Theorem ressmulgnnd 19338

Description: Values for the group multiple function in a restricted structure, a deduction version. (Contributed by metakunt, 14-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressmulgnnd.1	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
ressmulgnnd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
ressmulgnnd.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
ressmulgnnd.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
ressmulgnnd	⊢ (𝜑 → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁(.g‘𝐺)𝑋))

Proof of Theorem ressmulgnnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressmulgnnd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	nngt0d 12427	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
3	1	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
4		ressmulgnnd.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
5	4	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 𝑋 ∈ 𝐴)
6		ressmulgnnd.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
7		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ↾s 𝐴) = (𝐺 ↾s 𝐴)
8		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
9	7, 8	ressbas2 17460	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) → 𝐴 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝐴)))
10	6, 9	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝐴)))
11	10	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 𝐴 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝐴)))
12		ressmulgnnd.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
13		eqcom 2770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴) ↔ (𝐺 ↾s 𝐴) = 𝐻)
14	12, 13	mpbi 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ↾s 𝐴) = 𝐻
15	14	fveq2i 6919	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐴)) = (Base‘𝐻)
16	15	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (Base‘(𝐺 ↾s 𝐴)) = (Base‘𝐻))
17	11, 16	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 𝐴 = (Base‘𝐻))
18	5, 17	eleqtrd 2866	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐻))
19		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
20		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
21		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (.g‘𝐻) = (.g‘𝐻)
22		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋}))
23	19, 20, 21, 22	mulgnn 19335	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
24	3, 18, 23	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
25		fvexd 6931	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐺) ∈ V)
26	25, 6	ssexd 5293	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
27		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
28	12, 27	ressplusg 17508	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ V → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
29	26, 28	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
30	29	eqcomd 2769	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐻) = (+g‘𝐺))
31	30	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (+g‘𝐻) = (+g‘𝐺))
32	31	seqeq2d 14191	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})))
33	32	fveq1d 6918	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
34	6, 4	sseldd 3914	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
35	34	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
36		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
37		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))
38	8, 27, 36, 37	mulgnn 19335	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑁(.g‘𝐺)𝑋) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
39	3, 35, 38	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (𝑁(.g‘𝐺)𝑋) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
40	39	eqcomd 2769	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁) = (𝑁(.g‘𝐺)𝑋))
41	24, 33, 40	3eqtrd 2802	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁(.g‘𝐺)𝑋))
42	41	ex 418	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝑁 → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁(.g‘𝐺)𝑋)))
43	2, 42	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁(.g‘𝐺)𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  {csn 4588   class class class wbr 5108   × cxp 5656  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  0cc0 11239  1c1 11240   < clt 11382  ℕcn 12375  seqcseq 14184  Basecbs 17431   ↾_s cress 17452  +_gcplusg 17472  ._gcmg 19327

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-seq 14185  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulg 19328

This theorem is used by:  ressmulgnn0d  33704  2sqr3minply  34523  aks6d1c6lem4  43489  unitscyglem5  43515