MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absef Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem absef 16174
Description: The absolute value of the exponential is the exponential of the real part. (Contributed by Paul Chapman, 13-Sep-2007.)
Assertion
Ref Expression
absef (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜(expโ€˜๐ด)) = (expโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)))

Proof of Theorem absef
StepHypRef Expression
1 replim 15096 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐ด = ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
21fveq2d 6901 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜๐ด) = (expโ€˜((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
3 recl 15090 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
43recnd 11273 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
5 ax-icn 11198 . . . . . . 7 i โˆˆ โ„‚
6 imcl 15091 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
76recnd 11273 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
8 mulcl 11223 . . . . . . 7 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
95, 7, 8sylancr 586 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
10 efadd 16071 . . . . . 6 (((โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (expโ€˜((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) = ((expโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (expโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
114, 9, 10syl2anc 583 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) = ((expโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (expโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
122, 11eqtrd 2768 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜๐ด) = ((expโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (expโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
1312fveq2d 6901 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜(expโ€˜๐ด)) = (absโ€˜((expโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (expโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))
143reefcld 16065 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
1514recnd 11273 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
16 efcl 16059 . . . . 5 ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„‚)
179, 16syl 17 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„‚)
1815, 17absmuld 15434 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜((expโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (expโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) = ((absโ€˜(expโ€˜(โ„œโ€˜๐ด))) ยท (absโ€˜(expโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))
19 absefi 16173 . . . . 5 ((โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โ†’ (absโ€˜(expโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) = 1)
206, 19syl 17 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜(expโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) = 1)
2120oveq2d 7436 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜(expโ€˜(โ„œโ€˜๐ด))) ยท (absโ€˜(expโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) = ((absโ€˜(expโ€˜(โ„œโ€˜๐ด))) ยท 1))
2213, 18, 213eqtrd 2772 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜(expโ€˜๐ด)) = ((absโ€˜(expโ€˜(โ„œโ€˜๐ด))) ยท 1))
2315abscld 15416 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜(expโ€˜(โ„œโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„)
2423recnd 11273 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜(expโ€˜(โ„œโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„‚)
2524mulridd 11262 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜(expโ€˜(โ„œโ€˜๐ด))) ยท 1) = (absโ€˜(expโ€˜(โ„œโ€˜๐ด))))
26 efgt0 16080 . . . . 5 ((โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โ†’ 0 < (expโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)))
273, 26syl 17 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 0 < (expโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)))
28 0re 11247 . . . . 5 0 โˆˆ โ„
29 ltle 11333 . . . . 5 ((0 โˆˆ โ„ โˆง (expโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„) โ†’ (0 < (expโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค (expโ€˜(โ„œโ€˜๐ด))))
3028, 14, 29sylancr 586 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 < (expโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค (expโ€˜(โ„œโ€˜๐ด))))
3127, 30mpd 15 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 0 โ‰ค (expโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)))
3214, 31absidd 15402 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜(expโ€˜(โ„œโ€˜๐ด))) = (expโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)))
3322, 25, 323eqtrd 2772 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜(expโ€˜๐ด)) = (expโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  โ„‚cc 11137  โ„cr 11138  0cc0 11139  1c1 11140  ici 11141   + caddc 11142   ยท cmul 11144   < clt 11279   โ‰ค cle 11280  โ„œcre 15077  โ„‘cim 15078  abscabs 15214  expce 16038
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-rp 13008  df-ico 13363  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-fl 13790  df-seq 14000  df-exp 14060  df-fac 14266  df-bc 14295  df-hash 14323  df-shft 15047  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-limsup 15448  df-clim 15465  df-rlim 15466  df-sum 15666  df-ef 16044  df-sin 16046  df-cos 16047
This theorem is referenced by:  absefib  16175  eff1olem  26495  relog  26544  abscxp  26639  abscxp2  26640  abscxpbnd  26701  zetacvg  26960
  Copyright terms: Public domain W3C validator