Theorem rusgr1vtxlem 27954

Description: Lemma for rusgr1vtx 27955. (Contributed by AV, 27-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
rusgr1vtxlem	⊢ (((∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘𝐴) = 𝐾 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 𝐴 = ∅) ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 1)) → 𝐾 = 0)

Distinct variable groups:   𝑣,𝐾   𝑣,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑣)   𝑊(𝑣)

Proof of Theorem rusgr1vtxlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.26 3095	. . 3 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((♯‘𝐴) = 𝐾 ∧ 𝐴 = ∅) ↔ (∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘𝐴) = 𝐾 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 𝐴 = ∅))
2		fveqeq2 6783	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → ((♯‘𝐴) = 𝐾 ↔ (♯‘∅) = 𝐾))
3	2	biimpac 479	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝐴) = 𝐾 ∧ 𝐴 = ∅) → (♯‘∅) = 𝐾)
4	3	ralimi 3087	. . . 4 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((♯‘𝐴) = 𝐾 ∧ 𝐴 = ∅) → ∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘∅) = 𝐾)
5		hash1n0 14136	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → 𝑉 ≠ ∅)
6		rspn0 4286	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘∅) = 𝐾 → (♯‘∅) = 𝐾))
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘∅) = 𝐾 → (♯‘∅) = 𝐾))
8		hash0 14082	. . . . . 6 ⊢ (♯‘∅) = 0
9		eqeq1 2742	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘∅) = 𝐾 → ((♯‘∅) = 0 ↔ 𝐾 = 0))
10	8, 9	mpbii 232	. . . . 5 ⊢ ((♯‘∅) = 𝐾 → 𝐾 = 0)
11	7, 10	syl6com 37	. . . 4 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘∅) = 𝐾 → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → 𝐾 = 0))
12	4, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((♯‘𝐴) = 𝐾 ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → 𝐾 = 0))
13	1, 12	sylbir 234	. 2 ⊢ ((∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘𝐴) = 𝐾 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 𝐴 = ∅) → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → 𝐾 = 0))
14	13	imp 407	1 ⊢ (((∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘𝐴) = 𝐾 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 𝐴 = ∅) ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 1)) → 𝐾 = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∅c0 4256  ‘cfv 6433  0cc0 10871  1c1 10872  ♯chash 14044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-hash 14045

This theorem is referenced by:  rusgr1vtx  27955