Theorem ressmulgnn0d 33307

Description: Values for the group multiple function in a restricted structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressmulgnn0d.1	⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾s 𝐴) = 𝐻)
ressmulgnn0d.2	⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻))
ressmulgnn0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
ressmulgnn0d.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
ressmulgnn0d.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
ressmulgnn0d	⊢ (𝜑 → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁(.g‘𝐺)𝑋))

Proof of Theorem ressmulgnn0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressmulgnn0d.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾s 𝐴) = 𝐻)
2	1	fveq2d 6888	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (.g‘(𝐺 ↾s 𝐴)) = (.g‘𝐻))
3	2	oveqd 7430	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁(.g‘(𝐺 ↾s 𝐴))𝑋) = (𝑁(.g‘𝐻)𝑋))
4	3	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁(.g‘(𝐺 ↾s 𝐴))𝑋) = (𝑁(.g‘𝐻)𝑋))
5		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (𝐺 ↾s 𝐴) = (𝐺 ↾s 𝐴)
6		ressmulgnn0d.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
7	6	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
8		ressmulgnn0d.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
9	8	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ 𝐴)
10		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
11	5, 7, 9, 10	ressmulgnnd 19146	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁(.g‘(𝐺 ↾s 𝐴))𝑋) = (𝑁(.g‘𝐺)𝑋))
12	4, 11	eqtr3d 2806	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁(.g‘𝐺)𝑋))
13	8	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑋 ∈ 𝐴)
14		eqid 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
15	5, 14	ressbas2 17300	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) → 𝐴 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝐴)))
16	6, 15	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝐴)))
17	16	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 𝐴 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝐴)))
18	13, 17	eleqtrd 2871	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑋 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐴)))
19		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐴)) = (Base‘(𝐺 ↾s 𝐴))
20		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘(𝐺 ↾s 𝐴)) = (0g‘(𝐺 ↾s 𝐴))
21		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘(𝐺 ↾s 𝐴)) = (.g‘(𝐺 ↾s 𝐴))
22	19, 20, 21	mulg0 19142	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐴)) → (0(.g‘(𝐺 ↾s 𝐴))𝑋) = (0g‘(𝐺 ↾s 𝐴)))
23	18, 22	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (0(.g‘(𝐺 ↾s 𝐴))𝑋) = (0g‘(𝐺 ↾s 𝐴)))
24	2	oveqd 7430	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0(.g‘(𝐺 ↾s 𝐴))𝑋) = (0(.g‘𝐻)𝑋))
25	24	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (0(.g‘(𝐺 ↾s 𝐴))𝑋) = (0(.g‘𝐻)𝑋))
26	1	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (𝐺 ↾s 𝐴) = 𝐻)
27	26	fveq2d 6888	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (0g‘(𝐺 ↾s 𝐴)) = (0g‘𝐻))
28		ressmulgnn0d.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻))
29	28	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻))
30	27, 29	eqtr4d 2807	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (0g‘(𝐺 ↾s 𝐴)) = (0g‘𝐺))
31	23, 25, 30	3eqtr3d 2812	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (0(.g‘𝐻)𝑋) = (0g‘𝐺))
32		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
33	32	oveq1d 7428	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (0(.g‘𝐻)𝑋))
34	6	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
35	34, 13	sseldd 3946	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
36		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
37		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
38	14, 36, 37	mulg0 19142	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) → (0(.g‘𝐺)𝑋) = (0g‘𝐺))
39	35, 38	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (0(.g‘𝐺)𝑋) = (0g‘𝐺))
40	31, 33, 39	3eqtr4d 2814	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (0(.g‘𝐺)𝑋))
41	32	oveq1d 7428	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁(.g‘𝐺)𝑋) = (0(.g‘𝐺)𝑋))
42	40, 41	eqtr4d 2807	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁(.g‘𝐺)𝑋))
43		ressmulgnn0d.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
44		elnn0 12508	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
45	43, 44	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
46	12, 42, 45	mpjaodan 973	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁(.g‘𝐺)𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ⊆ wss 3913  ‘cfv 6539  (class class class)co 7413  0cc0 11102  ℕcn 12235  ℕ₀cn0 12506  Basecbs 17271   ↾_s cress 17292  0_gc0g 17494  ._gcmg 19135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12236  df-2 12305  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12865  df-seq 14040  df-sets 17226  df-slot 17244  df-ndx 17256  df-base 17272  df-ress 17293  df-plusg 17325  df-mulg 19136

This theorem is referenced by:  ressply1evls1  33802