Theorem relexpmulnn 41206

Description: With exponents limited to the counting numbers, the composition of powers of a relation is the relation raised to the product of exponents. (Contributed by RP, 13-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
relexpmulnn	⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅↑𝑟𝐼))

Proof of Theorem relexpmulnn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7263	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟1))
2		oveq2 7263	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐽 · 𝑥) = (𝐽 · 1))
3	2	oveq2d 7271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑥)) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 1)))
4	1, 3	eqeq12d 2754	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 1 → (((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑥)) ↔ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟1) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 1))))
5	4	imbi2d 340	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑥))) ↔ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟1) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 1)))))
6		oveq2 7263	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦))
7		oveq2 7263	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐽 · 𝑥) = (𝐽 · 𝑦))
8	7	oveq2d 7271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑥)) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦)))
9	6, 8	eqeq12d 2754	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑥)) ↔ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))))
10	9	imbi2d 340	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑥))) ↔ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦)))))
11		oveq2 7263	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)))
12		oveq2 7263	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐽 · 𝑥) = (𝐽 · (𝑦 + 1)))
13	12	oveq2d 7271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑥)) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1))))
14	11, 13	eqeq12d 2754	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑥)) ↔ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1)))))
15	14	imbi2d 340	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑥))) ↔ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1))))))
16		oveq2 7263	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾))
17		oveq2 7263	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝐽 · 𝑥) = (𝐽 · 𝐾))
18	17	oveq2d 7271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑥)) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝐾)))
19	16, 18	eqeq12d 2754	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑥)) ↔ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝐾))))
20	19	imbi2d 340	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑥))) ↔ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝐾)))))
21		ovexd 7290	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → (𝑅↑𝑟𝐽) ∈ V)
22	21	relexp1d 14668	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟1) = (𝑅↑𝑟𝐽))
23		simp1 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → 𝐽 ∈ ℕ)
24		nnre 11910	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ → 𝐽 ∈ ℝ)
25		ax-1rid 10872	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ ℝ → (𝐽 · 1) = 𝐽)
26	23, 24, 25	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → (𝐽 · 1) = 𝐽)
27	26	eqcomd 2744	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → 𝐽 = (𝐽 · 1))
28	27	oveq2d 7271	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → (𝑅↑𝑟𝐽) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 1)))
29	22, 28	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟1) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 1)))
30		ovex 7288	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅↑𝑟𝐽) ∈ V
31		simp1 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℕ)
32		relexpsucnnr 14664	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅↑𝑟𝐽) ∈ V ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) ∘ (𝑅↑𝑟𝐽)))
33	30, 31, 32	sylancr 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) ∘ (𝑅↑𝑟𝐽)))
34		simp3 1136	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦)))
35	34	coeq1d 5759	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → (((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) ∘ (𝑅↑𝑟𝐽)) = ((𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦)) ∘ (𝑅↑𝑟𝐽)))
36		simp21 1204	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → 𝐽 ∈ ℕ)
37	36, 31	nnmulcld 11956	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → (𝐽 · 𝑦) ∈ ℕ)
38		simp22 1205	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → 𝑅 ∈ 𝑉)
39		relexpaddnn 14690	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐽 · 𝑦) ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ((𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦)) ∘ (𝑅↑𝑟𝐽)) = (𝑅↑𝑟((𝐽 · 𝑦) + 𝐽)))
40	37, 36, 38, 39	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → ((𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦)) ∘ (𝑅↑𝑟𝐽)) = (𝑅↑𝑟((𝐽 · 𝑦) + 𝐽)))
41	35, 40	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → (((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) ∘ (𝑅↑𝑟𝐽)) = (𝑅↑𝑟((𝐽 · 𝑦) + 𝐽)))
42	36	nncnd 11919	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → 𝐽 ∈ ℂ)
43	31	nncnd 11919	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℂ)
44		1cnd 10901	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → 1 ∈ ℂ)
45	42, 43, 44	adddid 10930	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → (𝐽 · (𝑦 + 1)) = ((𝐽 · 𝑦) + (𝐽 · 1)))
46	42	mulid1d 10923	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → (𝐽 · 1) = 𝐽)
47	46	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → ((𝐽 · 𝑦) + (𝐽 · 1)) = ((𝐽 · 𝑦) + 𝐽))
48	45, 47	eqtr2d 2779	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → ((𝐽 · 𝑦) + 𝐽) = (𝐽 · (𝑦 + 1)))
49	48	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → (𝑅↑𝑟((𝐽 · 𝑦) + 𝐽)) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1))))
50	41, 49	eqtrd 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → (((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) ∘ (𝑅↑𝑟𝐽)) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1))))
51	33, 50	eqtrd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1))))
52	51	3exp 1117	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → (((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1))))))
53	52	a2d 29	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1))))))
54	5, 10, 15, 20, 29, 53	nnind 11921	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝐾))))
55	54	3expd 1351	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐽 ∈ ℕ → (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝐼 = (𝐽 · 𝐾) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝐾))))))
56	55	impcom 407	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝐼 = (𝐽 · 𝐾) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝐾)))))
57	56	impd 410	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝐾))))
58	57	impcom 407	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝐾)))
59		simplr 765	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → 𝐼 = (𝐽 · 𝐾))
60	59	eqcomd 2744	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → (𝐽 · 𝐾) = 𝐼)
61	60	oveq2d 7271	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝐾)) = (𝑅↑𝑟𝐼))
62	58, 61	eqtrd 2778	1 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅↑𝑟𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ∘ ccom 5584  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807  ℕcn 11903  ↑_𝑟crelexp 14658

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-seq 13650  df-relexp 14659

This theorem is referenced by:  relexpmulg  41207