Theorem ressmulgnnd 18957

Description: Values for the group multiple function in a restricted structure, a deduction version. (Contributed by metakunt, 14-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressmulgnnd.1	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
ressmulgnnd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
ressmulgnnd.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
ressmulgnnd.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
ressmulgnnd	⊢ (𝜑 → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁(.g‘𝐺)𝑋))

Proof of Theorem ressmulgnnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressmulgnnd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	nngt0d 12177	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
3	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
4		ressmulgnnd.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
5	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 𝑋 ∈ 𝐴)
6		ressmulgnnd.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
7		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ↾s 𝐴) = (𝐺 ↾s 𝐴)
8		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
9	7, 8	ressbas2 17149	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) → 𝐴 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝐴)))
10	6, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝐴)))
11	10	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 𝐴 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝐴)))
12		ressmulgnnd.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
13		eqcom 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴) ↔ (𝐺 ↾s 𝐴) = 𝐻)
14	12, 13	mpbi 230	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ↾s 𝐴) = 𝐻
15	14	fveq2i 6825	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐴)) = (Base‘𝐻)
16	15	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (Base‘(𝐺 ↾s 𝐴)) = (Base‘𝐻))
17	11, 16	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 𝐴 = (Base‘𝐻))
18	5, 17	eleqtrd 2830	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐻))
19		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
20		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
21		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (.g‘𝐻) = (.g‘𝐻)
22		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋}))
23	19, 20, 21, 22	mulgnn 18954	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
24	3, 18, 23	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
25		fvexd 6837	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐺) ∈ V)
26	25, 6	ssexd 5263	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
27		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
28	12, 27	ressplusg 17195	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ V → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
29	26, 28	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
30	29	eqcomd 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐻) = (+g‘𝐺))
31	30	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (+g‘𝐻) = (+g‘𝐺))
32	31	seqeq2d 13915	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})))
33	32	fveq1d 6824	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
34	6, 4	sseldd 3936	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
35	34	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
36		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
37		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))
38	8, 27, 36, 37	mulgnn 18954	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑁(.g‘𝐺)𝑋) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
39	3, 35, 38	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (𝑁(.g‘𝐺)𝑋) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
40	39	eqcomd 2735	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁) = (𝑁(.g‘𝐺)𝑋))
41	24, 33, 40	3eqtrd 2768	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁(.g‘𝐺)𝑋))
42	41	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝑁 → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁(.g‘𝐺)𝑋)))
43	2, 42	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁(.g‘𝐺)𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436   ⊆ wss 3903  {csn 4577   class class class wbr 5092   × cxp 5617  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  0cc0 11009  1c1 11010   < clt 11149  ℕcn 12128  seqcseq 13908  Basecbs 17120   ↾_s cress 17141  +_gcplusg 17161  ._gcmg 18946

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-seq 13909  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulg 18947

This theorem is referenced by:  ressmulgnn0d  33007  2sqr3minply  33763  aks6d1c6lem4  42166  unitscyglem5  42192