Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  relexpmulg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem relexpmulg 43723
Description: With ordered exponents, the composition of powers of a relation is the relation raised to the product of exponents. (Contributed by RP, 13-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
relexpmulg (((𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾) ∧ (𝐼 = 0 → 𝐽𝐾)) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅𝑟𝐼))

Proof of Theorem relexpmulg
StepHypRef Expression
1 elnn0 12528 . . . 4 (𝐽 ∈ ℕ0 ↔ (𝐽 ∈ ℕ ∨ 𝐽 = 0))
2 elnn0 12528 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∨ 𝐾 = 0))
3 relexpmulnn 43722 . . . . . . . . . 10 (((𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅𝑟𝐼))
433adantl3 1169 . . . . . . . . 9 (((𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾) ∧ (𝐼 = 0 → 𝐽𝐾)) ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅𝑟𝐼))
54expcom 413 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾) ∧ (𝐼 = 0 → 𝐽𝐾)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅𝑟𝐼)))
65expcom 413 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐽 ∈ ℕ → ((𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾) ∧ (𝐼 = 0 → 𝐽𝐾)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅𝑟𝐼))))
7 simprr 773 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾))) → 𝐼 = (𝐽 · 𝐾))
8 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾))) → 𝐾 = 0)
98oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾))) → (𝐽 · 𝐾) = (𝐽 · 0))
10 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾))) → 𝐽 ∈ ℕ)
1110nncnd 12282 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾))) → 𝐽 ∈ ℂ)
1211mul01d 11460 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾))) → (𝐽 · 0) = 0)
137, 9, 123eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾))) → 𝐼 = 0)
14 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾))) → (𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ))
15 nnnle0 12299 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐽 ∈ ℕ → ¬ 𝐽 ≤ 0)
1615adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ¬ 𝐽 ≤ 0)
17 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → 𝐾 = 0)
1817breq2d 5155 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (𝐽𝐾𝐽 ≤ 0))
1916, 18mtbird 325 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ¬ 𝐽𝐾)
2014, 19syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾))) → ¬ 𝐽𝐾)
2113, 20jcnd 163 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾))) → ¬ (𝐼 = 0 → 𝐽𝐾))
2221pm2.21d 121 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾))) → ((𝐼 = 0 → 𝐽𝐾) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅𝑟𝐼)))
2322exp32 420 . . . . . . . . 9 ((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (𝑅𝑉 → (𝐼 = (𝐽 · 𝐾) → ((𝐼 = 0 → 𝐽𝐾) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅𝑟𝐼)))))
24233impd 1349 . . . . . . . 8 ((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾) ∧ (𝐼 = 0 → 𝐽𝐾)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅𝑟𝐼)))
2524ex 412 . . . . . . 7 (𝐾 = 0 → (𝐽 ∈ ℕ → ((𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾) ∧ (𝐼 = 0 → 𝐽𝐾)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅𝑟𝐼))))
266, 25jaoi 858 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ ∨ 𝐾 = 0) → (𝐽 ∈ ℕ → ((𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾) ∧ (𝐼 = 0 → 𝐽𝐾)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅𝑟𝐼))))
272, 26sylbi 217 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐽 ∈ ℕ → ((𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾) ∧ (𝐼 = 0 → 𝐽𝐾)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅𝑟𝐼))))
28 simplr 769 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐽 = 0) ∧ (𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾) ∧ (𝐼 = 0 → 𝐽𝐾))) → 𝐽 = 0)
2928oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐽 = 0) ∧ (𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾) ∧ (𝐼 = 0 → 𝐽𝐾))) → (𝑅𝑟𝐽) = (𝑅𝑟0))
30 simpr1 1195 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐽 = 0) ∧ (𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾) ∧ (𝐼 = 0 → 𝐽𝐾))) → 𝑅𝑉)
31 relexp0g 15061 . . . . . . . . . . 11 (𝑅𝑉 → (𝑅𝑟0) = ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐽 = 0) ∧ (𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾) ∧ (𝐼 = 0 → 𝐽𝐾))) → (𝑅𝑟0) = ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
3329, 32eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐽 = 0) ∧ (𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾) ∧ (𝐼 = 0 → 𝐽𝐾))) → (𝑅𝑟𝐽) = ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
3433oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐽 = 0) ∧ (𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾) ∧ (𝐼 = 0 → 𝐽𝐾))) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅))↑𝑟𝐾))
35 dmexg 7923 . . . . . . . . . . 11 (𝑅𝑉 → dom 𝑅 ∈ V)
36 rnexg 7924 . . . . . . . . . . 11 (𝑅𝑉 → ran 𝑅 ∈ V)
3735, 36unexd 7774 . . . . . . . . . 10 (𝑅𝑉 → (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅) ∈ V)
3830, 37syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐽 = 0) ∧ (𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾) ∧ (𝐼 = 0 → 𝐽𝐾))) → (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅) ∈ V)
39 simpll 767 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐽 = 0) ∧ (𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾) ∧ (𝐼 = 0 → 𝐽𝐾))) → 𝐾 ∈ ℕ0)
40 relexpiidm 43717 . . . . . . . . 9 (((dom 𝑅 ∪ ran 𝑅) ∈ V ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅))↑𝑟𝐾) = ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
4138, 39, 40syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐽 = 0) ∧ (𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾) ∧ (𝐼 = 0 → 𝐽𝐾))) → (( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅))↑𝑟𝐾) = ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
42 simpr2 1196 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐽 = 0) ∧ (𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾) ∧ (𝐼 = 0 → 𝐽𝐾))) → 𝐼 = (𝐽 · 𝐾))
4328oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐽 = 0) ∧ (𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾) ∧ (𝐼 = 0 → 𝐽𝐾))) → (𝐽 · 𝐾) = (0 · 𝐾))
4439nn0cnd 12589 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐽 = 0) ∧ (𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾) ∧ (𝐼 = 0 → 𝐽𝐾))) → 𝐾 ∈ ℂ)
4544mul02d 11459 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐽 = 0) ∧ (𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾) ∧ (𝐼 = 0 → 𝐽𝐾))) → (0 · 𝐾) = 0)
4642, 43, 453eqtrd 2781 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐽 = 0) ∧ (𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾) ∧ (𝐼 = 0 → 𝐽𝐾))) → 𝐼 = 0)
4746oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐽 = 0) ∧ (𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾) ∧ (𝐼 = 0 → 𝐽𝐾))) → (𝑅𝑟𝐼) = (𝑅𝑟0))
4847, 32eqtr2d 2778 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐽 = 0) ∧ (𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾) ∧ (𝐼 = 0 → 𝐽𝐾))) → ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) = (𝑅𝑟𝐼))
4934, 41, 483eqtrd 2781 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐽 = 0) ∧ (𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾) ∧ (𝐼 = 0 → 𝐽𝐾))) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅𝑟𝐼))
5049ex 412 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐽 = 0) → ((𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾) ∧ (𝐼 = 0 → 𝐽𝐾)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅𝑟𝐼)))
5150ex 412 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐽 = 0 → ((𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾) ∧ (𝐼 = 0 → 𝐽𝐾)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅𝑟𝐼))))
5227, 51jaod 860 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝐽 ∈ ℕ ∨ 𝐽 = 0) → ((𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾) ∧ (𝐼 = 0 → 𝐽𝐾)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅𝑟𝐼))))
531, 52biimtrid 242 . . 3 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐽 ∈ ℕ0 → ((𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾) ∧ (𝐼 = 0 → 𝐽𝐾)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅𝑟𝐼))))
5453impcom 407 . 2 ((𝐽 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾) ∧ (𝐼 = 0 → 𝐽𝐾)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅𝑟𝐼)))
5554impcom 407 1 (((𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾) ∧ (𝐼 = 0 → 𝐽𝐾)) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅𝑟𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  cun 3949   class class class wbr 5143   I cid 5577  dom cdm 5685  ran crn 5686  cres 5687  (class class class)co 7431  0cc0 11155   · cmul 11160  cle 11296  cn 12266  0cn0 12526  𝑟crelexp 15058
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-seq 14043  df-relexp 15059
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator