Theorem hashunsnggt 14430

Description: The size of a set is greater than a nonnegative integer N if and only if the size of the union of that set with a disjoint singleton is greater than N + 1. (Contributed by BTernaryTau, 10-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
hashunsnggt	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝑁 < (♯‘𝐴) ↔ (𝑁 + 1) < (♯‘(𝐴 ∪ {𝐵}))))

Proof of Theorem hashunsnggt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 12533	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
2	1	rexrd 11309	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ*)
3		hashxrcl 14393	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ*)
4		1re 11259	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		xltadd1 13295	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 < (♯‘𝐴) ↔ (𝑁 +𝑒 1) < ((♯‘𝐴) +𝑒 1)))
6	4, 5	mp3an3 1449	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℝ*) → (𝑁 < (♯‘𝐴) ↔ (𝑁 +𝑒 1) < ((♯‘𝐴) +𝑒 1)))
7	2, 3, 6	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑁 < (♯‘𝐴) ↔ (𝑁 +𝑒 1) < ((♯‘𝐴) +𝑒 1)))
8	7	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 < (♯‘𝐴) ↔ (𝑁 +𝑒 1) < ((♯‘𝐴) +𝑒 1)))
9		rexadd 13271	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 +𝑒 1) = (𝑁 + 1))
10	4, 9	mpan2 691	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 +𝑒 1) = (𝑁 + 1))
11	1, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 +𝑒 1) = (𝑁 + 1))
12	11	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 +𝑒 1) = (𝑁 + 1))
13	12	breq1d 5158	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 +𝑒 1) < ((♯‘𝐴) +𝑒 1) ↔ (𝑁 + 1) < ((♯‘𝐴) +𝑒 1)))
14	8, 13	bitrd 279	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 < (♯‘𝐴) ↔ (𝑁 + 1) < ((♯‘𝐴) +𝑒 1)))
15	14	3adant2 1130	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 < (♯‘𝐴) ↔ (𝑁 + 1) < ((♯‘𝐴) +𝑒 1)))
16	15	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝑁 < (♯‘𝐴) ↔ (𝑁 + 1) < ((♯‘𝐴) +𝑒 1)))
17		hashunsngx 14429	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 → (♯‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = ((♯‘𝐴) +𝑒 1)))
18	17	3impia 1116	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → (♯‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = ((♯‘𝐴) +𝑒 1))
19	18	eqcomd 2741	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → ((♯‘𝐴) +𝑒 1) = (♯‘(𝐴 ∪ {𝐵})))
20	19	3expa 1117	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → ((♯‘𝐴) +𝑒 1) = (♯‘(𝐴 ∪ {𝐵})))
21	20	3adantl3 1167	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → ((♯‘𝐴) +𝑒 1) = (♯‘(𝐴 ∪ {𝐵})))
22	21	breq2d 5160	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → ((𝑁 + 1) < ((♯‘𝐴) +𝑒 1) ↔ (𝑁 + 1) < (♯‘(𝐴 ∪ {𝐵}))))
23	16, 22	bitrd 279	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝑁 < (♯‘𝐴) ↔ (𝑁 + 1) < (♯‘(𝐴 ∪ {𝐵}))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ∪ cun 3961  {csn 4631   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  1c1 11154   + caddc 11156  ℝ^*cxr 11292   < clt 11293  ℕ₀cn0 12524   +_𝑒 cxad 13150  ♯chash 14366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-fz 13545  df-hash 14367

This theorem is referenced by:  hashgt23el  14460