Theorem relexpmulnn 44160

Description: With exponents limited to the counting numbers, the composition of powers of a relation is the relation raised to the product of exponents. (Contributed by RP, 13-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
relexpmulnn	⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅↑𝑟𝐼))

Proof of Theorem relexpmulnn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟1))
2		oveq2 7371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐽 · 𝑥) = (𝐽 · 1))
3	2	oveq2d 7379	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑥)) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 1)))
4	1, 3	eqeq12d 2756	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 1 → (((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑥)) ↔ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟1) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 1))))
5	4	imbi2d 341	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑥))) ↔ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟1) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 1)))))
6		oveq2 7371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦))
7		oveq2 7371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐽 · 𝑥) = (𝐽 · 𝑦))
8	7	oveq2d 7379	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑥)) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦)))
9	6, 8	eqeq12d 2756	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑥)) ↔ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))))
10	9	imbi2d 341	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑥))) ↔ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦)))))
11		oveq2 7371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)))
12		oveq2 7371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐽 · 𝑥) = (𝐽 · (𝑦 + 1)))
13	12	oveq2d 7379	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑥)) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1))))
14	11, 13	eqeq12d 2756	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑥)) ↔ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1)))))
15	14	imbi2d 341	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑥))) ↔ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1))))))
16		oveq2 7371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾))
17		oveq2 7371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝐽 · 𝑥) = (𝐽 · 𝐾))
18	17	oveq2d 7379	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑥)) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝐾)))
19	16, 18	eqeq12d 2756	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑥)) ↔ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝐾))))
20	19	imbi2d 341	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑥))) ↔ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝐾)))))
21		ovexd 7398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → (𝑅↑𝑟𝐽) ∈ V)
22	21	relexp1d 14989	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟1) = (𝑅↑𝑟𝐽))
23		simp1 1142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → 𝐽 ∈ ℕ)
24		nnre 12179	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ → 𝐽 ∈ ℝ)
25		ax-1rid 11106	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ ℝ → (𝐽 · 1) = 𝐽)
26	23, 24, 25	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → (𝐽 · 1) = 𝐽)
27	26	eqcomd 2746	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → 𝐽 = (𝐽 · 1))
28	27	oveq2d 7379	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → (𝑅↑𝑟𝐽) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 1)))
29	22, 28	eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟1) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 1)))
30		ovex 7396	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅↑𝑟𝐽) ∈ V
31		simp1 1142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℕ)
32		relexpsucnnr 14985	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅↑𝑟𝐽) ∈ V ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) ∘ (𝑅↑𝑟𝐽)))
33	30, 31, 32	sylancr 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) ∘ (𝑅↑𝑟𝐽)))
34		simp3 1144	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦)))
35	34	coeq1d 5810	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → (((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) ∘ (𝑅↑𝑟𝐽)) = ((𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦)) ∘ (𝑅↑𝑟𝐽)))
36		simp21 1213	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → 𝐽 ∈ ℕ)
37	36, 31	nnmulcld 12228	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → (𝐽 · 𝑦) ∈ ℕ)
38		simp22 1214	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → 𝑅 ∈ 𝑉)
39		relexpaddnn 15011	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐽 · 𝑦) ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ((𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦)) ∘ (𝑅↑𝑟𝐽)) = (𝑅↑𝑟((𝐽 · 𝑦) + 𝐽)))
40	37, 36, 38, 39	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → ((𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦)) ∘ (𝑅↑𝑟𝐽)) = (𝑅↑𝑟((𝐽 · 𝑦) + 𝐽)))
41	35, 40	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → (((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) ∘ (𝑅↑𝑟𝐽)) = (𝑅↑𝑟((𝐽 · 𝑦) + 𝐽)))
42	36	nncnd 12188	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → 𝐽 ∈ ℂ)
43	31	nncnd 12188	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℂ)
44		1cnd 11137	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → 1 ∈ ℂ)
45	42, 43, 44	adddid 11167	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → (𝐽 · (𝑦 + 1)) = ((𝐽 · 𝑦) + (𝐽 · 1)))
46	42	mulridd 11160	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → (𝐽 · 1) = 𝐽)
47	46	oveq2d 7379	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → ((𝐽 · 𝑦) + (𝐽 · 1)) = ((𝐽 · 𝑦) + 𝐽))
48	45, 47	eqtr2d 2776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → ((𝐽 · 𝑦) + 𝐽) = (𝐽 · (𝑦 + 1)))
49	48	oveq2d 7379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → (𝑅↑𝑟((𝐽 · 𝑦) + 𝐽)) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1))))
50	41, 49	eqtrd 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → (((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) ∘ (𝑅↑𝑟𝐽)) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1))))
51	33, 50	eqtrd 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1))))
52	51	3exp 1125	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → (((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1))))))
53	52	a2d 29	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1))))))
54	5, 10, 15, 20, 29, 53	nnind 12190	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝐾))))
55	54	3expd 1360	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐽 ∈ ℕ → (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝐼 = (𝐽 · 𝐾) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝐾))))))
56	55	impcom 408	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝐼 = (𝐽 · 𝐾) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝐾)))))
57	56	impd 411	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝐾))))
58	57	impcom 408	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝐾)))
59		simplr 774	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → 𝐼 = (𝐽 · 𝐾))
60	59	eqcomd 2746	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → (𝐽 · 𝐾) = 𝐼)
61	60	oveq2d 7379	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝐾)) = (𝑅↑𝑟𝐼))
62	58, 61	eqtrd 2775	1 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅↑𝑟𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3432   ∘ ccom 5629  (class class class)co 7363  ℝcr 11035  1c1 11037   + caddc 11039   · cmul 11041  ℕcn 12172  ↑_𝑟crelexp 14979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-seq 13962  df-relexp 14980

This theorem is referenced by:  relexpmulg  44161