Theorem ressmulgnn0d 33076

Description: Values for the group multiple function in a restricted structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressmulgnn0d.1	⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾s 𝐴) = 𝐻)
ressmulgnn0d.2	⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻))
ressmulgnn0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
ressmulgnn0d.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
ressmulgnn0d.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
ressmulgnn0d	⊢ (𝜑 → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁(.g‘𝐺)𝑋))

Proof of Theorem ressmulgnn0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressmulgnn0d.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾s 𝐴) = 𝐻)
2	1	fveq2d 6836	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (.g‘(𝐺 ↾s 𝐴)) = (.g‘𝐻))
3	2	oveqd 7373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁(.g‘(𝐺 ↾s 𝐴))𝑋) = (𝑁(.g‘𝐻)𝑋))
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁(.g‘(𝐺 ↾s 𝐴))𝑋) = (𝑁(.g‘𝐻)𝑋))
5		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (𝐺 ↾s 𝐴) = (𝐺 ↾s 𝐴)
6		ressmulgnn0d.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
8		ressmulgnn0d.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ 𝐴)
10		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
11	5, 7, 9, 10	ressmulgnnd 19006	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁(.g‘(𝐺 ↾s 𝐴))𝑋) = (𝑁(.g‘𝐺)𝑋))
12	4, 11	eqtr3d 2771	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁(.g‘𝐺)𝑋))
13	8	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑋 ∈ 𝐴)
14		eqid 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
15	5, 14	ressbas2 17163	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) → 𝐴 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝐴)))
16	6, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝐴)))
17	16	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 𝐴 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝐴)))
18	13, 17	eleqtrd 2836	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑋 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐴)))
19		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐴)) = (Base‘(𝐺 ↾s 𝐴))
20		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘(𝐺 ↾s 𝐴)) = (0g‘(𝐺 ↾s 𝐴))
21		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘(𝐺 ↾s 𝐴)) = (.g‘(𝐺 ↾s 𝐴))
22	19, 20, 21	mulg0 19002	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐴)) → (0(.g‘(𝐺 ↾s 𝐴))𝑋) = (0g‘(𝐺 ↾s 𝐴)))
23	18, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (0(.g‘(𝐺 ↾s 𝐴))𝑋) = (0g‘(𝐺 ↾s 𝐴)))
24	2	oveqd 7373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0(.g‘(𝐺 ↾s 𝐴))𝑋) = (0(.g‘𝐻)𝑋))
25	24	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (0(.g‘(𝐺 ↾s 𝐴))𝑋) = (0(.g‘𝐻)𝑋))
26	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (𝐺 ↾s 𝐴) = 𝐻)
27	26	fveq2d 6836	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (0g‘(𝐺 ↾s 𝐴)) = (0g‘𝐻))
28		ressmulgnn0d.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻))
29	28	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻))
30	27, 29	eqtr4d 2772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (0g‘(𝐺 ↾s 𝐴)) = (0g‘𝐺))
31	23, 25, 30	3eqtr3d 2777	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (0(.g‘𝐻)𝑋) = (0g‘𝐺))
32		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
33	32	oveq1d 7371	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (0(.g‘𝐻)𝑋))
34	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
35	34, 13	sseldd 3932	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
36		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
37		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
38	14, 36, 37	mulg0 19002	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) → (0(.g‘𝐺)𝑋) = (0g‘𝐺))
39	35, 38	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (0(.g‘𝐺)𝑋) = (0g‘𝐺))
40	31, 33, 39	3eqtr4d 2779	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (0(.g‘𝐺)𝑋))
41	32	oveq1d 7371	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁(.g‘𝐺)𝑋) = (0(.g‘𝐺)𝑋))
42	40, 41	eqtr4d 2772	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁(.g‘𝐺)𝑋))
43		ressmulgnn0d.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
44		elnn0 12401	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
45	43, 44	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
46	12, 42, 45	mpjaodan 960	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁(.g‘𝐺)𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  0cc0 11024  ℕcn 12143  ℕ₀cn0 12399  Basecbs 17134   ↾_s cress 17155  0_gc0g 17357  ._gcmg 18995

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-seq 13923  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulg 18996

This theorem is referenced by:  ressply1evls1  33595