Theorem rusgr1vtxlem 27361

Description: Lemma for rusgr1vtx 27362. (Contributed by AV, 27-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
rusgr1vtxlem	⊢ (((∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘𝐴) = 𝐾 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 𝐴 = ∅) ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 1)) → 𝐾 = 0)

Distinct variable groups:   𝑣,𝐾   𝑣,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑣)   𝑊(𝑣)

Proof of Theorem rusgr1vtxlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.26 3168	. . 3 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((♯‘𝐴) = 𝐾 ∧ 𝐴 = ∅) ↔ (∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘𝐴) = 𝐾 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 𝐴 = ∅))
2		fveqeq2 6672	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → ((♯‘𝐴) = 𝐾 ↔ (♯‘∅) = 𝐾))
3	2	biimpac 481	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝐴) = 𝐾 ∧ 𝐴 = ∅) → (♯‘∅) = 𝐾)
4	3	ralimi 3158	. . . 4 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((♯‘𝐴) = 𝐾 ∧ 𝐴 = ∅) → ∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘∅) = 𝐾)
5		hash1n0 13774	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → 𝑉 ≠ ∅)
6		rspn0 4311	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘∅) = 𝐾 → (♯‘∅) = 𝐾))
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘∅) = 𝐾 → (♯‘∅) = 𝐾))
8		hash0 13720	. . . . . 6 ⊢ (♯‘∅) = 0
9		eqeq1 2823	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘∅) = 𝐾 → ((♯‘∅) = 0 ↔ 𝐾 = 0))
10	8, 9	mpbii 235	. . . . 5 ⊢ ((♯‘∅) = 𝐾 → 𝐾 = 0)
11	7, 10	syl6com 37	. . . 4 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘∅) = 𝐾 → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → 𝐾 = 0))
12	4, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((♯‘𝐴) = 𝐾 ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → 𝐾 = 0))
13	1, 12	sylbir 237	. 2 ⊢ ((∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘𝐴) = 𝐾 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 𝐴 = ∅) → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → 𝐾 = 0))
14	13	imp 409	1 ⊢ (((∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘𝐴) = 𝐾 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 𝐴 = ∅) ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 1)) → 𝐾 = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1531   ∈ wcel 2108   ≠ wne 3014  ∀wral 3136  ∅c0 4289  ‘cfv 6348  0cc0 10529  1c1 10530  ♯chash 13682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-dju 9322  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12885  df-hash 13683

This theorem is referenced by:  rusgr1vtx  27362