Theorem ressmulgnnd 19010

Description: Values for the group multiple function in a restricted structure, a deduction version. (Contributed by metakunt, 14-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressmulgnnd.1	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
ressmulgnnd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
ressmulgnnd.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
ressmulgnnd.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
ressmulgnnd	⊢ (𝜑 → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁(.g‘𝐺)𝑋))

Proof of Theorem ressmulgnnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressmulgnnd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	nngt0d 12235	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
3	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
4		ressmulgnnd.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
5	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 𝑋 ∈ 𝐴)
6		ressmulgnnd.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
7		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ↾s 𝐴) = (𝐺 ↾s 𝐴)
8		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
9	7, 8	ressbas2 17208	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) → 𝐴 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝐴)))
10	6, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝐴)))
11	10	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 𝐴 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝐴)))
12		ressmulgnnd.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
13		eqcom 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴) ↔ (𝐺 ↾s 𝐴) = 𝐻)
14	12, 13	mpbi 230	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ↾s 𝐴) = 𝐻
15	14	fveq2i 6861	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐴)) = (Base‘𝐻)
16	15	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (Base‘(𝐺 ↾s 𝐴)) = (Base‘𝐻))
17	11, 16	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 𝐴 = (Base‘𝐻))
18	5, 17	eleqtrd 2830	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐻))
19		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
20		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
21		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (.g‘𝐻) = (.g‘𝐻)
22		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋}))
23	19, 20, 21, 22	mulgnn 19007	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
24	3, 18, 23	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
25		fvexd 6873	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐺) ∈ V)
26	25, 6	ssexd 5279	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
27		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
28	12, 27	ressplusg 17254	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ V → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
29	26, 28	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
30	29	eqcomd 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐻) = (+g‘𝐺))
31	30	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (+g‘𝐻) = (+g‘𝐺))
32	31	seqeq2d 13973	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})))
33	32	fveq1d 6860	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
34	6, 4	sseldd 3947	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
35	34	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
36		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
37		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))
38	8, 27, 36, 37	mulgnn 19007	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑁(.g‘𝐺)𝑋) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
39	3, 35, 38	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (𝑁(.g‘𝐺)𝑋) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
40	39	eqcomd 2735	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁) = (𝑁(.g‘𝐺)𝑋))
41	24, 33, 40	3eqtrd 2768	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁(.g‘𝐺)𝑋))
42	41	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝑁 → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁(.g‘𝐺)𝑋)))
43	2, 42	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁(.g‘𝐺)𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   ⊆ wss 3914  {csn 4589   class class class wbr 5107   × cxp 5636  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  0cc0 11068  1c1 11069   < clt 11208  ℕcn 12186  seqcseq 13966  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  +_gcplusg 17220  ._gcmg 18999

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-seq 13967  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulg 19000

This theorem is referenced by:  ressmulgnn0d  32985  2sqr3minply  33770  aks6d1c6lem4  42161  unitscyglem5  42187