Theorem rusgrnumwrdl2 29876

Description: In a k-regular simple graph, the number of edges resp. walks of length 1 (represented as words of length 2) starting at a fixed vertex is k. (Contributed by Alexander van der Vekens, 28-Jul-2018.) (Revised by AV, 6-May-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
rusgrnumwrdl2.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
rusgrnumwrdl2	⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))}) = 𝐾)

Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝑃   𝑤,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐾(𝑤)

Proof of Theorem rusgrnumwrdl2

Dummy variables 𝑓 𝑝 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rusgrnumwrdl2.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	fvexi 6896	. . . . 5 ⊢ 𝑉 ∈ V
3	2	wrdexi 14562	. . . 4 ⊢ Word 𝑉 ∈ V
4	3	rabex 5310	. . 3 ⊢ {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))} ∈ V
5	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → 𝑉 ∈ V)
6		wrd2f1tovbij 14996	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → ∃𝑓 𝑓:{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))}–1-1-onto→{𝑠 ∈ 𝑉 ∣ {𝑃, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)})
7	5, 6	sylan 591	. . 3 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → ∃𝑓 𝑓:{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))}–1-1-onto→{𝑠 ∈ 𝑉 ∣ {𝑃, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)})
8		hasheqf1oi 14386	. . 3 ⊢ ({𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))} ∈ V → (∃𝑓 𝑓:{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))}–1-1-onto→{𝑠 ∈ 𝑉 ∣ {𝑃, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)} → (♯‘{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))}) = (♯‘{𝑠 ∈ 𝑉 ∣ {𝑃, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)})))
9	4, 7, 8	mpsyl 69	. 2 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))}) = (♯‘{𝑠 ∈ 𝑉 ∣ {𝑃, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)}))
10	1	rusgrpropadjvtx 29875	. . . 4 ⊢ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑉 (♯‘{𝑠 ∈ 𝑉 ∣ {𝑝, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾))
11		preq1 4704	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → {𝑝, 𝑠} = {𝑃, 𝑠})
12	11	eleq1d 2854	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ({𝑝, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {𝑃, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)))
13	12	rabbidv 3430	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → {𝑠 ∈ 𝑉 ∣ {𝑝, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)} = {𝑠 ∈ 𝑉 ∣ {𝑃, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)})
14	13	fveqeq2d 6890	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((♯‘{𝑠 ∈ 𝑉 ∣ {𝑝, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾 ↔ (♯‘{𝑠 ∈ 𝑉 ∣ {𝑃, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾))
15	14	rspccv 3587	. . . . 5 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝑉 (♯‘{𝑠 ∈ 𝑉 ∣ {𝑝, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾 → (𝑃 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝑠 ∈ 𝑉 ∣ {𝑃, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾))
16	15	3ad2ant3 1151	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑉 (♯‘{𝑠 ∈ 𝑉 ∣ {𝑝, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾) → (𝑃 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝑠 ∈ 𝑉 ∣ {𝑃, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾))
17	10, 16	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → (𝑃 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝑠 ∈ 𝑉 ∣ {𝑃, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾))
18	17	imp 411	. 2 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑠 ∈ 𝑉 ∣ {𝑃, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾)
19	9, 18	eqtrd 2804	1 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))}) = 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567  ∃wex 1806   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  {crab 3423  Vcvv 3463  {cpr 4596   class class class wbr 5113  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  0cc0 11099  1c1 11100  2c2 12294  ℕ₀^*cxnn0 12576  ♯chash 14365  Word cword 14549  Vtxcvtx 29286  Edgcedg 29337  USGraphcusgr 29439   RegUSGraph crusgr 29846

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-oadd 8456  df-er 8693  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-dju 9886  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-n0 12504  df-xnn0 12577  df-z 12591  df-uz 12862  df-xadd 13137  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-hash 14366  df-word 14550  df-edg 29338  df-uhgr 29348  df-ushgr 29349  df-upgr 29372  df-umgr 29373  df-uspgr 29440  df-usgr 29441  df-nbgr 29623  df-vtxdg 29756  df-rgr 29847  df-rusgr 29848

This theorem is referenced by:  rusgrnumwwlkl1  30260  clwwlknon2num  30396