Theorem ressmulgnn0d 33226

Description: Values for the group multiple function in a restricted structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressmulgnn0d.1	⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾s 𝐴) = 𝐻)
ressmulgnn0d.2	⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻))
ressmulgnn0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
ressmulgnn0d.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
ressmulgnn0d.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
ressmulgnn0d	⊢ (𝜑 → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁(.g‘𝐺)𝑋))

Proof of Theorem ressmulgnn0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressmulgnn0d.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾s 𝐴) = 𝐻)
2	1	fveq2d 6873	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (.g‘(𝐺 ↾s 𝐴)) = (.g‘𝐻))
3	2	oveqd 7415	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁(.g‘(𝐺 ↾s 𝐴))𝑋) = (𝑁(.g‘𝐻)𝑋))
4	3	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁(.g‘(𝐺 ↾s 𝐴))𝑋) = (𝑁(.g‘𝐻)𝑋))
5		eqid 2764	. . . 4 ⊢ (𝐺 ↾s 𝐴) = (𝐺 ↾s 𝐴)
6		ressmulgnn0d.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
7	6	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
8		ressmulgnn0d.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
9	8	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ 𝐴)
10		simpr 488	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
11	5, 7, 9, 10	ressmulgnnd 19122	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁(.g‘(𝐺 ↾s 𝐴))𝑋) = (𝑁(.g‘𝐺)𝑋))
12	4, 11	eqtr3d 2801	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁(.g‘𝐺)𝑋))
13	8	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑋 ∈ 𝐴)
14		eqid 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
15	5, 14	ressbas2 17276	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) → 𝐴 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝐴)))
16	6, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝐴)))
17	16	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 𝐴 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝐴)))
18	13, 17	eleqtrd 2866	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑋 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐴)))
19		eqid 2764	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐴)) = (Base‘(𝐺 ↾s 𝐴))
20		eqid 2764	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘(𝐺 ↾s 𝐴)) = (0g‘(𝐺 ↾s 𝐴))
21		eqid 2764	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘(𝐺 ↾s 𝐴)) = (.g‘(𝐺 ↾s 𝐴))
22	19, 20, 21	mulg0 19118	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐴)) → (0(.g‘(𝐺 ↾s 𝐴))𝑋) = (0g‘(𝐺 ↾s 𝐴)))
23	18, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (0(.g‘(𝐺 ↾s 𝐴))𝑋) = (0g‘(𝐺 ↾s 𝐴)))
24	2	oveqd 7415	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0(.g‘(𝐺 ↾s 𝐴))𝑋) = (0(.g‘𝐻)𝑋))
25	24	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (0(.g‘(𝐺 ↾s 𝐴))𝑋) = (0(.g‘𝐻)𝑋))
26	1	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (𝐺 ↾s 𝐴) = 𝐻)
27	26	fveq2d 6873	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (0g‘(𝐺 ↾s 𝐴)) = (0g‘𝐻))
28		ressmulgnn0d.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻))
29	28	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻))
30	27, 29	eqtr4d 2802	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (0g‘(𝐺 ↾s 𝐴)) = (0g‘𝐺))
31	23, 25, 30	3eqtr3d 2807	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (0(.g‘𝐻)𝑋) = (0g‘𝐺))
32		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
33	32	oveq1d 7413	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (0(.g‘𝐻)𝑋))
34	6	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
35	34, 13	sseldd 3939	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
36		eqid 2764	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
37		eqid 2764	. . . . . 6 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
38	14, 36, 37	mulg0 19118	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) → (0(.g‘𝐺)𝑋) = (0g‘𝐺))
39	35, 38	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (0(.g‘𝐺)𝑋) = (0g‘𝐺))
40	31, 33, 39	3eqtr4d 2809	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (0(.g‘𝐺)𝑋))
41	32	oveq1d 7413	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁(.g‘𝐺)𝑋) = (0(.g‘𝐺)𝑋))
42	40, 41	eqtr4d 2802	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁(.g‘𝐺)𝑋))
43		ressmulgnn0d.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
44		elnn0 12485	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
45	43, 44	sylib 220	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
46	12, 42, 45	mpjaodan 971	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁(.g‘𝐺)𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 858   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3906  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  0cc0 11075  ℕcn 12212  ℕ₀cn0 12483  Basecbs 17247   ↾_s cress 17268  0_gc0g 17470  ._gcmg 19111

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-2 12282  df-n0 12484  df-z 12571  df-uz 12842  df-seq 14017  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-ress 17269  df-plusg 17301  df-mulg 19112

This theorem is referenced by:  ressply1evls1  33763