Theorem ressmulgnnd 18986

Description: Values for the group multiple function in a restricted structure, a deduction version. (Contributed by metakunt, 14-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressmulgnnd.1	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
ressmulgnnd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
ressmulgnnd.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
ressmulgnnd.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
ressmulgnnd	⊢ (𝜑 → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁(.g‘𝐺)𝑋))

Proof of Theorem ressmulgnnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressmulgnnd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	nngt0d 12211	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
3	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
4		ressmulgnnd.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
5	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 𝑋 ∈ 𝐴)
6		ressmulgnnd.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
7		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ↾s 𝐴) = (𝐺 ↾s 𝐴)
8		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
9	7, 8	ressbas2 17184	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) → 𝐴 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝐴)))
10	6, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝐴)))
11	10	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 𝐴 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝐴)))
12		ressmulgnnd.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
13		eqcom 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴) ↔ (𝐺 ↾s 𝐴) = 𝐻)
14	12, 13	mpbi 230	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ↾s 𝐴) = 𝐻
15	14	fveq2i 6843	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐴)) = (Base‘𝐻)
16	15	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (Base‘(𝐺 ↾s 𝐴)) = (Base‘𝐻))
17	11, 16	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 𝐴 = (Base‘𝐻))
18	5, 17	eleqtrd 2830	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐻))
19		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
20		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
21		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (.g‘𝐻) = (.g‘𝐻)
22		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋}))
23	19, 20, 21, 22	mulgnn 18983	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
24	3, 18, 23	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
25		fvexd 6855	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐺) ∈ V)
26	25, 6	ssexd 5274	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
27		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
28	12, 27	ressplusg 17230	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ V → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
29	26, 28	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
30	29	eqcomd 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐻) = (+g‘𝐺))
31	30	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (+g‘𝐻) = (+g‘𝐺))
32	31	seqeq2d 13949	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})))
33	32	fveq1d 6842	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
34	6, 4	sseldd 3944	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
35	34	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
36		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
37		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))
38	8, 27, 36, 37	mulgnn 18983	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑁(.g‘𝐺)𝑋) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
39	3, 35, 38	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (𝑁(.g‘𝐺)𝑋) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
40	39	eqcomd 2735	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁) = (𝑁(.g‘𝐺)𝑋))
41	24, 33, 40	3eqtrd 2768	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁(.g‘𝐺)𝑋))
42	41	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝑁 → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁(.g‘𝐺)𝑋)))
43	2, 42	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁(.g‘𝐺)𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444   ⊆ wss 3911  {csn 4585   class class class wbr 5102   × cxp 5629  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  0cc0 11044  1c1 11045   < clt 11184  ℕcn 12162  seqcseq 13942  Basecbs 17155   ↾_s cress 17176  +_gcplusg 17196  ._gcmg 18975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-seq 13943  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulg 18976

This theorem is referenced by:  ressmulgnn0d  32958  2sqr3minply  33743  aks6d1c6lem4  42134  unitscyglem5  42160