Theorem ress1r 32372

Description: 1_r is unaffected by restriction. This is a bit more generic than subrg1 20366. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ress1r.s	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
ress1r.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ress1r.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ress1r	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 1 = (1r‘𝑆))

Proof of Theorem ress1r

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ress1r.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
2		ress1r.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	1, 2	ressbas2 17179	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = (Base‘𝑆))
4	3	3ad2ant3 1136	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
5		simp3 1139	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
6	2	fvexi 6903	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
7		ssexg 5323	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
8	5, 6, 7	sylancl 587	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ V)
9		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
10	1, 9	ressmulr 17249	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑆))
11	8, 10	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑆))
12		simp2 1138	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 1 ∈ 𝐴)
13		simpl1 1192	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑅 ∈ Ring)
14	5	sselda 3982	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐵)
15		ress1r.1	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
16	2, 9, 15	ringlidm 20080	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥)
17	13, 14, 16	syl2anc 585	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥)
18	2, 9, 15	ringridm 20081	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑥)
19	13, 14, 18	syl2anc 585	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑥)
20	4, 11, 12, 17, 19	rngurd 32368	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 1 = (1r‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   ⊆ wss 3948  ‘cfv 6541  (class class class)co 7406  Basecbs 17141   ↾_s cress 17170  ._rcmulr 17195  1_rcur 19999  Ringcrg 20050

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-0g 17384  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-mgp 19983  df-ur 20000  df-ring 20052

This theorem is referenced by:  xrge0slmod  32452  ply1annnr  32753