Theorem hashunsnggt 14430

Description: The size of a set is greater than a nonnegative integer N if and only if the size of the union of that set with a disjoint singleton is greater than N + 1. (Contributed by BTernaryTau, 10-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
hashunsnggt	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝑁 < (♯‘𝐴) ↔ (𝑁 + 1) < (♯‘(𝐴 ∪ {𝐵}))))

Proof of Theorem hashunsnggt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 12513	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
2	1	rexrd 11259	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ*)
3		hashxrcl 14393	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ*)
4		1re 11208	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		xltadd1 13282	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 < (♯‘𝐴) ↔ (𝑁 +𝑒 1) < ((♯‘𝐴) +𝑒 1)))
6	4, 5	mp3an3 1476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℝ*) → (𝑁 < (♯‘𝐴) ↔ (𝑁 +𝑒 1) < ((♯‘𝐴) +𝑒 1)))
7	2, 3, 6	syl2an 607	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑁 < (♯‘𝐴) ↔ (𝑁 +𝑒 1) < ((♯‘𝐴) +𝑒 1)))
8	7	ancoms 463	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 < (♯‘𝐴) ↔ (𝑁 +𝑒 1) < ((♯‘𝐴) +𝑒 1)))
9		rexadd 13258	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 +𝑒 1) = (𝑁 + 1))
10	4, 9	mpan2 703	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 +𝑒 1) = (𝑁 + 1))
11	1, 10	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 +𝑒 1) = (𝑁 + 1))
12	11	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 +𝑒 1) = (𝑁 + 1))
13	12	breq1d 5123	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 +𝑒 1) < ((♯‘𝐴) +𝑒 1) ↔ (𝑁 + 1) < ((♯‘𝐴) +𝑒 1)))
14	8, 13	bitrd 282	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 < (♯‘𝐴) ↔ (𝑁 + 1) < ((♯‘𝐴) +𝑒 1)))
15	14	3adant2 1147	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 < (♯‘𝐴) ↔ (𝑁 + 1) < ((♯‘𝐴) +𝑒 1)))
16	15	adantr 485	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝑁 < (♯‘𝐴) ↔ (𝑁 + 1) < ((♯‘𝐴) +𝑒 1)))
17		hashunsngx 14429	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 → (♯‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = ((♯‘𝐴) +𝑒 1)))
18	17	3impia 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → (♯‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = ((♯‘𝐴) +𝑒 1))
19	18	eqcomd 2775	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → ((♯‘𝐴) +𝑒 1) = (♯‘(𝐴 ∪ {𝐵})))
20	19	3expa 1134	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → ((♯‘𝐴) +𝑒 1) = (♯‘(𝐴 ∪ {𝐵})))
21	20	3adantl3 1185	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → ((♯‘𝐴) +𝑒 1) = (♯‘(𝐴 ∪ {𝐵})))
22	21	breq2d 5125	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → ((𝑁 + 1) < ((♯‘𝐴) +𝑒 1) ↔ (𝑁 + 1) < (♯‘(𝐴 ∪ {𝐵}))))
23	16, 22	bitrd 282	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝑁 < (♯‘𝐴) ↔ (𝑁 + 1) < (♯‘(𝐴 ∪ {𝐵}))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ∪ cun 3911  {csn 4594   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℝcr 11099  1c1 11101   + caddc 11103  ℝ^*cxr 11242   < clt 11243  ℕ₀cn0 12504   +_𝑒 cxad 13135  ♯chash 14366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-oadd 8457  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-dju 9887  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-n0 12505  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-uz 12863  df-xneg 13137  df-xadd 13138  df-fz 13536  df-hash 14367

This theorem is referenced by:  hashgt23el  14461