Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ress1r Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ress1r 31024
 Description: 1r is unaffected by restriction. This is a bit more generic than subrg1 19626. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ress1r.s 𝑆 = (𝑅s 𝐴)
ress1r.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ress1r.1 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
ress1r ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1𝐴𝐴𝐵) → 1 = (1r𝑆))

Proof of Theorem ress1r
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ress1r.s . . . 4 𝑆 = (𝑅s 𝐴)
2 ress1r.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
31, 2ressbas2 16626 . . 3 (𝐴𝐵𝐴 = (Base‘𝑆))
433ad2ant3 1132 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1𝐴𝐴𝐵) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
5 simp3 1135 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1𝐴𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
62fvexi 6677 . . . 4 𝐵 ∈ V
7 ssexg 5197 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
85, 6, 7sylancl 589 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1𝐴𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ V)
9 eqid 2758 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
101, 9ressmulr 16696 . . 3 (𝐴 ∈ V → (.r𝑅) = (.r𝑆))
118, 10syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1𝐴𝐴𝐵) → (.r𝑅) = (.r𝑆))
12 simp2 1134 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1𝐴𝐴𝐵) → 1𝐴)
13 simpl1 1188 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1𝐴𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑅 ∈ Ring)
145sselda 3894 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1𝐴𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐵)
15 ress1r.1 . . . 4 1 = (1r𝑅)
162, 9, 15ringlidm 19405 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵) → ( 1 (.r𝑅)𝑥) = 𝑥)
1713, 14, 16syl2anc 587 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1𝐴𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → ( 1 (.r𝑅)𝑥) = 𝑥)
182, 9, 15ringridm 19406 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥(.r𝑅) 1 ) = 𝑥)
1913, 14, 18syl2anc 587 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1𝐴𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥(.r𝑅) 1 ) = 𝑥)
204, 11, 12, 17, 19rngurd 31020 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1𝐴𝐴𝐵) → 1 = (1r𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3409   ⊆ wss 3860  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  Basecbs 16554   ↾s cress 16555  .rcmulr 16637  1rcur 19332  Ringcrg 19378 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-er 8305  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-ndx 16557  df-slot 16558  df-base 16560  df-sets 16561  df-ress 16562  df-plusg 16649  df-mulr 16650  df-0g 16786  df-mgm 17931  df-sgrp 17980  df-mnd 17991  df-mgp 19321  df-ur 19333  df-ring 19380 This theorem is referenced by:  xrge0slmod  31081
 Copyright terms: Public domain W3C validator