MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rusgrnumwrdl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rusgrnumwrdl2 28576
Description: In a k-regular simple graph, the number of edges resp. walks of length 1 (represented as words of length 2) starting at a fixed vertex is k. (Contributed by Alexander van der Vekens, 28-Jul-2018.) (Revised by AV, 6-May-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
rusgrnumwrdl2.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
rusgrnumwrdl2 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑃𝑉) → (♯‘{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))}) = 𝐾)
Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝑃   𝑤,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐾(𝑤)

Proof of Theorem rusgrnumwrdl2
Dummy variables 𝑓 𝑝 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rusgrnumwrdl2.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21fvexi 6861 . . . . 5 𝑉 ∈ V
32wrdexi 14421 . . . 4 Word 𝑉 ∈ V
43rabex 5294 . . 3 {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))} ∈ V
52a1i 11 . . . 4 (𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑉 ∈ V)
6 wrd2f1tovbij 14856 . . . 4 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑃𝑉) → ∃𝑓 𝑓:{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))}–1-1-onto→{𝑠𝑉 ∣ {𝑃, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)})
75, 6sylan 581 . . 3 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑃𝑉) → ∃𝑓 𝑓:{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))}–1-1-onto→{𝑠𝑉 ∣ {𝑃, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)})
8 hasheqf1oi 14258 . . 3 ({𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))} ∈ V → (∃𝑓 𝑓:{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))}–1-1-onto→{𝑠𝑉 ∣ {𝑃, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)} → (♯‘{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))}) = (♯‘{𝑠𝑉 ∣ {𝑃, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)})))
94, 7, 8mpsyl 68 . 2 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑃𝑉) → (♯‘{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))}) = (♯‘{𝑠𝑉 ∣ {𝑃, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)}))
101rusgrpropadjvtx 28575 . . . 4 (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑝𝑉 (♯‘{𝑠𝑉 ∣ {𝑝, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾))
11 preq1 4699 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑃 → {𝑝, 𝑠} = {𝑃, 𝑠})
1211eleq1d 2823 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑃 → ({𝑝, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {𝑃, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)))
1312rabbidv 3418 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑃 → {𝑠𝑉 ∣ {𝑝, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)} = {𝑠𝑉 ∣ {𝑃, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)})
1413fveqeq2d 6855 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑃 → ((♯‘{𝑠𝑉 ∣ {𝑝, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾 ↔ (♯‘{𝑠𝑉 ∣ {𝑃, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾))
1514rspccv 3581 . . . . 5 (∀𝑝𝑉 (♯‘{𝑠𝑉 ∣ {𝑝, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾 → (𝑃𝑉 → (♯‘{𝑠𝑉 ∣ {𝑃, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾))
16153ad2ant3 1136 . . . 4 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑝𝑉 (♯‘{𝑠𝑉 ∣ {𝑝, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾) → (𝑃𝑉 → (♯‘{𝑠𝑉 ∣ {𝑃, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾))
1710, 16syl 17 . . 3 (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → (𝑃𝑉 → (♯‘{𝑠𝑉 ∣ {𝑃, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾))
1817imp 408 . 2 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑃𝑉) → (♯‘{𝑠𝑉 ∣ {𝑃, 𝑠} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾)
199, 18eqtrd 2777 1 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑃𝑉) → (♯‘{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))}) = 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  wral 3065  {crab 3410  Vcvv 3448  {cpr 4593   class class class wbr 5110  1-1-ontowf1o 6500  cfv 6501  0cc0 11058  1c1 11059  2c2 12215  0*cxnn0 12492  chash 14237  Word cword 14409  Vtxcvtx 27989  Edgcedg 28040  USGraphcusgr 28142   RegUSGraph crusgr 28546
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-xadd 13041  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-hash 14238  df-word 14410  df-edg 28041  df-uhgr 28051  df-ushgr 28052  df-upgr 28075  df-umgr 28076  df-uspgr 28143  df-usgr 28144  df-nbgr 28323  df-vtxdg 28456  df-rgr 28547  df-rusgr 28548
This theorem is referenced by:  rusgrnumwwlkl1  28955  clwwlknon2num  29091
  Copyright terms: Public domain W3C validator