Theorem hashunsnggt 14417

Description: The size of a set is greater than a nonnegative integer N if and only if the size of the union of that set with a disjoint singleton is greater than N + 1. (Contributed by BTernaryTau, 10-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
hashunsnggt	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝑁 < (♯‘𝐴) ↔ (𝑁 + 1) < (♯‘(𝐴 ∪ {𝐵}))))

Proof of Theorem hashunsnggt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 12515	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
2	1	rexrd 11290	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ*)
3		hashxrcl 14380	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ*)
4		1re 11240	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		xltadd1 13277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 < (♯‘𝐴) ↔ (𝑁 +𝑒 1) < ((♯‘𝐴) +𝑒 1)))
6	4, 5	mp3an3 1452	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℝ*) → (𝑁 < (♯‘𝐴) ↔ (𝑁 +𝑒 1) < ((♯‘𝐴) +𝑒 1)))
7	2, 3, 6	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑁 < (♯‘𝐴) ↔ (𝑁 +𝑒 1) < ((♯‘𝐴) +𝑒 1)))
8	7	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 < (♯‘𝐴) ↔ (𝑁 +𝑒 1) < ((♯‘𝐴) +𝑒 1)))
9		rexadd 13253	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 +𝑒 1) = (𝑁 + 1))
10	4, 9	mpan2 691	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 +𝑒 1) = (𝑁 + 1))
11	1, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 +𝑒 1) = (𝑁 + 1))
12	11	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 +𝑒 1) = (𝑁 + 1))
13	12	breq1d 5134	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 +𝑒 1) < ((♯‘𝐴) +𝑒 1) ↔ (𝑁 + 1) < ((♯‘𝐴) +𝑒 1)))
14	8, 13	bitrd 279	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 < (♯‘𝐴) ↔ (𝑁 + 1) < ((♯‘𝐴) +𝑒 1)))
15	14	3adant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 < (♯‘𝐴) ↔ (𝑁 + 1) < ((♯‘𝐴) +𝑒 1)))
16	15	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝑁 < (♯‘𝐴) ↔ (𝑁 + 1) < ((♯‘𝐴) +𝑒 1)))
17		hashunsngx 14416	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 → (♯‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = ((♯‘𝐴) +𝑒 1)))
18	17	3impia 1117	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → (♯‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = ((♯‘𝐴) +𝑒 1))
19	18	eqcomd 2742	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → ((♯‘𝐴) +𝑒 1) = (♯‘(𝐴 ∪ {𝐵})))
20	19	3expa 1118	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → ((♯‘𝐴) +𝑒 1) = (♯‘(𝐴 ∪ {𝐵})))
21	20	3adantl3 1169	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → ((♯‘𝐴) +𝑒 1) = (♯‘(𝐴 ∪ {𝐵})))
22	21	breq2d 5136	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → ((𝑁 + 1) < ((♯‘𝐴) +𝑒 1) ↔ (𝑁 + 1) < (♯‘(𝐴 ∪ {𝐵}))))
23	16, 22	bitrd 279	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝑁 < (♯‘𝐴) ↔ (𝑁 + 1) < (♯‘(𝐴 ∪ {𝐵}))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∪ cun 3929  {csn 4606   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11133  1c1 11135   + caddc 11137  ℝ^*cxr 11273   < clt 11274  ℕ₀cn0 12506   +_𝑒 cxad 13131  ♯chash 14353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-oadd 8489  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-dju 9920  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-n0 12507  df-xnn0 12580  df-z 12594  df-uz 12858  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-fz 13530  df-hash 14354

This theorem is referenced by:  hashgt23el  14447