Theorem rusgr1vtx 29113

Description: If a k-regular simple graph has only one vertex, then k must be 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Sep-2018.) (Revised by AV, 27-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
rusgr1vtx	⊢ (((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → 𝐾 = 0)

Proof of Theorem rusgr1vtx

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nbgr1vtx 28883	. . . 4 ⊢ ((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 → (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = ∅)
2	1	ralrimivw 3149	. . 3 ⊢ ((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 → ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)(𝐺 NeighbVtx 𝑣) = ∅)
3		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
4	3	rusgrpropnb 29108	. . 3 ⊢ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)(♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾))
5	2, 4	anim12i 612	. 2 ⊢ (((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)(𝐺 NeighbVtx 𝑣) = ∅ ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)(♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾)))
6		fvex 6904	. . . . . . . 8 ⊢ (Vtx‘𝐺) ∈ V
7		rusgr1vtxlem 29112	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)(♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾 ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)(𝐺 NeighbVtx 𝑣) = ∅) ∧ ((Vtx‘𝐺) ∈ V ∧ (♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1)) → 𝐾 = 0)
8	7	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)(♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾 ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)(𝐺 NeighbVtx 𝑣) = ∅) → (((Vtx‘𝐺) ∈ V ∧ (♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1) → 𝐾 = 0))
9	6, 8	mpani 693	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)(♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾 ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)(𝐺 NeighbVtx 𝑣) = ∅) → ((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 → 𝐾 = 0))
10	9	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)(♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾 → (∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)(𝐺 NeighbVtx 𝑣) = ∅ → ((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 → 𝐾 = 0)))
11	10	3ad2ant3 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)(♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾) → (∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)(𝐺 NeighbVtx 𝑣) = ∅ → ((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 → 𝐾 = 0)))
12	11	com13 88	. . . 4 ⊢ ((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 → (∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)(𝐺 NeighbVtx 𝑣) = ∅ → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)(♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾) → 𝐾 = 0)))
13	12	impd 410	. . 3 ⊢ ((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 → ((∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)(𝐺 NeighbVtx 𝑣) = ∅ ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)(♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾)) → 𝐾 = 0))
14	13	adantr 480	. 2 ⊢ (((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → ((∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)(𝐺 NeighbVtx 𝑣) = ∅ ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)(♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾)) → 𝐾 = 0))
15	5, 14	mpd 15	1 ⊢ (((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → 𝐾 = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3060  Vcvv 3473  ∅c0 4322   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  0cc0 11114  1c1 11115  ℕ₀^*cxnn0 12549  ♯chash 14295  Vtxcvtx 28524  USGraphcusgr 28677   NeighbVtx cnbgr 28857   RegUSGraph crusgr 29081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-oadd 8474  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-dju 9900  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-uz 12828  df-xadd 13098  df-fz 13490  df-hash 14296  df-edg 28576  df-uhgr 28586  df-ushgr 28587  df-upgr 28610  df-umgr 28611  df-uspgr 28678  df-usgr 28679  df-nbgr 28858  df-vtxdg 28991  df-rgr 29082  df-rusgr 29083

This theorem is referenced by:  frgrreg  29915