Theorem absef 16143

Description: The absolute value of the exponential is the exponential of the real part. (Contributed by Paul Chapman, 13-Sep-2007.)

Assertion

Ref	Expression
absef	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(exp‘𝐴)) = (exp‘(ℜ‘𝐴)))

Proof of Theorem absef

Step	Hyp	Ref	Expression
1		replim 15065	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
2	1	fveq2d 6886	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = (exp‘((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))))
3		recl 15059	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
4	3	recnd 11241	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
5		ax-icn 11166	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
6		imcl 15060	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
7	6	recnd 11241	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
8		mulcl 11191	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
9	5, 7, 8	sylancr 586	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
10		efadd 16040	. . . . . 6 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ) → (exp‘((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((exp‘(ℜ‘𝐴)) · (exp‘(i · (ℑ‘𝐴)))))
11	4, 9, 10	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((exp‘(ℜ‘𝐴)) · (exp‘(i · (ℑ‘𝐴)))))
12	2, 11	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = ((exp‘(ℜ‘𝐴)) · (exp‘(i · (ℑ‘𝐴)))))
13	12	fveq2d 6886	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(exp‘𝐴)) = (abs‘((exp‘(ℜ‘𝐴)) · (exp‘(i · (ℑ‘𝐴))))))
14	3	reefcld 16034	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ)
15	14	recnd 11241	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ)
16		efcl 16028	. . . . 5 ⊢ ((i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ → (exp‘(i · (ℑ‘𝐴))) ∈ ℂ)
17	9, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (ℑ‘𝐴))) ∈ ℂ)
18	15, 17	absmuld 15403	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘((exp‘(ℜ‘𝐴)) · (exp‘(i · (ℑ‘𝐴))))) = ((abs‘(exp‘(ℜ‘𝐴))) · (abs‘(exp‘(i · (ℑ‘𝐴))))))
19		absefi 16142	. . . . 5 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ → (abs‘(exp‘(i · (ℑ‘𝐴)))) = 1)
20	6, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(exp‘(i · (ℑ‘𝐴)))) = 1)
21	20	oveq2d 7418	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘(exp‘(ℜ‘𝐴))) · (abs‘(exp‘(i · (ℑ‘𝐴))))) = ((abs‘(exp‘(ℜ‘𝐴))) · 1))
22	13, 18, 21	3eqtrd 2768	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(exp‘𝐴)) = ((abs‘(exp‘(ℜ‘𝐴))) · 1))
23	15	abscld 15385	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(exp‘(ℜ‘𝐴))) ∈ ℝ)
24	23	recnd 11241	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(exp‘(ℜ‘𝐴))) ∈ ℂ)
25	24	mulridd 11230	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘(exp‘(ℜ‘𝐴))) · 1) = (abs‘(exp‘(ℜ‘𝐴))))
26		efgt0 16049	. . . . 5 ⊢ ((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ → 0 < (exp‘(ℜ‘𝐴)))
27	3, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 < (exp‘(ℜ‘𝐴)))
28		0re 11215	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
29		ltle 11301	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (exp‘(ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ) → (0 < (exp‘(ℜ‘𝐴)) → 0 ≤ (exp‘(ℜ‘𝐴))))
30	28, 14, 29	sylancr 586	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 < (exp‘(ℜ‘𝐴)) → 0 ≤ (exp‘(ℜ‘𝐴))))
31	27, 30	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (exp‘(ℜ‘𝐴)))
32	14, 31	absidd 15371	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(exp‘(ℜ‘𝐴))) = (exp‘(ℜ‘𝐴)))
33	22, 25, 32	3eqtrd 2768	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(exp‘𝐴)) = (exp‘(ℜ‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5139  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402  ℂcc 11105  ℝcr 11106  0cc0 11107  1c1 11108  ici 11109   + caddc 11110   · cmul 11112   < clt 11247   ≤ cle 11248  ℜcre 15046  ℑcim 15047  abscabs 15183  expce 16007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12976  df-ico 13331  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-fl 13758  df-seq 13968  df-exp 14029  df-fac 14235  df-bc 14264  df-hash 14292  df-shft 15016  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-ef 16013  df-sin 16015  df-cos 16016

This theorem is referenced by:  absefib  16144  eff1olem  26423  relog  26472  abscxp  26567  abscxp2  26568  abscxpbnd  26629  zetacvg  26888