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Theorem relexpmulnn 41971
Description: With exponents limited to the counting numbers, the composition of powers of a relation is the relation raised to the product of exponents. (Contributed by RP, 13-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
relexpmulnn (((𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅𝑟𝐼))

Proof of Theorem relexpmulnn
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7365 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 1 → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟1))
2 oveq2 7365 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 1 → (𝐽 · 𝑥) = (𝐽 · 1))
32oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 1 → (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑥)) = (𝑅𝑟(𝐽 · 1)))
41, 3eqeq12d 2752 . . . . . . . 8 (𝑥 = 1 → (((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑥)) ↔ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟1) = (𝑅𝑟(𝐽 · 1))))
54imbi2d 340 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → (((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑥))) ↔ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟1) = (𝑅𝑟(𝐽 · 1)))))
6 oveq2 7365 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦))
7 oveq2 7365 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝐽 · 𝑥) = (𝐽 · 𝑦))
87oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑥)) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦)))
96, 8eqeq12d 2752 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑥)) ↔ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))))
109imbi2d 340 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑥))) ↔ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦)))))
11 oveq2 7365 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)))
12 oveq2 7365 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐽 · 𝑥) = (𝐽 · (𝑦 + 1)))
1312oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑥)) = (𝑅𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1))))
1411, 13eqeq12d 2752 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑥)) ↔ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝑅𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1)))))
1514imbi2d 340 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑥))) ↔ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝑅𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1))))))
16 oveq2 7365 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐾 → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝐾))
17 oveq2 7365 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐾 → (𝐽 · 𝑥) = (𝐽 · 𝐾))
1817oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐾 → (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑥)) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝐾)))
1916, 18eqeq12d 2752 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐾 → (((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑥)) ↔ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝐾))))
2019imbi2d 340 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐾 → (((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑥))) ↔ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝐾)))))
21 ovexd 7392 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → (𝑅𝑟𝐽) ∈ V)
2221relexp1d 14914 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟1) = (𝑅𝑟𝐽))
23 simp1 1136 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → 𝐽 ∈ ℕ)
24 nnre 12160 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ ℕ → 𝐽 ∈ ℝ)
25 ax-1rid 11121 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ ℝ → (𝐽 · 1) = 𝐽)
2623, 24, 253syl 18 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → (𝐽 · 1) = 𝐽)
2726eqcomd 2742 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → 𝐽 = (𝐽 · 1))
2827oveq2d 7373 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → (𝑅𝑟𝐽) = (𝑅𝑟(𝐽 · 1)))
2922, 28eqtrd 2776 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟1) = (𝑅𝑟(𝐽 · 1)))
30 ovex 7390 . . . . . . . . . . 11 (𝑅𝑟𝐽) ∈ V
31 simp1 1136 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℕ)
32 relexpsucnnr 14910 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅𝑟𝐽) ∈ V ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) ∘ (𝑅𝑟𝐽)))
3330, 31, 32sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) ∘ (𝑅𝑟𝐽)))
34 simp3 1138 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦)))
3534coeq1d 5817 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → (((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) ∘ (𝑅𝑟𝐽)) = ((𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦)) ∘ (𝑅𝑟𝐽)))
36 simp21 1206 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → 𝐽 ∈ ℕ)
3736, 31nnmulcld 12206 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → (𝐽 · 𝑦) ∈ ℕ)
38 simp22 1207 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → 𝑅𝑉)
39 relexpaddnn 14936 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 · 𝑦) ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉) → ((𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦)) ∘ (𝑅𝑟𝐽)) = (𝑅𝑟((𝐽 · 𝑦) + 𝐽)))
4037, 36, 38, 39syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → ((𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦)) ∘ (𝑅𝑟𝐽)) = (𝑅𝑟((𝐽 · 𝑦) + 𝐽)))
4135, 40eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → (((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) ∘ (𝑅𝑟𝐽)) = (𝑅𝑟((𝐽 · 𝑦) + 𝐽)))
4236nncnd 12169 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → 𝐽 ∈ ℂ)
4331nncnd 12169 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℂ)
44 1cnd 11150 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → 1 ∈ ℂ)
4542, 43, 44adddid 11179 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → (𝐽 · (𝑦 + 1)) = ((𝐽 · 𝑦) + (𝐽 · 1)))
4642mulid1d 11172 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → (𝐽 · 1) = 𝐽)
4746oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → ((𝐽 · 𝑦) + (𝐽 · 1)) = ((𝐽 · 𝑦) + 𝐽))
4845, 47eqtr2d 2777 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → ((𝐽 · 𝑦) + 𝐽) = (𝐽 · (𝑦 + 1)))
4948oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → (𝑅𝑟((𝐽 · 𝑦) + 𝐽)) = (𝑅𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1))))
5041, 49eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → (((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) ∘ (𝑅𝑟𝐽)) = (𝑅𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1))))
5133, 50eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝑅𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1))))
52513exp 1119 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → (((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝑅𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1))))))
5352a2d 29 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → (((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝑅𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1))))))
545, 10, 15, 20, 29, 53nnind 12171 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ → ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝐾))))
55543expd 1353 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐽 ∈ ℕ → (𝑅𝑉 → (𝐼 = (𝐽 · 𝐾) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝐾))))))
5655impcom 408 . . . 4 ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑅𝑉 → (𝐼 = (𝐽 · 𝐾) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝐾)))))
5756impd 411 . . 3 ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝐾))))
5857impcom 408 . 2 (((𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝐾)))
59 simplr 767 . . . 4 (((𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → 𝐼 = (𝐽 · 𝐾))
6059eqcomd 2742 . . 3 (((𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → (𝐽 · 𝐾) = 𝐼)
6160oveq2d 7373 . 2 (((𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → (𝑅𝑟(𝐽 · 𝐾)) = (𝑅𝑟𝐼))
6258, 61eqtrd 2776 1 (((𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅𝑟𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3445  ccom 5637  (class class class)co 7357  cr 11050  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  cn 12153  𝑟crelexp 14904
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-seq 13907  df-relexp 14905
This theorem is referenced by:  relexpmulg  41972
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