Theorem ress1r 33493

Description: 1_r is unaffected by restriction. This is a bit more generic than subrg1 20667. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ress1r.s	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
ress1r.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ress1r.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ress1r	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 1 = (1r‘𝑆))

Proof of Theorem ress1r

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ress1r.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
2		ress1r.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	1, 2	ressbas2 17298	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = (Base‘𝑆))
4	3	3ad2ant3 1151	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
5		simp3 1154	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
6	2	fvexi 6896	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
7		ssexg 5294	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
8	5, 6, 7	sylancl 597	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ V)
9		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
10	1, 9	ressmulr 17360	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑆))
11	8, 10	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑆))
12		simp2 1153	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 1 ∈ 𝐴)
13		simpl1 1208	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑅 ∈ Ring)
14	5	sselda 3943	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐵)
15		ress1r.1	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
16	2, 9, 15	ringlidm 20352	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥)
17	13, 14, 16	syl2anc 595	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥)
18	2, 9, 15	ringridm 20353	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑥)
19	13, 14, 18	syl2anc 595	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑥)
20	4, 11, 12, 17, 19	ringurd 20267	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 1 = (1r‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3461   ⊆ wss 3911  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Basecbs 17269   ↾_s cress 17290  ._rcmulr 17311  1_rcur 20263  Ringcrg 20315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-0g 17494  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-mgp 20217  df-ur 20264  df-ring 20317

This theorem is referenced by:  xrge0slmod  33611  ressply1evls1  33800  fldgenfldext  34003  fldextrspundgdvdslem  34015  fldextrspundgdvds  34016  ply1annnr  34038  rtelextdg2lem  34061