Theorem ressmulgnnd 19045

Description: Values for the group multiple function in a restricted structure, a deduction version. (Contributed by metakunt, 14-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressmulgnnd.1	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
ressmulgnnd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
ressmulgnnd.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
ressmulgnnd.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
ressmulgnnd	⊢ (𝜑 → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁(.g‘𝐺)𝑋))

Proof of Theorem ressmulgnnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressmulgnnd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	nngt0d 12217	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
3	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
4		ressmulgnnd.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
5	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 𝑋 ∈ 𝐴)
6		ressmulgnnd.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
7		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ↾s 𝐴) = (𝐺 ↾s 𝐴)
8		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
9	7, 8	ressbas2 17199	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) → 𝐴 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝐴)))
10	6, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝐴)))
11	10	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 𝐴 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝐴)))
12		ressmulgnnd.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
13		eqcom 2744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴) ↔ (𝐺 ↾s 𝐴) = 𝐻)
14	12, 13	mpbi 230	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ↾s 𝐴) = 𝐻
15	14	fveq2i 6837	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐴)) = (Base‘𝐻)
16	15	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (Base‘(𝐺 ↾s 𝐴)) = (Base‘𝐻))
17	11, 16	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 𝐴 = (Base‘𝐻))
18	5, 17	eleqtrd 2839	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐻))
19		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
20		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
21		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (.g‘𝐻) = (.g‘𝐻)
22		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋}))
23	19, 20, 21, 22	mulgnn 19042	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
24	3, 18, 23	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
25		fvexd 6849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐺) ∈ V)
26	25, 6	ssexd 5261	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
27		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
28	12, 27	ressplusg 17245	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ V → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
29	26, 28	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
30	29	eqcomd 2743	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐻) = (+g‘𝐺))
31	30	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (+g‘𝐻) = (+g‘𝐺))
32	31	seqeq2d 13961	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})))
33	32	fveq1d 6836	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
34	6, 4	sseldd 3923	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
35	34	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
36		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
37		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))
38	8, 27, 36, 37	mulgnn 19042	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑁(.g‘𝐺)𝑋) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
39	3, 35, 38	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (𝑁(.g‘𝐺)𝑋) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
40	39	eqcomd 2743	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁) = (𝑁(.g‘𝐺)𝑋))
41	24, 33, 40	3eqtrd 2776	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁(.g‘𝐺)𝑋))
42	41	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝑁 → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁(.g‘𝐺)𝑋)))
43	2, 42	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁(.g‘𝐺)𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890  {csn 4568   class class class wbr 5086   × cxp 5622  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  0cc0 11029  1c1 11030   < clt 11170  ℕcn 12165  seqcseq 13954  Basecbs 17170   ↾_s cress 17191  +_gcplusg 17211  ._gcmg 19034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-seq 13955  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulg 19035

This theorem is referenced by:  ressmulgnn0d  33120  2sqr3minply  33940  aks6d1c6lem4  42626  unitscyglem5  42652