Theorem ressmulgnn0d 33144

Description: Values for the group multiple function in a restricted structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressmulgnn0d.1	⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾s 𝐴) = 𝐻)
ressmulgnn0d.2	⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻))
ressmulgnn0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
ressmulgnn0d.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
ressmulgnn0d.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
ressmulgnn0d	⊢ (𝜑 → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁(.g‘𝐺)𝑋))

Proof of Theorem ressmulgnn0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressmulgnn0d.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾s 𝐴) = 𝐻)
2	1	fveq2d 6848	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (.g‘(𝐺 ↾s 𝐴)) = (.g‘𝐻))
3	2	oveqd 7387	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁(.g‘(𝐺 ↾s 𝐴))𝑋) = (𝑁(.g‘𝐻)𝑋))
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁(.g‘(𝐺 ↾s 𝐴))𝑋) = (𝑁(.g‘𝐻)𝑋))
5		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝐺 ↾s 𝐴) = (𝐺 ↾s 𝐴)
6		ressmulgnn0d.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
8		ressmulgnn0d.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ 𝐴)
10		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
11	5, 7, 9, 10	ressmulgnnd 19025	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁(.g‘(𝐺 ↾s 𝐴))𝑋) = (𝑁(.g‘𝐺)𝑋))
12	4, 11	eqtr3d 2774	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁(.g‘𝐺)𝑋))
13	8	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑋 ∈ 𝐴)
14		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
15	5, 14	ressbas2 17179	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) → 𝐴 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝐴)))
16	6, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝐴)))
17	16	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 𝐴 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝐴)))
18	13, 17	eleqtrd 2839	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑋 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐴)))
19		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐴)) = (Base‘(𝐺 ↾s 𝐴))
20		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘(𝐺 ↾s 𝐴)) = (0g‘(𝐺 ↾s 𝐴))
21		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘(𝐺 ↾s 𝐴)) = (.g‘(𝐺 ↾s 𝐴))
22	19, 20, 21	mulg0 19021	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐴)) → (0(.g‘(𝐺 ↾s 𝐴))𝑋) = (0g‘(𝐺 ↾s 𝐴)))
23	18, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (0(.g‘(𝐺 ↾s 𝐴))𝑋) = (0g‘(𝐺 ↾s 𝐴)))
24	2	oveqd 7387	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0(.g‘(𝐺 ↾s 𝐴))𝑋) = (0(.g‘𝐻)𝑋))
25	24	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (0(.g‘(𝐺 ↾s 𝐴))𝑋) = (0(.g‘𝐻)𝑋))
26	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (𝐺 ↾s 𝐴) = 𝐻)
27	26	fveq2d 6848	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (0g‘(𝐺 ↾s 𝐴)) = (0g‘𝐻))
28		ressmulgnn0d.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻))
29	28	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻))
30	27, 29	eqtr4d 2775	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (0g‘(𝐺 ↾s 𝐴)) = (0g‘𝐺))
31	23, 25, 30	3eqtr3d 2780	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (0(.g‘𝐻)𝑋) = (0g‘𝐺))
32		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
33	32	oveq1d 7385	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (0(.g‘𝐻)𝑋))
34	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
35	34, 13	sseldd 3936	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
36		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
37		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
38	14, 36, 37	mulg0 19021	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) → (0(.g‘𝐺)𝑋) = (0g‘𝐺))
39	35, 38	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (0(.g‘𝐺)𝑋) = (0g‘𝐺))
40	31, 33, 39	3eqtr4d 2782	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (0(.g‘𝐺)𝑋))
41	32	oveq1d 7385	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁(.g‘𝐺)𝑋) = (0(.g‘𝐺)𝑋))
42	40, 41	eqtr4d 2775	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁(.g‘𝐺)𝑋))
43		ressmulgnn0d.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
44		elnn0 12417	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
45	43, 44	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
46	12, 42, 45	mpjaodan 961	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁(.g‘𝐺)𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  0cc0 11040  ℕcn 12159  ℕ₀cn0 12415  Basecbs 17150   ↾_s cress 17171  0_gc0g 17373  ._gcmg 19014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-2 12222  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-seq 13939  df-sets 17105  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-ress 17172  df-plusg 17204  df-mulg 19015

This theorem is referenced by:  ressply1evls1  33664