Theorem rusgrnumwrdl2 29670

Description: In a k-regular simple graph, the number of edges resp. walks of length 1 (represented as words of length 2) starting at a fixed vertex is k. (Contributed by Alexander van der Vekens, 28-Jul-2018.) (Revised by AV, 6-May-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
rusgrnumwrdl2.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
rusgrnumwrdl2	⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))}) = 𝐾)

Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝑃   𝑤,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐾(𝑤)

Proof of Theorem rusgrnumwrdl2

Dummy variables 𝑓 𝑝 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rusgrnumwrdl2.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	fvexi 6848	. . . . 5 ⊢ 𝑉 ∈ V
3	2	wrdexi 14479	. . . 4 ⊢ Word 𝑉 ∈ V
4	3	rabex 5276	. . 3 ⊢ {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))} ∈ V
5	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → 𝑉 ∈ V)
6		wrd2f1tovbij 14913	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → ∃𝑓 𝑓:{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))}–1-1-onto→{𝑠 ∈ 𝑉 ∣ {𝑃, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)})
7	5, 6	sylan 581	. . 3 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → ∃𝑓 𝑓:{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))}–1-1-onto→{𝑠 ∈ 𝑉 ∣ {𝑃, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)})
8		hasheqf1oi 14304	. . 3 ⊢ ({𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))} ∈ V → (∃𝑓 𝑓:{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))}–1-1-onto→{𝑠 ∈ 𝑉 ∣ {𝑃, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)} → (♯‘{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))}) = (♯‘{𝑠 ∈ 𝑉 ∣ {𝑃, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)})))
9	4, 7, 8	mpsyl 68	. 2 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))}) = (♯‘{𝑠 ∈ 𝑉 ∣ {𝑃, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)}))
10	1	rusgrpropadjvtx 29669	. . . 4 ⊢ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑉 (♯‘{𝑠 ∈ 𝑉 ∣ {𝑝, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾))
11		preq1 4678	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → {𝑝, 𝑠} = {𝑃, 𝑠})
12	11	eleq1d 2822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ({𝑝, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {𝑃, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)))
13	12	rabbidv 3397	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → {𝑠 ∈ 𝑉 ∣ {𝑝, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)} = {𝑠 ∈ 𝑉 ∣ {𝑃, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)})
14	13	fveqeq2d 6842	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((♯‘{𝑠 ∈ 𝑉 ∣ {𝑝, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾 ↔ (♯‘{𝑠 ∈ 𝑉 ∣ {𝑃, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾))
15	14	rspccv 3562	. . . . 5 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝑉 (♯‘{𝑠 ∈ 𝑉 ∣ {𝑝, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾 → (𝑃 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝑠 ∈ 𝑉 ∣ {𝑃, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾))
16	15	3ad2ant3 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑉 (♯‘{𝑠 ∈ 𝑉 ∣ {𝑝, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾) → (𝑃 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝑠 ∈ 𝑉 ∣ {𝑃, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾))
17	10, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → (𝑃 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝑠 ∈ 𝑉 ∣ {𝑃, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾))
18	17	imp 406	. 2 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑠 ∈ 𝑉 ∣ {𝑃, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾)
19	9, 18	eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))}) = 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  {crab 3390  Vcvv 3430  {cpr 4570   class class class wbr 5086  –1-1-onto→wf1o 6491  ‘cfv 6492  0cc0 11029  1c1 11030  2c2 12227  ℕ₀^*cxnn0 12501  ♯chash 14283  Word cword 14466  Vtxcvtx 29079  Edgcedg 29130  USGraphcusgr 29232   RegUSGraph crusgr 29640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-oadd 8402  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-uz 12780  df-xadd 13055  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-hash 14284  df-word 14467  df-edg 29131  df-uhgr 29141  df-ushgr 29142  df-upgr 29165  df-umgr 29166  df-uspgr 29233  df-usgr 29234  df-nbgr 29416  df-vtxdg 29550  df-rgr 29641  df-rusgr 29642

This theorem is referenced by:  rusgrnumwwlkl1  30054  clwwlknon2num  30190