Theorem rusgr1vtxlem 29620

Description: Lemma for rusgr1vtx 29621. (Contributed by AV, 27-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
rusgr1vtxlem	⊢ (((∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘𝐴) = 𝐾 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 𝐴 = ∅) ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 1)) → 𝐾 = 0)

Distinct variable groups:   𝑣,𝐾   𝑣,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑣)   𝑊(𝑣)

Proof of Theorem rusgr1vtxlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.26 3109	. . 3 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((♯‘𝐴) = 𝐾 ∧ 𝐴 = ∅) ↔ (∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘𝐴) = 𝐾 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 𝐴 = ∅))
2		fveqeq2 6916	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → ((♯‘𝐴) = 𝐾 ↔ (♯‘∅) = 𝐾))
3	2	biimpac 478	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝐴) = 𝐾 ∧ 𝐴 = ∅) → (♯‘∅) = 𝐾)
4	3	ralimi 3081	. . . 4 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((♯‘𝐴) = 𝐾 ∧ 𝐴 = ∅) → ∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘∅) = 𝐾)
5		hash1n0 14457	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → 𝑉 ≠ ∅)
6		rspn0 4362	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘∅) = 𝐾 → (♯‘∅) = 𝐾))
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘∅) = 𝐾 → (♯‘∅) = 𝐾))
8		hash0 14403	. . . . . 6 ⊢ (♯‘∅) = 0
9		eqeq1 2739	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘∅) = 𝐾 → ((♯‘∅) = 0 ↔ 𝐾 = 0))
10	8, 9	mpbii 233	. . . . 5 ⊢ ((♯‘∅) = 𝐾 → 𝐾 = 0)
11	7, 10	syl6com 37	. . . 4 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘∅) = 𝐾 → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → 𝐾 = 0))
12	4, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((♯‘𝐴) = 𝐾 ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → 𝐾 = 0))
13	1, 12	sylbir 235	. 2 ⊢ ((∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘𝐴) = 𝐾 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 𝐴 = ∅) → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → 𝐾 = 0))
14	13	imp 406	1 ⊢ (((∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘𝐴) = 𝐾 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 𝐴 = ∅) ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 1)) → 𝐾 = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  ∅c0 4339  ‘cfv 6563  0cc0 11153  1c1 11154  ♯chash 14366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-hash 14367

This theorem is referenced by:  rusgr1vtx  29621