Theorem ressmulgnn0d 33672

Description: Values for the group multiple function in a restricted structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressmulgnn0d.1	⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾s 𝐴) = 𝐻)
ressmulgnn0d.2	⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻))
ressmulgnn0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
ressmulgnn0d.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
ressmulgnn0d.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
ressmulgnn0d	⊢ (𝜑 → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁(.g‘𝐺)𝑋))

Proof of Theorem ressmulgnn0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressmulgnn0d.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾s 𝐴) = 𝐻)
2	1	fveq2d 6909	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (.g‘(𝐺 ↾s 𝐴)) = (.g‘𝐻))
3	2	oveqd 7457	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁(.g‘(𝐺 ↾s 𝐴))𝑋) = (𝑁(.g‘𝐻)𝑋))
4	3	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁(.g‘(𝐺 ↾s 𝐴))𝑋) = (𝑁(.g‘𝐻)𝑋))
5		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝐺 ↾s 𝐴) = (𝐺 ↾s 𝐴)
6		ressmulgnn0d.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
7	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
8		ressmulgnn0d.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
9	8	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ 𝐴)
10		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
11	5, 7, 9, 10	ressmulgnnd 19314	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁(.g‘(𝐺 ↾s 𝐴))𝑋) = (𝑁(.g‘𝐺)𝑋))
12	4, 11	eqtr3d 2800	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁(.g‘𝐺)𝑋))
13	8	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑋 ∈ 𝐴)
14		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
15	5, 14	ressbas2 17442	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) → 𝐴 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝐴)))
16	6, 15	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝐴)))
17	16	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 𝐴 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝐴)))
18	13, 17	eleqtrd 2866	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑋 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐴)))
19		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐴)) = (Base‘(𝐺 ↾s 𝐴))
20		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘(𝐺 ↾s 𝐴)) = (0g‘(𝐺 ↾s 𝐴))
21		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘(𝐺 ↾s 𝐴)) = (.g‘(𝐺 ↾s 𝐴))
22	19, 20, 21	mulg0 19310	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐴)) → (0(.g‘(𝐺 ↾s 𝐴))𝑋) = (0g‘(𝐺 ↾s 𝐴)))
23	18, 22	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (0(.g‘(𝐺 ↾s 𝐴))𝑋) = (0g‘(𝐺 ↾s 𝐴)))
24	2	oveqd 7457	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0(.g‘(𝐺 ↾s 𝐴))𝑋) = (0(.g‘𝐻)𝑋))
25	24	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (0(.g‘(𝐺 ↾s 𝐴))𝑋) = (0(.g‘𝐻)𝑋))
26	1	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (𝐺 ↾s 𝐴) = 𝐻)
27	26	fveq2d 6909	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (0g‘(𝐺 ↾s 𝐴)) = (0g‘𝐻))
28		ressmulgnn0d.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻))
29	28	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻))
30	27, 29	eqtr4d 2801	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (0g‘(𝐺 ↾s 𝐴)) = (0g‘𝐺))
31	23, 25, 30	3eqtr3d 2806	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (0(.g‘𝐻)𝑋) = (0g‘𝐺))
32		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
33	32	oveq1d 7455	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (0(.g‘𝐻)𝑋))
34	6	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
35	34, 13	sseldd 3914	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
36		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
37		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
38	14, 36, 37	mulg0 19310	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) → (0(.g‘𝐺)𝑋) = (0g‘𝐺))
39	35, 38	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (0(.g‘𝐺)𝑋) = (0g‘𝐺))
40	31, 33, 39	3eqtr4d 2808	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (0(.g‘𝐺)𝑋))
41	32	oveq1d 7455	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁(.g‘𝐺)𝑋) = (0(.g‘𝐺)𝑋))
42	40, 41	eqtr4d 2801	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁(.g‘𝐺)𝑋))
43		ressmulgnn0d.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
44		elnn0 12632	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
45	43, 44	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
46	12, 42, 45	mpjaodan 973	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁(.g‘𝐺)𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  0cc0 11224  ℕcn 12359  ℕ₀cn0 12630  Basecbs 17413   ↾_s cress 17434  0_gc0g 17636  ._gcmg 19303

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-seq 14169  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulg 19304

This theorem is used by:  ressply1evls1  34164