Theorem rusgrnumwrdl2 29551

Description: In a k-regular simple graph, the number of edges resp. walks of length 1 (represented as words of length 2) starting at a fixed vertex is k. (Contributed by Alexander van der Vekens, 28-Jul-2018.) (Revised by AV, 6-May-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
rusgrnumwrdl2.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
rusgrnumwrdl2	⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))}) = 𝐾)

Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝑃   𝑤,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐾(𝑤)

Proof of Theorem rusgrnumwrdl2

Dummy variables 𝑓 𝑝 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rusgrnumwrdl2.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	fvexi 6840	. . . . 5 ⊢ 𝑉 ∈ V
3	2	wrdexi 14452	. . . 4 ⊢ Word 𝑉 ∈ V
4	3	rabex 5281	. . 3 ⊢ {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))} ∈ V
5	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → 𝑉 ∈ V)
6		wrd2f1tovbij 14886	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → ∃𝑓 𝑓:{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))}–1-1-onto→{𝑠 ∈ 𝑉 ∣ {𝑃, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)})
7	5, 6	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → ∃𝑓 𝑓:{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))}–1-1-onto→{𝑠 ∈ 𝑉 ∣ {𝑃, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)})
8		hasheqf1oi 14277	. . 3 ⊢ ({𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))} ∈ V → (∃𝑓 𝑓:{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))}–1-1-onto→{𝑠 ∈ 𝑉 ∣ {𝑃, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)} → (♯‘{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))}) = (♯‘{𝑠 ∈ 𝑉 ∣ {𝑃, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)})))
9	4, 7, 8	mpsyl 68	. 2 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))}) = (♯‘{𝑠 ∈ 𝑉 ∣ {𝑃, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)}))
10	1	rusgrpropadjvtx 29550	. . . 4 ⊢ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑉 (♯‘{𝑠 ∈ 𝑉 ∣ {𝑝, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾))
11		preq1 4687	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → {𝑝, 𝑠} = {𝑃, 𝑠})
12	11	eleq1d 2813	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ({𝑝, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {𝑃, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)))
13	12	rabbidv 3404	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → {𝑠 ∈ 𝑉 ∣ {𝑝, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)} = {𝑠 ∈ 𝑉 ∣ {𝑃, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)})
14	13	fveqeq2d 6834	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((♯‘{𝑠 ∈ 𝑉 ∣ {𝑝, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾 ↔ (♯‘{𝑠 ∈ 𝑉 ∣ {𝑃, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾))
15	14	rspccv 3576	. . . . 5 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝑉 (♯‘{𝑠 ∈ 𝑉 ∣ {𝑝, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾 → (𝑃 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝑠 ∈ 𝑉 ∣ {𝑃, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾))
16	15	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑉 (♯‘{𝑠 ∈ 𝑉 ∣ {𝑝, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾) → (𝑃 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝑠 ∈ 𝑉 ∣ {𝑃, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾))
17	10, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → (𝑃 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝑠 ∈ 𝑉 ∣ {𝑃, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾))
18	17	imp 406	. 2 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑠 ∈ 𝑉 ∣ {𝑃, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾)
19	9, 18	eqtrd 2764	1 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))}) = 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  {crab 3396  Vcvv 3438  {cpr 4581   class class class wbr 5095  –1-1-onto→wf1o 6485  ‘cfv 6486  0cc0 11028  1c1 11029  2c2 12202  ℕ₀^*cxnn0 12476  ♯chash 14256  Word cword 14439  Vtxcvtx 28960  Edgcedg 29011  USGraphcusgr 29113   RegUSGraph crusgr 29521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-n0 12404  df-xnn0 12477  df-z 12491  df-uz 12755  df-xadd 13034  df-fz 13430  df-fzo 13577  df-hash 14257  df-word 14440  df-edg 29012  df-uhgr 29022  df-ushgr 29023  df-upgr 29046  df-umgr 29047  df-uspgr 29114  df-usgr 29115  df-nbgr 29297  df-vtxdg 29431  df-rgr 29522  df-rusgr 29523

This theorem is referenced by:  rusgrnumwwlkl1  29932  clwwlknon2num  30068