Theorem ress1r 33229

Description: 1_r is unaffected by restriction. This is a bit more generic than subrg1 20542. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ress1r.s	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
ress1r.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ress1r.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ress1r	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 1 = (1r‘𝑆))

Proof of Theorem ress1r

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ress1r.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
2		ress1r.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	1, 2	ressbas2 17259	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = (Base‘𝑆))
4	3	3ad2ant3 1135	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
5		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
6	2	fvexi 6890	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
7		ssexg 5293	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
8	5, 6, 7	sylancl 586	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ V)
9		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
10	1, 9	ressmulr 17321	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑆))
11	8, 10	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑆))
12		simp2 1137	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 1 ∈ 𝐴)
13		simpl1 1192	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑅 ∈ Ring)
14	5	sselda 3958	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐵)
15		ress1r.1	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
16	2, 9, 15	ringlidm 20229	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥)
17	13, 14, 16	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥)
18	2, 9, 15	ringridm 20230	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑥)
19	13, 14, 18	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑥)
20	4, 11, 12, 17, 19	ringurd 20145	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 1 = (1r‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459   ⊆ wss 3926  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Basecbs 17228   ↾_s cress 17251  ._rcmulr 17272  1_rcur 20141  Ringcrg 20193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-0g 17455  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-mgp 20101  df-ur 20142  df-ring 20195

This theorem is referenced by:  xrge0slmod  33363  ressply1evls1  33578  fldgenfldext  33709  fldextrspundgdvdslem  33721  fldextrspundgdvds  33722  ply1annnr  33737  rtelextdg2lem  33760