Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absef Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem absef 15529
 Description: The absolute value of the exponential is the exponential of the real part. (Contributed by Paul Chapman, 13-Sep-2007.)
Assertion
Ref Expression
absef (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(exp‘𝐴)) = (exp‘(ℜ‘𝐴)))

Proof of Theorem absef
StepHypRef Expression
1 replim 14454 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
21fveq2d 6647 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = (exp‘((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))))
3 recl 14448 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
43recnd 10646 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
5 ax-icn 10573 . . . . . . 7 i ∈ ℂ
6 imcl 14449 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
76recnd 10646 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
8 mulcl 10598 . . . . . . 7 ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
95, 7, 8sylancr 590 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
10 efadd 15426 . . . . . 6 (((ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ) → (exp‘((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((exp‘(ℜ‘𝐴)) · (exp‘(i · (ℑ‘𝐴)))))
114, 9, 10syl2anc 587 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((exp‘(ℜ‘𝐴)) · (exp‘(i · (ℑ‘𝐴)))))
122, 11eqtrd 2856 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = ((exp‘(ℜ‘𝐴)) · (exp‘(i · (ℑ‘𝐴)))))
1312fveq2d 6647 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(exp‘𝐴)) = (abs‘((exp‘(ℜ‘𝐴)) · (exp‘(i · (ℑ‘𝐴))))))
143reefcld 15420 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ)
1514recnd 10646 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ)
16 efcl 15415 . . . . 5 ((i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ → (exp‘(i · (ℑ‘𝐴))) ∈ ℂ)
179, 16syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (ℑ‘𝐴))) ∈ ℂ)
1815, 17absmuld 14793 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘((exp‘(ℜ‘𝐴)) · (exp‘(i · (ℑ‘𝐴))))) = ((abs‘(exp‘(ℜ‘𝐴))) · (abs‘(exp‘(i · (ℑ‘𝐴))))))
19 absefi 15528 . . . . 5 ((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ → (abs‘(exp‘(i · (ℑ‘𝐴)))) = 1)
206, 19syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(exp‘(i · (ℑ‘𝐴)))) = 1)
2120oveq2d 7146 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘(exp‘(ℜ‘𝐴))) · (abs‘(exp‘(i · (ℑ‘𝐴))))) = ((abs‘(exp‘(ℜ‘𝐴))) · 1))
2213, 18, 213eqtrd 2860 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(exp‘𝐴)) = ((abs‘(exp‘(ℜ‘𝐴))) · 1))
2315abscld 14775 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(exp‘(ℜ‘𝐴))) ∈ ℝ)
2423recnd 10646 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(exp‘(ℜ‘𝐴))) ∈ ℂ)
2524mulid1d 10635 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘(exp‘(ℜ‘𝐴))) · 1) = (abs‘(exp‘(ℜ‘𝐴))))
26 efgt0 15435 . . . . 5 ((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ → 0 < (exp‘(ℜ‘𝐴)))
273, 26syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → 0 < (exp‘(ℜ‘𝐴)))
28 0re 10620 . . . . 5 0 ∈ ℝ
29 ltle 10706 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ ∧ (exp‘(ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ) → (0 < (exp‘(ℜ‘𝐴)) → 0 ≤ (exp‘(ℜ‘𝐴))))
3028, 14, 29sylancr 590 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (0 < (exp‘(ℜ‘𝐴)) → 0 ≤ (exp‘(ℜ‘𝐴))))
3127, 30mpd 15 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (exp‘(ℜ‘𝐴)))
3214, 31absidd 14761 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(exp‘(ℜ‘𝐴))) = (exp‘(ℜ‘𝐴)))
3322, 25, 323eqtrd 2860 1 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(exp‘𝐴)) = (exp‘(ℜ‘𝐴)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   class class class wbr 5039  ‘cfv 6328  (class class class)co 7130  ℂcc 10512  ℝcr 10513  0cc0 10514  1c1 10515  ici 10516   + caddc 10517   · cmul 10519   < clt 10652   ≤ cle 10653  ℜcre 14435  ℑcim 14436  abscabs 14572  expce 15394 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-inf2 9080  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592  ax-addf 10593  ax-mulf 10594 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-oadd 8081  df-er 8264  df-pm 8384  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-sup 8882  df-inf 8883  df-oi 8950  df-card 9344  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-rp 12368  df-ico 12722  df-fz 12876  df-fzo 13017  df-fl 13145  df-seq 13353  df-exp 13414  df-fac 13618  df-bc 13647  df-hash 13675  df-shft 14405  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439  df-sqrt 14573  df-abs 14574  df-limsup 14807  df-clim 14824  df-rlim 14825  df-sum 15022  df-ef 15400  df-sin 15402  df-cos 15403 This theorem is referenced by:  absefib  15530  eff1olem  25119  relog  25167  abscxp  25262  abscxp2  25263  abscxpbnd  25321  zetacvg  25579
 Copyright terms: Public domain W3C validator