Theorem rusgrnumwrdl2 29936

Description: In a k-regular simple graph, the number of edges resp. walks of length 1 (represented as words of length 2) starting at a fixed vertex is k. (Contributed by Alexander van der Vekens, 28-Jul-2018.) (Revised by AV, 6-May-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
rusgrnumwrdl2.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
rusgrnumwrdl2	⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))}) = 𝐾)

Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝑃   𝑤,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐾(𝑤)

Proof of Theorem rusgrnumwrdl2

Dummy variables 𝑓 𝑝 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rusgrnumwrdl2.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	fvexi 6895	. . . . 5 ⊢ 𝑉 ∈ V
3	2	wrdexi 14559	. . . 4 ⊢ Word 𝑉 ∈ V
4	3	rabex 5309	. . 3 ⊢ {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))} ∈ V
5	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → 𝑉 ∈ V)
6		wrd2f1tovbij 14993	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → ∃𝑓 𝑓:{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))}–1-1-onto→{𝑠 ∈ 𝑉 ∣ {𝑃, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)})
7	5, 6	sylan 591	. . 3 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → ∃𝑓 𝑓:{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))}–1-1-onto→{𝑠 ∈ 𝑉 ∣ {𝑃, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)})
8		hasheqf1oi 14383	. . 3 ⊢ ({𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))} ∈ V → (∃𝑓 𝑓:{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))}–1-1-onto→{𝑠 ∈ 𝑉 ∣ {𝑃, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)} → (♯‘{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))}) = (♯‘{𝑠 ∈ 𝑉 ∣ {𝑃, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)})))
9	4, 7, 8	mpsyl 69	. 2 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))}) = (♯‘{𝑠 ∈ 𝑉 ∣ {𝑃, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)}))
10	1	rusgrpropadjvtx 29935	. . . 4 ⊢ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑉 (♯‘{𝑠 ∈ 𝑉 ∣ {𝑝, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾))
11		preq1 4699	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → {𝑝, 𝑠} = {𝑃, 𝑠})
12	11	eleq1d 2848	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ({𝑝, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {𝑃, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)))
13	12	rabbidv 3423	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → {𝑠 ∈ 𝑉 ∣ {𝑝, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)} = {𝑠 ∈ 𝑉 ∣ {𝑃, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)})
14	13	fveqeq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((♯‘{𝑠 ∈ 𝑉 ∣ {𝑝, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾 ↔ (♯‘{𝑠 ∈ 𝑉 ∣ {𝑃, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾))
15	14	rspccv 3578	. . . . 5 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝑉 (♯‘{𝑠 ∈ 𝑉 ∣ {𝑝, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾 → (𝑃 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝑠 ∈ 𝑉 ∣ {𝑃, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾))
16	15	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑉 (♯‘{𝑠 ∈ 𝑉 ∣ {𝑝, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾) → (𝑃 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝑠 ∈ 𝑉 ∣ {𝑃, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾))
17	10, 16	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → (𝑃 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝑠 ∈ 𝑉 ∣ {𝑃, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾))
18	17	imp 411	. 2 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑠 ∈ 𝑉 ∣ {𝑃, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾)
19	9, 18	eqtrd 2798	1 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))}) = 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  {crab 3416  Vcvv 3455  {cpr 4591   class class class wbr 5109  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  0cc0 11095  1c1 11096  2c2 12290  ℕ₀^*cxnn0 12572  ♯chash 14362  Word cword 14546  Vtxcvtx 29346  Edgcedg 29397  USGraphcusgr 29499   RegUSGraph crusgr 29906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9883  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-uz 12858  df-xadd 13133  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-hash 14363  df-word 14547  df-edg 29398  df-uhgr 29408  df-ushgr 29409  df-upgr 29432  df-umgr 29433  df-uspgr 29500  df-usgr 29501  df-nbgr 29683  df-vtxdg 29816  df-rgr 29907  df-rusgr 29908

This theorem is referenced by:  rusgrnumwwlkl1  30320  clwwlknon2num  30456