Theorem efeul 16068

Description: Eulerian representation of the complex exponential. (Suggested by Jeff Hankins, 3-Jul-2006.) (Contributed by NM, 4-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
efeul	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = ((exp‘(ℜ‘𝐴)) · ((cos‘(ℑ‘𝐴)) + (i · (sin‘(ℑ‘𝐴))))))

Proof of Theorem efeul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		replim 15020	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
2	1	fveq2d 6826	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = (exp‘((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))))
3		recl 15014	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
4	3	recnd 11137	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
5		ax-icn 11062	. . . 4 ⊢ i ∈ ℂ
6		imcl 15015	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
7	6	recnd 11137	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
8		mulcl 11087	. . . 4 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
9	5, 7, 8	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
10		efadd 15998	. . 3 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ) → (exp‘((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((exp‘(ℜ‘𝐴)) · (exp‘(i · (ℑ‘𝐴)))))
11	4, 9, 10	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((exp‘(ℜ‘𝐴)) · (exp‘(i · (ℑ‘𝐴)))))
12		efival 16058	. . . 4 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · (ℑ‘𝐴))) = ((cos‘(ℑ‘𝐴)) + (i · (sin‘(ℑ‘𝐴)))))
13	7, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (ℑ‘𝐴))) = ((cos‘(ℑ‘𝐴)) + (i · (sin‘(ℑ‘𝐴)))))
14	13	oveq2d 7362	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(ℜ‘𝐴)) · (exp‘(i · (ℑ‘𝐴)))) = ((exp‘(ℜ‘𝐴)) · ((cos‘(ℑ‘𝐴)) + (i · (sin‘(ℑ‘𝐴))))))
15	2, 11, 14	3eqtrd 2770	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = ((exp‘(ℜ‘𝐴)) · ((cos‘(ℑ‘𝐴)) + (i · (sin‘(ℑ‘𝐴))))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11001  ici 11005   + caddc 11006   · cmul 11008  ℜcre 15001  ℑcim 15002  expce 15965  sincsin 15967  cosccos 15968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-pm 8753  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-card 9829  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-rp 12888  df-ico 13248  df-fz 13405  df-fzo 13552  df-fl 13693  df-seq 13906  df-exp 13966  df-fac 14178  df-bc 14207  df-hash 14235  df-shft 14971  df-cj 15003  df-re 15004  df-im 15005  df-sqrt 15139  df-abs 15140  df-limsup 15375  df-clim 15392  df-rlim 15393  df-sum 15591  df-ef 15971  df-sin 15973  df-cos 15974

This theorem is referenced by:  logf1o2  26584  cxpsqrtlem  26636  asinsinlem  26826