Theorem rusgr1vtxlem 29108

Description: Lemma for rusgr1vtx 29109. (Contributed by AV, 27-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
rusgr1vtxlem	⊢ (((∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘𝐴) = 𝐾 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 𝐴 = ∅) ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 1)) → 𝐾 = 0)

Distinct variable groups:   𝑣,𝐾   𝑣,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑣)   𝑊(𝑣)

Proof of Theorem rusgr1vtxlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.26 3110	. . 3 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((♯‘𝐴) = 𝐾 ∧ 𝐴 = ∅) ↔ (∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘𝐴) = 𝐾 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 𝐴 = ∅))
2		fveqeq2 6901	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → ((♯‘𝐴) = 𝐾 ↔ (♯‘∅) = 𝐾))
3	2	biimpac 478	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝐴) = 𝐾 ∧ 𝐴 = ∅) → (♯‘∅) = 𝐾)
4	3	ralimi 3082	. . . 4 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((♯‘𝐴) = 𝐾 ∧ 𝐴 = ∅) → ∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘∅) = 𝐾)
5		hash1n0 14386	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → 𝑉 ≠ ∅)
6		rspn0 4353	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘∅) = 𝐾 → (♯‘∅) = 𝐾))
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘∅) = 𝐾 → (♯‘∅) = 𝐾))
8		hash0 14332	. . . . . 6 ⊢ (♯‘∅) = 0
9		eqeq1 2735	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘∅) = 𝐾 → ((♯‘∅) = 0 ↔ 𝐾 = 0))
10	8, 9	mpbii 232	. . . . 5 ⊢ ((♯‘∅) = 𝐾 → 𝐾 = 0)
11	7, 10	syl6com 37	. . . 4 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘∅) = 𝐾 → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → 𝐾 = 0))
12	4, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((♯‘𝐴) = 𝐾 ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → 𝐾 = 0))
13	1, 12	sylbir 234	. 2 ⊢ ((∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘𝐴) = 𝐾 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 𝐴 = ∅) → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → 𝐾 = 0))
14	13	imp 406	1 ⊢ (((∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘𝐴) = 𝐾 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 𝐴 = ∅) ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 1)) → 𝐾 = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  ∅c0 4323  ‘cfv 6544  0cc0 11113  1c1 11114  ♯chash 14295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-oadd 8473  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-hash 14296

This theorem is referenced by:  rusgr1vtx  29109