Theorem subgmulgcld 33604

Description: Closure of the group multiple within a subgroup. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
subgmulgcld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
subgmulgcld.x	⊢ · = (.g‘𝑅)
subgmulgcld.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
subgmulgcld.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
subgmulgcld.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
subgmulgcld.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
subgmulgcld	⊢ (𝜑 → (𝑍 · 𝐴) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem subgmulgcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)) = (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (.g‘(𝑅 ↾s 𝑆)) = (.g‘(𝑅 ↾s 𝑆))
3		subgmulgcld.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
4		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑆) = (𝑅 ↾s 𝑆)
5	4	subggrp 19339	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
6	3, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
7		subgmulgcld.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℤ)
8		subgmulgcld.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
9		subgmulgcld.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
10	9	subgss 19337	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
11	4, 9	ressbas2 17416	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
12	3, 10, 11	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
13	8, 12	eleqtrd 2862	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
14	1, 2, 6, 7, 13	mulgcld 19306	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍(.g‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝐴) ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
15		subgmulgcld.x	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝑅)
16	15, 4, 2	subgmulg 19351	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ 𝑍 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑍 · 𝐴) = (𝑍(.g‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝐴))
17	3, 7, 8, 16	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 · 𝐴) = (𝑍(.g‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝐴))
18	14, 17, 12	3eltr4d 2875	1 ⊢ (𝜑 → (𝑍 · 𝐴) ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℤcz 12693  Basecbs 17387   ↾_s cress 17408  Grpcgrp 19144  ._gcmg 19277  SubGrpcsubg 19330

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-seq 14145  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-mulg 19278  df-subg 19333

This theorem is used by:  elrgspnlem4  33806  elrgspnsubrunlem2  33809