰ค ๐พ))) โ†’ (๐‘…โ†‘๐‘Ÿ๐ฝ) = (๐‘…โ†‘๐‘Ÿ0))
30 simpr1 1191 . . . . . . . . . . 11 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ฝ = 0) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ผ = (๐ฝ ยท ๐พ) โˆง (๐ผ = 0 โ†’ ๐ฝ โ‰ค ๐พ))) โ†’ ๐‘… โˆˆ ๐‘‰)
31 relexp0g 14999 . . . . . . . . . . 11 (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (๐‘…โ†‘๐‘Ÿ0) = ( I โ†พ (dom ๐‘… โˆช ran ๐‘…)))
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ฝ = 0) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ผ = (๐ฝ ยท ๐พ) โˆง (๐ผ = 0 โ†’ ๐ฝ โ‰ค ๐พ))) โ†’ (๐‘…โ†‘๐‘Ÿ0) = ( I โ†พ (dom ๐‘… โˆช ran ๐‘…)))
3329, 32eqtrd 2765 . . . . . . . . 9 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ฝ = 0) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ผ = (๐ฝ ยท ๐พ) โˆง (๐ผ = 0 โ†’ ๐ฝ โ‰ค ๐พ))) โ†’ (๐‘…โ†‘๐‘Ÿ๐ฝ) = ( I โ†พ (dom ๐‘… โˆช ran ๐‘…)))
3433oveq1d 7430 . . . . . . . 8 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ฝ = 0) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ผ = (๐ฝ ยท ๐พ) โˆง (๐ผ = 0 โ†’ ๐ฝ โ‰ค ๐พ))) โ†’ ((๐‘…โ†‘๐‘Ÿ๐ฝ)โ†‘๐‘Ÿ๐พ) = (( I โ†พ (dom ๐‘… โˆช ran ๐‘…))โ†‘๐‘Ÿ๐พ))
35 dmexg 7905 . . . . . . . . . . 11 (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โ†’ dom ๐‘… โˆˆ V)
36 rnexg 7906 . . . . . . . . . . 11 (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ran ๐‘… โˆˆ V)
3735, 36unexd 7753 . . . . . . . . . 10 (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (dom ๐‘… โˆช ran ๐‘…) โˆˆ V)
3830, 37syl 17 . . . . . . . . 9 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ฝ = 0) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ผ = (๐ฝ ยท ๐พ) โˆง (๐ผ = 0 โ†’ ๐ฝ โ‰ค ๐พ))) โ†’ (dom ๐‘… โˆช ran ๐‘…) โˆˆ V)
39 simpll 765 . . . . . . . . 9 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ฝ = 0) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ผ = (๐ฝ ยท ๐พ) โˆง (๐ผ = 0 โ†’ ๐ฝ โ‰ค ๐พ))) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
40 relexpiidm 43198 . . . . . . . . 9 (((dom ๐‘… โˆช ran ๐‘…) โˆˆ V โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โ†’ (( I โ†พ (dom ๐‘… โˆช ran ๐‘…))โ†‘๐‘Ÿ๐พ) = ( I โ†พ (dom ๐‘… โˆช ran ๐‘…)))
4138, 39, 40syl2anc 582 . . . . . . . 8 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ฝ = 0) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ผ = (๐ฝ ยท ๐พ) โˆง (๐ผ = 0 โ†’ ๐ฝ โ‰ค ๐พ))) โ†’ (( I โ†พ (dom ๐‘… โˆช ran ๐‘…))โ†‘๐‘Ÿ๐พ) = ( I โ†พ (dom ๐‘… โˆช ran ๐‘…)))
42 simpr2 1192 . . . . . . . . . . 11 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ฝ = 0) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ผ = (๐ฝ ยท ๐พ) โˆง (๐ผ = 0 โ†’ ๐ฝ โ‰ค ๐พ))) โ†’ ๐ผ = (๐ฝ ยท ๐พ))
4328oveq1d 7430 . . . . . . . . . . 11 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ฝ = 0) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ผ = (๐ฝ ยท ๐พ) โˆง (๐ผ = 0 โ†’ ๐ฝ โ‰ค ๐พ))) โ†’ (๐ฝ ยท ๐พ) = (0 ยท ๐พ))
4439nn0cnd 12562 . . . . . . . . . . . 12 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ฝ = 0) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ผ = (๐ฝ ยท ๐พ) โˆง (๐ผ = 0 โ†’ ๐ฝ โ‰ค ๐พ))) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
4544mul02d 11440 . . . . . . . . . . 11 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ฝ = 0) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ผ = (๐ฝ ยท ๐พ) โˆง (๐ผ = 0 โ†’ ๐ฝ โ‰ค ๐พ))) โ†’ (0 ยท ๐พ) = 0)
4642, 43, 453eqtrd 2769 . . . . . . . . . 10 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ฝ = 0) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ผ = (๐ฝ ยท ๐พ) โˆง (๐ผ = 0 โ†’ ๐ฝ โ‰ค ๐พ))) โ†’ ๐ผ = 0)
4746oveq2d 7431 . . . . . . . . 9 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ฝ = 0) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ผ = (๐ฝ ยท ๐พ) โˆง (๐ผ = 0 โ†’ ๐ฝ โ‰ค ๐พ))) โ†’ (๐‘…โ†‘๐‘Ÿ๐ผ) = (๐‘…โ†‘๐‘Ÿ0))
4847, 32eqtr2d 2766 . . . . . . . 8 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ฝ = 0) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ผ = (๐ฝ ยท ๐พ) โˆง (๐ผ = 0 โ†’ ๐ฝ โ‰ค ๐พ))) โ†’ ( I โ†พ (dom ๐‘… โˆช ran ๐‘…)) = (๐‘…โ†‘๐‘Ÿ๐ผ))
4934, 41, 483eqtrd 2769 . . . . . . 7 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ฝ = 0) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ผ = (๐ฝ ยท ๐พ) โˆง (๐ผ = 0 โ†’ ๐ฝ โ‰ค ๐พ))) โ†’ ((๐‘…โ†‘๐‘Ÿ๐ฝ)โ†‘๐‘Ÿ๐พ) = (๐‘…โ†‘๐‘Ÿ๐ผ))
5049ex 411 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ฝ = 0) โ†’ ((๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ผ = (๐ฝ ยท ๐พ) โˆง (๐ผ = 0 โ†’ ๐ฝ โ‰ค ๐พ)) โ†’ ((๐‘…โ†‘๐‘Ÿ๐ฝ)โ†‘๐‘Ÿ๐พ) = (๐‘…โ†‘๐‘Ÿ๐ผ)))
5150ex 411 . . . . 5 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ฝ = 0 โ†’ ((๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ผ = (๐ฝ ยท ๐พ) โˆง (๐ผ = 0 โ†’ ๐ฝ โ‰ค ๐พ)) โ†’ ((๐‘…โ†‘๐‘Ÿ๐ฝ)โ†‘๐‘Ÿ๐พ) = (๐‘…โ†‘๐‘Ÿ๐ผ))))
5227, 51jaod 857 . . . 4 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐ฝ โˆˆ โ„• โˆจ ๐ฝ = 0) โ†’ ((๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ผ = (๐ฝ ยท ๐พ) โˆง (๐ผ = 0 โ†’ ๐ฝ โ‰ค ๐พ)) โ†’ ((๐‘…โ†‘๐‘Ÿ๐ฝ)โ†‘๐‘Ÿ๐พ) = (๐‘…โ†‘๐‘Ÿ๐ผ))))
531, 52biimtrid 241 . . 3 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ฝ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ผ = (๐ฝ ยท ๐พ) โˆง (๐ผ = 0 โ†’ ๐ฝ โ‰ค ๐พ)) โ†’ ((๐‘…โ†‘๐‘Ÿ๐ฝ)โ†‘๐‘Ÿ๐พ) = (๐‘…โ†‘๐‘Ÿ๐ผ))))
5453impcom 406 . 2 ((๐ฝ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ผ = (๐ฝ ยท ๐พ) โˆง (๐ผ = 0 โ†’ ๐ฝ โ‰ค ๐พ)) โ†’ ((๐‘…โ†‘๐‘Ÿ๐ฝ)โ†‘๐‘Ÿ๐พ) = (๐‘…โ†‘๐‘Ÿ๐ผ)))
5554impcom 406 1 (((๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ผ = (๐ฝ ยท ๐พ) โˆง (๐ผ = 0 โ†’ ๐ฝ โ‰ค ๐พ)) โˆง (๐ฝ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐‘…โ†‘๐‘Ÿ๐ฝ)โ†‘๐‘Ÿ๐พ) = (๐‘…โ†‘๐‘Ÿ๐ผ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆจ wo 845   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3463   โˆช cun 3938   class class class wbr 5143   I cid 5569  dom cdm 5672  ran crn 5673   โ†พ cres 5674  (class class class)co 7415  0cc0 11136   ยท cmul 11141   โ‰ค cle 11277  โ„•cn 12240  โ„•0cn0 12500  โ†‘๐‘Ÿcrelexp 14996
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-seq 13997  df-relexp 14997
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator