Theorem rusgr1vtx 29523

Description: If a k-regular simple graph has only one vertex, then k must be 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Sep-2018.) (Revised by AV, 27-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
rusgr1vtx	⊢ (((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → 𝐾 = 0)

Proof of Theorem rusgr1vtx

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nbgr1vtx 29292	. . . 4 ⊢ ((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 → (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = ∅)
2	1	ralrimivw 3131	. . 3 ⊢ ((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 → ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)(𝐺 NeighbVtx 𝑣) = ∅)
3		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
4	3	rusgrpropnb 29518	. . 3 ⊢ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)(♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾))
5	2, 4	anim12i 613	. 2 ⊢ (((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)(𝐺 NeighbVtx 𝑣) = ∅ ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)(♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾)))
6		fvex 6878	. . . . . . . 8 ⊢ (Vtx‘𝐺) ∈ V
7		rusgr1vtxlem 29522	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)(♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾 ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)(𝐺 NeighbVtx 𝑣) = ∅) ∧ ((Vtx‘𝐺) ∈ V ∧ (♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1)) → 𝐾 = 0)
8	7	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)(♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾 ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)(𝐺 NeighbVtx 𝑣) = ∅) → (((Vtx‘𝐺) ∈ V ∧ (♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1) → 𝐾 = 0))
9	6, 8	mpani 696	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)(♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾 ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)(𝐺 NeighbVtx 𝑣) = ∅) → ((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 → 𝐾 = 0))
10	9	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)(♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾 → (∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)(𝐺 NeighbVtx 𝑣) = ∅ → ((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 → 𝐾 = 0)))
11	10	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)(♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾) → (∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)(𝐺 NeighbVtx 𝑣) = ∅ → ((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 → 𝐾 = 0)))
12	11	com13 88	. . . 4 ⊢ ((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 → (∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)(𝐺 NeighbVtx 𝑣) = ∅ → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)(♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾) → 𝐾 = 0)))
13	12	impd 410	. . 3 ⊢ ((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 → ((∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)(𝐺 NeighbVtx 𝑣) = ∅ ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)(♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾)) → 𝐾 = 0))
14	13	adantr 480	. 2 ⊢ (((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → ((∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)(𝐺 NeighbVtx 𝑣) = ∅ ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)(♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾)) → 𝐾 = 0))
15	5, 14	mpd 15	1 ⊢ (((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → 𝐾 = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3046  Vcvv 3455  ∅c0 4304   class class class wbr 5115  ‘cfv 6519  (class class class)co 7394  0cc0 11086  1c1 11087  ℕ₀^*cxnn0 12531  ♯chash 14305  Vtxcvtx 28930  USGraphcusgr 29083   NeighbVtx cnbgr 29266   RegUSGraph crusgr 29491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5242  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pow 5328  ax-pr 5395  ax-un 7718  ax-cnex 11142  ax-resscn 11143  ax-1cn 11144  ax-icn 11145  ax-addcl 11146  ax-addrcl 11147  ax-mulcl 11148  ax-mulrcl 11149  ax-mulcom 11150  ax-addass 11151  ax-mulass 11152  ax-distr 11153  ax-i2m1 11154  ax-1ne0 11155  ax-1rid 11156  ax-rnegex 11157  ax-rrecex 11158  ax-cnre 11159  ax-pre-lttri 11160  ax-pre-lttrn 11161  ax-pre-ltadd 11162  ax-pre-mulgt0 11163

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-nel 3032  df-ral 3047  df-rex 3056  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3412  df-v 3457  df-sbc 3762  df-csb 3871  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-pss 3942  df-nul 4305  df-if 4497  df-pw 4573  df-sn 4598  df-pr 4600  df-op 4604  df-uni 4880  df-int 4919  df-iun 4965  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5541  df-eprel 5546  df-po 5554  df-so 5555  df-fr 5599  df-we 5601  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-ima 5659  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fn 6522  df-f 6523  df-f1 6524  df-fo 6525  df-f1o 6526  df-fv 6527  df-riota 7351  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-om 7851  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8349  df-rdg 8387  df-1o 8443  df-2o 8444  df-oadd 8447  df-er 8682  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-dju 9872  df-card 9910  df-pnf 11228  df-mnf 11229  df-xr 11230  df-ltxr 11231  df-le 11232  df-sub 11425  df-neg 11426  df-nn 12198  df-2 12260  df-n0 12459  df-xnn0 12532  df-z 12546  df-uz 12810  df-xadd 13086  df-fz 13482  df-hash 14306  df-edg 28982  df-uhgr 28992  df-ushgr 28993  df-upgr 29016  df-umgr 29017  df-uspgr 29084  df-usgr 29085  df-nbgr 29267  df-vtxdg 29401  df-rgr 29492  df-rusgr 29493

This theorem is referenced by:  frgrreg  30330