MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absef Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem absef 15263
Description: The absolute value of the exponential is the exponential of the real part. (Contributed by Paul Chapman, 13-Sep-2007.)
Assertion
Ref Expression
absef (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(exp‘𝐴)) = (exp‘(ℜ‘𝐴)))

Proof of Theorem absef
StepHypRef Expression
1 replim 14197 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
21fveq2d 6415 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = (exp‘((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))))
3 recl 14191 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
43recnd 10357 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
5 ax-icn 10283 . . . . . . 7 i ∈ ℂ
6 imcl 14192 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
76recnd 10357 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
8 mulcl 10308 . . . . . . 7 ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
95, 7, 8sylancr 582 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
10 efadd 15160 . . . . . 6 (((ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ) → (exp‘((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((exp‘(ℜ‘𝐴)) · (exp‘(i · (ℑ‘𝐴)))))
114, 9, 10syl2anc 580 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((exp‘(ℜ‘𝐴)) · (exp‘(i · (ℑ‘𝐴)))))
122, 11eqtrd 2833 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = ((exp‘(ℜ‘𝐴)) · (exp‘(i · (ℑ‘𝐴)))))
1312fveq2d 6415 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(exp‘𝐴)) = (abs‘((exp‘(ℜ‘𝐴)) · (exp‘(i · (ℑ‘𝐴))))))
143reefcld 15154 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ)
1514recnd 10357 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ)
16 efcl 15149 . . . . 5 ((i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ → (exp‘(i · (ℑ‘𝐴))) ∈ ℂ)
179, 16syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (ℑ‘𝐴))) ∈ ℂ)
1815, 17absmuld 14534 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘((exp‘(ℜ‘𝐴)) · (exp‘(i · (ℑ‘𝐴))))) = ((abs‘(exp‘(ℜ‘𝐴))) · (abs‘(exp‘(i · (ℑ‘𝐴))))))
19 absefi 15262 . . . . 5 ((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ → (abs‘(exp‘(i · (ℑ‘𝐴)))) = 1)
206, 19syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(exp‘(i · (ℑ‘𝐴)))) = 1)
2120oveq2d 6894 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘(exp‘(ℜ‘𝐴))) · (abs‘(exp‘(i · (ℑ‘𝐴))))) = ((abs‘(exp‘(ℜ‘𝐴))) · 1))
2213, 18, 213eqtrd 2837 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(exp‘𝐴)) = ((abs‘(exp‘(ℜ‘𝐴))) · 1))
2315abscld 14516 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(exp‘(ℜ‘𝐴))) ∈ ℝ)
2423recnd 10357 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(exp‘(ℜ‘𝐴))) ∈ ℂ)
2524mulid1d 10346 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘(exp‘(ℜ‘𝐴))) · 1) = (abs‘(exp‘(ℜ‘𝐴))))
26 efgt0 15169 . . . . 5 ((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ → 0 < (exp‘(ℜ‘𝐴)))
273, 26syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → 0 < (exp‘(ℜ‘𝐴)))
28 0re 10330 . . . . 5 0 ∈ ℝ
29 ltle 10416 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ ∧ (exp‘(ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ) → (0 < (exp‘(ℜ‘𝐴)) → 0 ≤ (exp‘(ℜ‘𝐴))))
3028, 14, 29sylancr 582 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (0 < (exp‘(ℜ‘𝐴)) → 0 ≤ (exp‘(ℜ‘𝐴))))
3127, 30mpd 15 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (exp‘(ℜ‘𝐴)))
3214, 31absidd 14502 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(exp‘(ℜ‘𝐴))) = (exp‘(ℜ‘𝐴)))
3322, 25, 323eqtrd 2837 1 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(exp‘𝐴)) = (exp‘(ℜ‘𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1653  wcel 2157   class class class wbr 4843  cfv 6101  (class class class)co 6878  cc 10222  cr 10223  0cc0 10224  1c1 10225  ici 10226   + caddc 10227   · cmul 10229   < clt 10363  cle 10364  cre 14178  cim 14179  abscabs 14315  expce 15128
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302  ax-addf 10303  ax-mulf 10304
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-pm 8098  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-sup 8590  df-inf 8591  df-oi 8657  df-card 9051  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-rp 12075  df-ico 12430  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-fl 12848  df-seq 13056  df-exp 13115  df-fac 13314  df-bc 13343  df-hash 13371  df-shft 14148  df-cj 14180  df-re 14181  df-im 14182  df-sqrt 14316  df-abs 14317  df-limsup 14543  df-clim 14560  df-rlim 14561  df-sum 14758  df-ef 15134  df-sin 15136  df-cos 15137
This theorem is referenced by:  absefib  15264  eff1olem  24636  relog  24684  abscxp  24779  abscxp2  24780  abscxpbnd  24838  zetacvg  25093
  Copyright terms: Public domain W3C validator