Theorem ress1r 33214

Description: 1_r is unaffected by restriction. This is a bit more generic than subrg1 20610. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ress1r.s	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
ress1r.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ress1r.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ress1r	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 1 = (1r‘𝑆))

Proof of Theorem ress1r

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ress1r.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
2		ress1r.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	1, 2	ressbas2 17296	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = (Base‘𝑆))
4	3	3ad2ant3 1135	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
5		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
6	2	fvexi 6934	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
7		ssexg 5341	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
8	5, 6, 7	sylancl 585	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ V)
9		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
10	1, 9	ressmulr 17366	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑆))
11	8, 10	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑆))
12		simp2 1137	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 1 ∈ 𝐴)
13		simpl1 1191	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑅 ∈ Ring)
14	5	sselda 4008	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐵)
15		ress1r.1	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
16	2, 9, 15	ringlidm 20292	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥)
17	13, 14, 16	syl2anc 583	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥)
18	2, 9, 15	ringridm 20293	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑥)
19	13, 14, 18	syl2anc 583	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑥)
20	4, 11, 12, 17, 19	ringurd 20212	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 1 = (1r‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258   ↾_s cress 17287  ._rcmulr 17312  1_rcur 20208  Ringcrg 20260

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mgp 20162  df-ur 20209  df-ring 20262

This theorem is referenced by:  xrge0slmod  33341  fldgenfldext  33678  ply1annnr  33696  rtelextdg2lem  33717