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Theorem relexpmulnn 40052
Description: With exponents limited to the counting numbers, the composition of powers of a relation is the relation raised to the product of exponents. (Contributed by RP, 13-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
relexpmulnn (((𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅𝑟𝐼))

Proof of Theorem relexpmulnn
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7163 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 1 → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟1))
2 oveq2 7163 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 1 → (𝐽 · 𝑥) = (𝐽 · 1))
32oveq2d 7171 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 1 → (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑥)) = (𝑅𝑟(𝐽 · 1)))
41, 3eqeq12d 2837 . . . . . . . 8 (𝑥 = 1 → (((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑥)) ↔ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟1) = (𝑅𝑟(𝐽 · 1))))
54imbi2d 343 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → (((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑥))) ↔ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟1) = (𝑅𝑟(𝐽 · 1)))))
6 oveq2 7163 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦))
7 oveq2 7163 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝐽 · 𝑥) = (𝐽 · 𝑦))
87oveq2d 7171 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑥)) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦)))
96, 8eqeq12d 2837 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑥)) ↔ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))))
109imbi2d 343 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑥))) ↔ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦)))))
11 oveq2 7163 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)))
12 oveq2 7163 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐽 · 𝑥) = (𝐽 · (𝑦 + 1)))
1312oveq2d 7171 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑥)) = (𝑅𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1))))
1411, 13eqeq12d 2837 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑥)) ↔ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝑅𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1)))))
1514imbi2d 343 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑥))) ↔ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝑅𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1))))))
16 oveq2 7163 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐾 → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝐾))
17 oveq2 7163 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐾 → (𝐽 · 𝑥) = (𝐽 · 𝐾))
1817oveq2d 7171 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐾 → (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑥)) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝐾)))
1916, 18eqeq12d 2837 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐾 → (((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑥)) ↔ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝐾))))
2019imbi2d 343 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐾 → (((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑥))) ↔ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝐾)))))
21 ovexd 7190 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → (𝑅𝑟𝐽) ∈ V)
2221relexp1d 14389 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟1) = (𝑅𝑟𝐽))
23 simp1 1132 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → 𝐽 ∈ ℕ)
24 nnre 11644 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ ℕ → 𝐽 ∈ ℝ)
25 ax-1rid 10606 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ ℝ → (𝐽 · 1) = 𝐽)
2623, 24, 253syl 18 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → (𝐽 · 1) = 𝐽)
2726eqcomd 2827 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → 𝐽 = (𝐽 · 1))
2827oveq2d 7171 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → (𝑅𝑟𝐽) = (𝑅𝑟(𝐽 · 1)))
2922, 28eqtrd 2856 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟1) = (𝑅𝑟(𝐽 · 1)))
30 ovex 7188 . . . . . . . . . . 11 (𝑅𝑟𝐽) ∈ V
31 simp1 1132 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℕ)
32 relexpsucnnr 14383 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅𝑟𝐽) ∈ V ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) ∘ (𝑅𝑟𝐽)))
3330, 31, 32sylancr 589 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) ∘ (𝑅𝑟𝐽)))
34 simp3 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦)))
3534coeq1d 5731 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → (((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) ∘ (𝑅𝑟𝐽)) = ((𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦)) ∘ (𝑅𝑟𝐽)))
36 simp21 1202 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → 𝐽 ∈ ℕ)
3736, 31nnmulcld 11689 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → (𝐽 · 𝑦) ∈ ℕ)
38 simp22 1203 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → 𝑅𝑉)
39 relexpaddnn 14409 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 · 𝑦) ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉) → ((𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦)) ∘ (𝑅𝑟𝐽)) = (𝑅𝑟((𝐽 · 𝑦) + 𝐽)))
4037, 36, 38, 39syl3anc 1367 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → ((𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦)) ∘ (𝑅𝑟𝐽)) = (𝑅𝑟((𝐽 · 𝑦) + 𝐽)))
4135, 40eqtrd 2856 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → (((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) ∘ (𝑅𝑟𝐽)) = (𝑅𝑟((𝐽 · 𝑦) + 𝐽)))
4236nncnd 11653 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → 𝐽 ∈ ℂ)
4331nncnd 11653 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℂ)
44 1cnd 10635 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → 1 ∈ ℂ)
4542, 43, 44adddid 10664 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → (𝐽 · (𝑦 + 1)) = ((𝐽 · 𝑦) + (𝐽 · 1)))
4642mulid1d 10657 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → (𝐽 · 1) = 𝐽)
4746oveq2d 7171 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → ((𝐽 · 𝑦) + (𝐽 · 1)) = ((𝐽 · 𝑦) + 𝐽))
4845, 47eqtr2d 2857 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → ((𝐽 · 𝑦) + 𝐽) = (𝐽 · (𝑦 + 1)))
4948oveq2d 7171 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → (𝑅𝑟((𝐽 · 𝑦) + 𝐽)) = (𝑅𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1))))
5041, 49eqtrd 2856 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → (((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) ∘ (𝑅𝑟𝐽)) = (𝑅𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1))))
5133, 50eqtrd 2856 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝑅𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1))))
52513exp 1115 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → (((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝑅𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1))))))
5352a2d 29 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → (((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝑅𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1))))))
545, 10, 15, 20, 29, 53nnind 11655 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ → ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝐾))))
55543expd 1349 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐽 ∈ ℕ → (𝑅𝑉 → (𝐼 = (𝐽 · 𝐾) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝐾))))))
5655impcom 410 . . . 4 ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑅𝑉 → (𝐼 = (𝐽 · 𝐾) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝐾)))))
5756impd 413 . . 3 ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝐾))))
5857impcom 410 . 2 (((𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝐾)))
59 simplr 767 . . . 4 (((𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → 𝐼 = (𝐽 · 𝐾))
6059eqcomd 2827 . . 3 (((𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → (𝐽 · 𝐾) = 𝐼)
6160oveq2d 7171 . 2 (((𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → (𝑅𝑟(𝐽 · 𝐾)) = (𝑅𝑟𝐼))
6258, 61eqtrd 2856 1 (((𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅𝑟𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  w3a 1083   = wceq 1533  wcel 2110  Vcvv 3494  ccom 5558  (class class class)co 7155  cr 10535  1c1 10537   + caddc 10539   · cmul 10541  cn 11637  𝑟crelexp 14378
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-seq 13369  df-relexp 14379
This theorem is referenced by:  relexpmulg  40053
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