Theorem relexpmulnn 41317

Description: With exponents limited to the counting numbers, the composition of powers of a relation is the relation raised to the product of exponents. (Contributed by RP, 13-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
relexpmulnn	⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅↑𝑟𝐼))

Proof of Theorem relexpmulnn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7283	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟1))
2		oveq2 7283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐽 · 𝑥) = (𝐽 · 1))
3	2	oveq2d 7291	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑥)) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 1)))
4	1, 3	eqeq12d 2754	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 1 → (((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑥)) ↔ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟1) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 1))))
5	4	imbi2d 341	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑥))) ↔ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟1) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 1)))))
6		oveq2 7283	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦))
7		oveq2 7283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐽 · 𝑥) = (𝐽 · 𝑦))
8	7	oveq2d 7291	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑥)) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦)))
9	6, 8	eqeq12d 2754	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑥)) ↔ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))))
10	9	imbi2d 341	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑥))) ↔ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦)))))
11		oveq2 7283	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)))
12		oveq2 7283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐽 · 𝑥) = (𝐽 · (𝑦 + 1)))
13	12	oveq2d 7291	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑥)) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1))))
14	11, 13	eqeq12d 2754	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑥)) ↔ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1)))))
15	14	imbi2d 341	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑥))) ↔ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1))))))
16		oveq2 7283	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾))
17		oveq2 7283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝐽 · 𝑥) = (𝐽 · 𝐾))
18	17	oveq2d 7291	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑥)) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝐾)))
19	16, 18	eqeq12d 2754	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑥)) ↔ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝐾))))
20	19	imbi2d 341	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑥))) ↔ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝐾)))))
21		ovexd 7310	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → (𝑅↑𝑟𝐽) ∈ V)
22	21	relexp1d 14740	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟1) = (𝑅↑𝑟𝐽))
23		simp1 1135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → 𝐽 ∈ ℕ)
24		nnre 11980	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ → 𝐽 ∈ ℝ)
25		ax-1rid 10941	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ ℝ → (𝐽 · 1) = 𝐽)
26	23, 24, 25	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → (𝐽 · 1) = 𝐽)
27	26	eqcomd 2744	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → 𝐽 = (𝐽 · 1))
28	27	oveq2d 7291	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → (𝑅↑𝑟𝐽) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 1)))
29	22, 28	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟1) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 1)))
30		ovex 7308	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅↑𝑟𝐽) ∈ V
31		simp1 1135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℕ)
32		relexpsucnnr 14736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅↑𝑟𝐽) ∈ V ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) ∘ (𝑅↑𝑟𝐽)))
33	30, 31, 32	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) ∘ (𝑅↑𝑟𝐽)))
34		simp3 1137	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦)))
35	34	coeq1d 5770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → (((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) ∘ (𝑅↑𝑟𝐽)) = ((𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦)) ∘ (𝑅↑𝑟𝐽)))
36		simp21 1205	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → 𝐽 ∈ ℕ)
37	36, 31	nnmulcld 12026	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → (𝐽 · 𝑦) ∈ ℕ)
38		simp22 1206	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → 𝑅 ∈ 𝑉)
39		relexpaddnn 14762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐽 · 𝑦) ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ((𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦)) ∘ (𝑅↑𝑟𝐽)) = (𝑅↑𝑟((𝐽 · 𝑦) + 𝐽)))
40	37, 36, 38, 39	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → ((𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦)) ∘ (𝑅↑𝑟𝐽)) = (𝑅↑𝑟((𝐽 · 𝑦) + 𝐽)))
41	35, 40	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → (((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) ∘ (𝑅↑𝑟𝐽)) = (𝑅↑𝑟((𝐽 · 𝑦) + 𝐽)))
42	36	nncnd 11989	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → 𝐽 ∈ ℂ)
43	31	nncnd 11989	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℂ)
44		1cnd 10970	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → 1 ∈ ℂ)
45	42, 43, 44	adddid 10999	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → (𝐽 · (𝑦 + 1)) = ((𝐽 · 𝑦) + (𝐽 · 1)))
46	42	mulid1d 10992	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → (𝐽 · 1) = 𝐽)
47	46	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → ((𝐽 · 𝑦) + (𝐽 · 1)) = ((𝐽 · 𝑦) + 𝐽))
48	45, 47	eqtr2d 2779	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → ((𝐽 · 𝑦) + 𝐽) = (𝐽 · (𝑦 + 1)))
49	48	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → (𝑅↑𝑟((𝐽 · 𝑦) + 𝐽)) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1))))
50	41, 49	eqtrd 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → (((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) ∘ (𝑅↑𝑟𝐽)) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1))))
51	33, 50	eqtrd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1))))
52	51	3exp 1118	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → (((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1))))))
53	52	a2d 29	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝑦))) → ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1))))))
54	5, 10, 15, 20, 29, 53	nnind 11991	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝐾))))
55	54	3expd 1352	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐽 ∈ ℕ → (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝐼 = (𝐽 · 𝐾) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝐾))))))
56	55	impcom 408	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝐼 = (𝐽 · 𝐾) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝐾)))))
57	56	impd 411	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝐾))))
58	57	impcom 408	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝐾)))
59		simplr 766	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → 𝐼 = (𝐽 · 𝐾))
60	59	eqcomd 2744	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → (𝐽 · 𝐾) = 𝐼)
61	60	oveq2d 7291	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → (𝑅↑𝑟(𝐽 · 𝐾)) = (𝑅↑𝑟𝐼))
62	58, 61	eqtrd 2778	1 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → ((𝑅↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅↑𝑟𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   ∘ ccom 5593  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876  ℕcn 11973  ↑_𝑟crelexp 14730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-seq 13722  df-relexp 14731

This theorem is referenced by:  relexpmulg  41318