Theorem absef 16271

Description: The absolute value of the exponential is the exponential of the real part. (Contributed by Paul Chapman, 13-Sep-2007.)

Assertion

Ref	Expression
absef	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(exp‘𝐴)) = (exp‘(ℜ‘𝐴)))

Proof of Theorem absef

Step	Hyp	Ref	Expression
1		replim 15187	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
2	1	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = (exp‘((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))))
3		recl 15181	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
4	3	recnd 11248	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
5		ax-icn 11170	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
6		imcl 15182	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
7	6	recnd 11248	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
8		mulcl 11195	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
9	5, 7, 8	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
10		efadd 16166	. . . . . 6 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ) → (exp‘((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((exp‘(ℜ‘𝐴)) · (exp‘(i · (ℑ‘𝐴)))))
11	4, 9, 10	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((exp‘(ℜ‘𝐴)) · (exp‘(i · (ℑ‘𝐴)))))
12	2, 11	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = ((exp‘(ℜ‘𝐴)) · (exp‘(i · (ℑ‘𝐴)))))
13	12	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(exp‘𝐴)) = (abs‘((exp‘(ℜ‘𝐴)) · (exp‘(i · (ℑ‘𝐴))))))
14	3	reefcld 16160	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ)
15	14	recnd 11248	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ)
16		efcl 16154	. . . . 5 ⊢ ((i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ → (exp‘(i · (ℑ‘𝐴))) ∈ ℂ)
17	9, 16	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (ℑ‘𝐴))) ∈ ℂ)
18	15, 17	absmuld 15528	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘((exp‘(ℜ‘𝐴)) · (exp‘(i · (ℑ‘𝐴))))) = ((abs‘(exp‘(ℜ‘𝐴))) · (abs‘(exp‘(i · (ℑ‘𝐴))))))
19		absefi 16270	. . . . 5 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ → (abs‘(exp‘(i · (ℑ‘𝐴)))) = 1)
20	6, 19	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(exp‘(i · (ℑ‘𝐴)))) = 1)
21	20	oveq2d 7432	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘(exp‘(ℜ‘𝐴))) · (abs‘(exp‘(i · (ℑ‘𝐴))))) = ((abs‘(exp‘(ℜ‘𝐴))) · 1))
22	13, 18, 21	3eqtrd 2804	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(exp‘𝐴)) = ((abs‘(exp‘(ℜ‘𝐴))) · 1))
23	15	abscld 15510	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(exp‘(ℜ‘𝐴))) ∈ ℝ)
24	23	recnd 11248	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(exp‘(ℜ‘𝐴))) ∈ ℂ)
25	24	mulridd 11237	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘(exp‘(ℜ‘𝐴))) · 1) = (abs‘(exp‘(ℜ‘𝐴))))
26		efgt0 16177	. . . . 5 ⊢ ((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ → 0 < (exp‘(ℜ‘𝐴)))
27	3, 26	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 < (exp‘(ℜ‘𝐴)))
28		0re 11221	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
29		ltle 11309	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (exp‘(ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ) → (0 < (exp‘(ℜ‘𝐴)) → 0 ≤ (exp‘(ℜ‘𝐴))))
30	28, 14, 29	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 < (exp‘(ℜ‘𝐴)) → 0 ≤ (exp‘(ℜ‘𝐴))))
31	27, 30	mpd 16	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (exp‘(ℜ‘𝐴)))
32	14, 31	absidd 15494	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(exp‘(ℜ‘𝐴))) = (exp‘(ℜ‘𝐴)))
33	22, 25, 32	3eqtrd 2804	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(exp‘𝐴)) = (exp‘(ℜ‘𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ℂcc 11109  ℝcr 11110  0cc0 11111  1c1 11112  ici 11113   + caddc 11114   · cmul 11116   < clt 11254   ≤ cle 11255  ℜcre 15168  ℑcim 15169  abscabs 15305  expce 16133

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-inf2 9613  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9405  df-inf 9406  df-oi 9475  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12875  df-rp 13029  df-ico 13390  df-fz 13548  df-fzo 13696  df-fl 13839  df-seq 14052  df-exp 14112  df-fac 14324  df-bc 14353  df-hash 14381  df-shft 15124  df-cj 15170  df-re 15171  df-im 15172  df-sqrt 15306  df-abs 15307  df-limsup 15542  df-clim 15559  df-rlim 15560  df-sum 15758  df-ef 16139  df-sin 16141  df-cos 16142

This theorem is used by:  absefib  16272  eff1olem  26744  relog  26793  abscxp  26888  abscxp2  26889  abscxpbnd  26949  zetacvg  27210