Theorem subgmulgcld 33030

Description: Closure of the group multiple within a subgroup. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
subgmulgcld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
subgmulgcld.x	⊢ · = (.g‘𝑅)
subgmulgcld.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
subgmulgcld.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
subgmulgcld.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
subgmulgcld.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
subgmulgcld	⊢ (𝜑 → (𝑍 · 𝐴) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem subgmulgcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. . 3 ⊢ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)) = (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))
2		eqid 2734	. . 3 ⊢ (.g‘(𝑅 ↾s 𝑆)) = (.g‘(𝑅 ↾s 𝑆))
3		subgmulgcld.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
4		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑆) = (𝑅 ↾s 𝑆)
5	4	subggrp 19159	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
6	3, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
7		subgmulgcld.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℤ)
8		subgmulgcld.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
9		subgmulgcld.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
10	9	subgss 19157	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
11	4, 9	ressbas2 17282	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
12	3, 10, 11	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
13	8, 12	eleqtrd 2840	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
14	1, 2, 6, 7, 13	mulgcld 19126	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍(.g‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝐴) ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
15		subgmulgcld.x	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝑅)
16	15, 4, 2	subgmulg 19170	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ 𝑍 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑍 · 𝐴) = (𝑍(.g‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝐴))
17	3, 7, 8, 16	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 · 𝐴) = (𝑍(.g‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝐴))
18	14, 17, 12	3eltr4d 2853	1 ⊢ (𝜑 → (𝑍 · 𝐴) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ⊆ wss 3962  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  ℤcz 12610  Basecbs 17244   ↾_s cress 17273  Grpcgrp 18963  ._gcmg 19097  SubGrpcsubg 19150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-seq 14039  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-0g 17487  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-mulg 19098  df-subg 19153

This theorem is referenced by:  elrgspnlem4  33234