MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashunsnggt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashunsnggt 13751
Description: The size of a set is greater than a nonnegative integer N if and only if the size of the union of that set with a disjoint singleton is greater than N + 1. (Contributed by BTernaryTau, 10-Sep-2023.)
Assertion
Ref Expression
hashunsnggt (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → (𝑁 < (♯‘𝐴) ↔ (𝑁 + 1) < (♯‘(𝐴 ∪ {𝐵}))))

Proof of Theorem hashunsnggt
StepHypRef Expression
1 nn0re 11894 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
21rexrd 10680 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ*)
3 hashxrcl 13714 . . . . . . 7 (𝐴𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ*)
4 1re 10630 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
5 xltadd1 12637 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 < (♯‘𝐴) ↔ (𝑁 +𝑒 1) < ((♯‘𝐴) +𝑒 1)))
64, 5mp3an3 1447 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℝ*) → (𝑁 < (♯‘𝐴) ↔ (𝑁 +𝑒 1) < ((♯‘𝐴) +𝑒 1)))
72, 3, 6syl2an 598 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑉) → (𝑁 < (♯‘𝐴) ↔ (𝑁 +𝑒 1) < ((♯‘𝐴) +𝑒 1)))
87ancoms 462 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 < (♯‘𝐴) ↔ (𝑁 +𝑒 1) < ((♯‘𝐴) +𝑒 1)))
9 rexadd 12613 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 +𝑒 1) = (𝑁 + 1))
104, 9mpan2 690 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 +𝑒 1) = (𝑁 + 1))
111, 10syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 +𝑒 1) = (𝑁 + 1))
1211adantl 485 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 +𝑒 1) = (𝑁 + 1))
1312breq1d 5052 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 +𝑒 1) < ((♯‘𝐴) +𝑒 1) ↔ (𝑁 + 1) < ((♯‘𝐴) +𝑒 1)))
148, 13bitrd 282 . . . 4 ((𝐴𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 < (♯‘𝐴) ↔ (𝑁 + 1) < ((♯‘𝐴) +𝑒 1)))
15143adant2 1128 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 < (♯‘𝐴) ↔ (𝑁 + 1) < ((♯‘𝐴) +𝑒 1)))
1615adantr 484 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → (𝑁 < (♯‘𝐴) ↔ (𝑁 + 1) < ((♯‘𝐴) +𝑒 1)))
17 hashunsngx 13750 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (¬ 𝐵𝐴 → (♯‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = ((♯‘𝐴) +𝑒 1)))
18173impia 1114 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ ¬ 𝐵𝐴) → (♯‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = ((♯‘𝐴) +𝑒 1))
1918eqcomd 2828 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ ¬ 𝐵𝐴) → ((♯‘𝐴) +𝑒 1) = (♯‘(𝐴 ∪ {𝐵})))
20193expa 1115 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → ((♯‘𝐴) +𝑒 1) = (♯‘(𝐴 ∪ {𝐵})))
21203adantl3 1165 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → ((♯‘𝐴) +𝑒 1) = (♯‘(𝐴 ∪ {𝐵})))
2221breq2d 5054 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → ((𝑁 + 1) < ((♯‘𝐴) +𝑒 1) ↔ (𝑁 + 1) < (♯‘(𝐴 ∪ {𝐵}))))
2316, 22bitrd 282 1 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → (𝑁 < (♯‘𝐴) ↔ (𝑁 + 1) < (♯‘(𝐴 ∪ {𝐵}))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2114  cun 3906  {csn 4539   class class class wbr 5042  cfv 6334  (class class class)co 7140  cr 10525  1c1 10527   + caddc 10529  *cxr 10663   < clt 10664  0cn0 11885   +𝑒 cxad 12493  chash 13686
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-fz 12886  df-hash 13687
This theorem is referenced by:  hashgt23el  13781
  Copyright terms: Public domain W3C validator