MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absef Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem absef 16086
Description: The absolute value of the exponential is the exponential of the real part. (Contributed by Paul Chapman, 13-Sep-2007.)
Assertion
Ref Expression
absef (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜(expโ€˜๐ด)) = (expโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)))

Proof of Theorem absef
StepHypRef Expression
1 replim 15008 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐ด = ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
21fveq2d 6851 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜๐ด) = (expโ€˜((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
3 recl 15002 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
43recnd 11190 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
5 ax-icn 11117 . . . . . . 7 i โˆˆ โ„‚
6 imcl 15003 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
76recnd 11190 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
8 mulcl 11142 . . . . . . 7 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
95, 7, 8sylancr 588 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
10 efadd 15983 . . . . . 6 (((โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (expโ€˜((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) = ((expโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (expโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
114, 9, 10syl2anc 585 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) = ((expโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (expโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
122, 11eqtrd 2777 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜๐ด) = ((expโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (expโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
1312fveq2d 6851 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜(expโ€˜๐ด)) = (absโ€˜((expโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (expโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))
143reefcld 15977 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
1514recnd 11190 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
16 efcl 15972 . . . . 5 ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„‚)
179, 16syl 17 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„‚)
1815, 17absmuld 15346 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜((expโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (expโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) = ((absโ€˜(expโ€˜(โ„œโ€˜๐ด))) ยท (absโ€˜(expโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))
19 absefi 16085 . . . . 5 ((โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โ†’ (absโ€˜(expโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) = 1)
206, 19syl 17 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜(expโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) = 1)
2120oveq2d 7378 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜(expโ€˜(โ„œโ€˜๐ด))) ยท (absโ€˜(expโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) = ((absโ€˜(expโ€˜(โ„œโ€˜๐ด))) ยท 1))
2213, 18, 213eqtrd 2781 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜(expโ€˜๐ด)) = ((absโ€˜(expโ€˜(โ„œโ€˜๐ด))) ยท 1))
2315abscld 15328 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜(expโ€˜(โ„œโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„)
2423recnd 11190 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜(expโ€˜(โ„œโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„‚)
2524mulid1d 11179 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜(expโ€˜(โ„œโ€˜๐ด))) ยท 1) = (absโ€˜(expโ€˜(โ„œโ€˜๐ด))))
26 efgt0 15992 . . . . 5 ((โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โ†’ 0 < (expโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)))
273, 26syl 17 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 0 < (expโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)))
28 0re 11164 . . . . 5 0 โˆˆ โ„
29 ltle 11250 . . . . 5 ((0 โˆˆ โ„ โˆง (expโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„) โ†’ (0 < (expโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค (expโ€˜(โ„œโ€˜๐ด))))
3028, 14, 29sylancr 588 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 < (expโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค (expโ€˜(โ„œโ€˜๐ด))))
3127, 30mpd 15 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 0 โ‰ค (expโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)))
3214, 31absidd 15314 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜(expโ€˜(โ„œโ€˜๐ด))) = (expโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)))
3322, 25, 323eqtrd 2781 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜(expโ€˜๐ด)) = (expโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5110  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059  ici 11060   + caddc 11061   ยท cmul 11063   < clt 11196   โ‰ค cle 11197  โ„œcre 14989  โ„‘cim 14990  abscabs 15126  expce 15951
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-ico 13277  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960
This theorem is referenced by:  absefib  16087  eff1olem  25920  relog  25968  abscxp  26063  abscxp2  26064  abscxpbnd  26122  zetacvg  26380
  Copyright terms: Public domain W3C validator