Theorem subgmulgcld 33537

Description: Closure of the group multiple within a subgroup. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
subgmulgcld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
subgmulgcld.x	⊢ · = (.g‘𝑅)
subgmulgcld.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
subgmulgcld.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
subgmulgcld.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
subgmulgcld.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
subgmulgcld	⊢ (𝜑 → (𝑍 · 𝐴) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem subgmulgcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)) = (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (.g‘(𝑅 ↾s 𝑆)) = (.g‘(𝑅 ↾s 𝑆))
3		subgmulgcld.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
4		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑆) = (𝑅 ↾s 𝑆)
5	4	subggrp 19300	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
6	3, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
7		subgmulgcld.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℤ)
8		subgmulgcld.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
9		subgmulgcld.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
10	9	subgss 19298	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
11	4, 9	ressbas2 17377	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
12	3, 10, 11	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
13	8, 12	eleqtrd 2862	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
14	1, 2, 6, 7, 13	mulgcld 19267	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍(.g‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝐴) ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
15		subgmulgcld.x	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝑅)
16	15, 4, 2	subgmulg 19312	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ 𝑍 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑍 · 𝐴) = (𝑍(.g‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝐴))
17	3, 7, 8, 16	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 · 𝐴) = (𝑍(.g‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝐴))
18	14, 17, 12	3eltr4d 2875	1 ⊢ (𝜑 → (𝑍 · 𝐴) ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3898  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  ℤcz 12662  Basecbs 17348   ↾_s cress 17369  Grpcgrp 19105  ._gcmg 19238  SubGrpcsubg 19291

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-n0 12576  df-z 12663  df-uz 12935  df-fz 13609  df-seq 14113  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-ress 17370  df-plusg 17402  df-0g 17573  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-grp 19108  df-minusg 19109  df-mulg 19239  df-subg 19294

This theorem is used by:  elrgspnlem4  33739  elrgspnsubrunlem2  33742