Theorem hashunsnggt 14107

Description: The size of a set is greater than a nonnegative integer N if and only if the size of the union of that set with a disjoint singleton is greater than N + 1. (Contributed by BTernaryTau, 10-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
hashunsnggt	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝑁 < (♯‘𝐴) ↔ (𝑁 + 1) < (♯‘(𝐴 ∪ {𝐵}))))

Proof of Theorem hashunsnggt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 12242	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
2	1	rexrd 11026	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ*)
3		hashxrcl 14070	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ*)
4		1re 10976	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		xltadd1 12989	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 < (♯‘𝐴) ↔ (𝑁 +𝑒 1) < ((♯‘𝐴) +𝑒 1)))
6	4, 5	mp3an3 1449	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℝ*) → (𝑁 < (♯‘𝐴) ↔ (𝑁 +𝑒 1) < ((♯‘𝐴) +𝑒 1)))
7	2, 3, 6	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑁 < (♯‘𝐴) ↔ (𝑁 +𝑒 1) < ((♯‘𝐴) +𝑒 1)))
8	7	ancoms 459	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 < (♯‘𝐴) ↔ (𝑁 +𝑒 1) < ((♯‘𝐴) +𝑒 1)))
9		rexadd 12965	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 +𝑒 1) = (𝑁 + 1))
10	4, 9	mpan2 688	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 +𝑒 1) = (𝑁 + 1))
11	1, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 +𝑒 1) = (𝑁 + 1))
12	11	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 +𝑒 1) = (𝑁 + 1))
13	12	breq1d 5089	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 +𝑒 1) < ((♯‘𝐴) +𝑒 1) ↔ (𝑁 + 1) < ((♯‘𝐴) +𝑒 1)))
14	8, 13	bitrd 278	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 < (♯‘𝐴) ↔ (𝑁 + 1) < ((♯‘𝐴) +𝑒 1)))
15	14	3adant2 1130	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 < (♯‘𝐴) ↔ (𝑁 + 1) < ((♯‘𝐴) +𝑒 1)))
16	15	adantr 481	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝑁 < (♯‘𝐴) ↔ (𝑁 + 1) < ((♯‘𝐴) +𝑒 1)))
17		hashunsngx 14106	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 → (♯‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = ((♯‘𝐴) +𝑒 1)))
18	17	3impia 1116	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → (♯‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = ((♯‘𝐴) +𝑒 1))
19	18	eqcomd 2746	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → ((♯‘𝐴) +𝑒 1) = (♯‘(𝐴 ∪ {𝐵})))
20	19	3expa 1117	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → ((♯‘𝐴) +𝑒 1) = (♯‘(𝐴 ∪ {𝐵})))
21	20	3adantl3 1167	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → ((♯‘𝐴) +𝑒 1) = (♯‘(𝐴 ∪ {𝐵})))
22	21	breq2d 5091	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → ((𝑁 + 1) < ((♯‘𝐴) +𝑒 1) ↔ (𝑁 + 1) < (♯‘(𝐴 ∪ {𝐵}))))
23	16, 22	bitrd 278	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝑁 < (♯‘𝐴) ↔ (𝑁 + 1) < (♯‘(𝐴 ∪ {𝐵}))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   ∪ cun 3890  {csn 4567   class class class wbr 5079  ‘cfv 6432  (class class class)co 7271  ℝcr 10871  1c1 10873   + caddc 10875  ℝ^*cxr 11009   < clt 11010  ℕ₀cn0 12233   +_𝑒 cxad 12845  ♯chash 14042

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-oadd 8292  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-dju 9660  df-card 9698  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12582  df-xneg 12847  df-xadd 12848  df-fz 13239  df-hash 14043

This theorem is referenced by:  hashgt23el  14137