Theorem subgmulgcld 33304

Description: Closure of the group multiple within a subgroup. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
subgmulgcld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
subgmulgcld.x	⊢ · = (.g‘𝑅)
subgmulgcld.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
subgmulgcld.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
subgmulgcld.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
subgmulgcld.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
subgmulgcld	⊢ (𝜑 → (𝑍 · 𝐴) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem subgmulgcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. . 3 ⊢ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)) = (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))
2		eqid 2769	. . 3 ⊢ (.g‘(𝑅 ↾s 𝑆)) = (.g‘(𝑅 ↾s 𝑆))
3		subgmulgcld.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
4		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑆) = (𝑅 ↾s 𝑆)
5	4	subggrp 19195	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
6	3, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
7		subgmulgcld.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℤ)
8		subgmulgcld.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
9		subgmulgcld.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
10	9	subgss 19193	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
11	4, 9	ressbas2 17298	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
12	3, 10, 11	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
13	8, 12	eleqtrd 2871	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
14	1, 2, 6, 7, 13	mulgcld 19162	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍(.g‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝐴) ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
15		subgmulgcld.x	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝑅)
16	15, 4, 2	subgmulg 19207	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ 𝑍 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑍 · 𝐴) = (𝑍(.g‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝐴))
17	3, 7, 8, 16	syl3anc 1396	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 · 𝐴) = (𝑍(.g‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝐴))
18	14, 17, 12	3eltr4d 2884	1 ⊢ (𝜑 → (𝑍 · 𝐴) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ⊆ wss 3911  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℤcz 12591  Basecbs 17269   ↾_s cress 17290  Grpcgrp 19000  ._gcmg 19133  SubGrpcsubg 19186

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-seq 14038  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-0g 17494  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-mulg 19134  df-subg 19189

This theorem is referenced by:  elrgspnlem4  33506  elrgspnsubrunlem2  33509