Theorem relexpmulnn 44062

Description: With exponents limited to the counting numbers, the composition of powers of a relation is the relation raised to the product of exponents. (Contributed by RP, 13-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
relexpmulnn	⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅↑𝑟𝐼))

Proof of Theorem relexpmulnn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟1))
2		oveq2 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐽 · 𝑥) = (𝐽 · 1))
3	2	oveq2d 7384	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑥)) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 1)))
4	1, 3	eqeq12d 2753	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 1 → (((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑥)) ↔ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟1) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 1))))
5	4	imbi2d 340	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑥))) ↔ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟1) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 1)))))
6		oveq2 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦))
7		oveq2 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐽 · 𝑥) = (𝐽 · 𝑦))
8	7	oveq2d 7384	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑥)) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦)))
9	6, 8	eqeq12d 2753	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑥)) ↔ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))))
10	9	imbi2d 340	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑥))) ↔ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦)))))
11		oveq2 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)))
12		oveq2 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐽 · 𝑥) = (𝐽 · (𝑦 + 1)))
13	12	oveq2d 7384	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑥)) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1))))
14	11, 13	eqeq12d 2753	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑥)) ↔ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1)))))
15	14	imbi2d 340	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑥))) ↔ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1))))))
16		oveq2 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾))
17		oveq2 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝐽 · 𝑥) = (𝐽 · 𝐾))
18	17	oveq2d 7384	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑥)) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝐾)))
19	16, 18	eqeq12d 2753	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑥)) ↔ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝐾))))
20	19	imbi2d 340	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑥))) ↔ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝐾)))))
21		ovexd 7403	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → (𝑅↑𝑟𝐽) ∈ V)
22	21	relexp1d 14964	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟1) = (𝑅↑𝑟𝐽))
23		simp1 1137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → 𝐽 ∈ ℕ)
24		nnre 12164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ → 𝐽 ∈ ℝ)
25		ax-1rid 11108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ ℝ → (𝐽 · 1) = 𝐽)
26	23, 24, 25	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → (𝐽 · 1) = 𝐽)
27	26	eqcomd 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → 𝐽 = (𝐽 · 1))
28	27	oveq2d 7384	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → (𝑅↑𝑟𝐽) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 1)))
29	22, 28	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟1) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 1)))
30		ovex 7401	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅↑𝑟𝐽) ∈ V
31		simp1 1137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℕ)
32		relexpsucnnr 14960	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅↑𝑟𝐽) ∈ V ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) ∘ (𝑅↑𝑟𝐽)))
33	30, 31, 32	sylancr 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) ∘ (𝑅↑𝑟𝐽)))
34		simp3 1139	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦)))
35	34	coeq1d 5818	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → (((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) ∘ (𝑅↑𝑟𝐽)) = ((𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦)) ∘ (𝑅↑𝑟𝐽)))
36		simp21 1208	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → 𝐽 ∈ ℕ)
37	36, 31	nnmulcld 12210	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → (𝐽 · 𝑦) ∈ ℕ)
38		simp22 1209	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → 𝑅 ∈ 𝑉)
39		relexpaddnn 14986	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐽 · 𝑦) ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ((𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦)) ∘ (𝑅↑𝑟𝐽)) = (𝑅↑𝑟((𝐽 · 𝑦) + 𝐽)))
40	37, 36, 38, 39	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → ((𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦)) ∘ (𝑅↑𝑟𝐽)) = (𝑅↑𝑟((𝐽 · 𝑦) + 𝐽)))
41	35, 40	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → (((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) ∘ (𝑅↑𝑟𝐽)) = (𝑅↑𝑟((𝐽 · 𝑦) + 𝐽)))
42	36	nncnd 12173	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → 𝐽 ∈ ℂ)
43	31	nncnd 12173	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℂ)
44		1cnd 11139	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → 1 ∈ ℂ)
45	42, 43, 44	adddid 11168	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → (𝐽 · (𝑦 + 1)) = ((𝐽 · 𝑦) + (𝐽 · 1)))
46	42	mulridd 11161	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → (𝐽 · 1) = 𝐽)
47	46	oveq2d 7384	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → ((𝐽 · 𝑦) + (𝐽 · 1)) = ((𝐽 · 𝑦) + 𝐽))
48	45, 47	eqtr2d 2773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → ((𝐽 · 𝑦) + 𝐽) = (𝐽 · (𝑦 + 1)))
49	48	oveq2d 7384	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → (𝑅↑𝑟((𝐽 · 𝑦) + 𝐽)) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1))))
50	41, 49	eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → (((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) ∘ (𝑅↑𝑟𝐽)) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1))))
51	33, 50	eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1))))
52	51	3exp 1120	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → (((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1))))))
53	52	a2d 29	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1))))))
54	5, 10, 15, 20, 29, 53	nnind 12175	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝐾))))
55	54	3expd 1355	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐽 ∈ ℕ → (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝐼 = (𝐽 · 𝐾) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝐾))))))
56	55	impcom 407	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝐼 = (𝐽 · 𝐾) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝐾)))))
57	56	impd 410	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝐾))))
58	57	impcom 407	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝐾)))
59		simplr 769	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → 𝐼 = (𝐽 · 𝐾))
60	59	eqcomd 2743	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → (𝐽 · 𝐾) = 𝐼)
61	60	oveq2d 7384	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝐾)) = (𝑅↑𝑟𝐼))
62	58, 61	eqtrd 2772	1 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅↑𝑟𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   ∘ ccom 5636  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043  ℕcn 12157  ↑_𝑟crelexp 14954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-seq 13937  df-relexp 14955

This theorem is referenced by:  relexpmulg  44063