Theorem rusgr1vtx 29682

Description: If a k-regular simple graph has only one vertex, then k must be 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Sep-2018.) (Revised by AV, 27-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
rusgr1vtx	⊢ (((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → 𝐾 = 0)

Proof of Theorem rusgr1vtx

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nbgr1vtx 29452	. . . 4 ⊢ ((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 → (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = ∅)
2	1	ralrimivw 3136	. . 3 ⊢ ((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 → ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)(𝐺 NeighbVtx 𝑣) = ∅)
3		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
4	3	rusgrpropnb 29677	. . 3 ⊢ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)(♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾))
5	2, 4	anim12i 619	. 2 ⊢ (((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)(𝐺 NeighbVtx 𝑣) = ∅ ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)(♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾)))
6		fvex 6847	. . . . . . . 8 ⊢ (Vtx‘𝐺) ∈ V
7		rusgr1vtxlem 29681	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)(♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾 ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)(𝐺 NeighbVtx 𝑣) = ∅) ∧ ((Vtx‘𝐺) ∈ V ∧ (♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1)) → 𝐾 = 0)
8	7	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)(♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾 ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)(𝐺 NeighbVtx 𝑣) = ∅) → (((Vtx‘𝐺) ∈ V ∧ (♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1) → 𝐾 = 0))
9	6, 8	mpani 702	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)(♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾 ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)(𝐺 NeighbVtx 𝑣) = ∅) → ((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 → 𝐾 = 0))
10	9	ex 413	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)(♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾 → (∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)(𝐺 NeighbVtx 𝑣) = ∅ → ((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 → 𝐾 = 0)))
11	10	3ad2ant3 1141	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)(♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾) → (∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)(𝐺 NeighbVtx 𝑣) = ∅ → ((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 → 𝐾 = 0)))
12	11	com13 88	. . . 4 ⊢ ((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 → (∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)(𝐺 NeighbVtx 𝑣) = ∅ → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)(♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾) → 𝐾 = 0)))
13	12	impd 411	. . 3 ⊢ ((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 → ((∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)(𝐺 NeighbVtx 𝑣) = ∅ ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)(♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾)) → 𝐾 = 0))
14	13	adantr 481	. 2 ⊢ (((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → ((∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)(𝐺 NeighbVtx 𝑣) = ∅ ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)(♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾)) → 𝐾 = 0))
15	5, 14	mpd 15	1 ⊢ (((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → 𝐾 = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3054  Vcvv 3432  ∅c0 4268   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  0cc0 11036  1c1 11037  ℕ₀^*cxnn0 12508  ♯chash 14290  Vtxcvtx 29090  USGraphcusgr 29243   NeighbVtx cnbgr 29426   RegUSGraph crusgr 29650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-oadd 8406  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-dju 9823  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-n0 12436  df-xnn0 12509  df-z 12523  df-uz 12787  df-xadd 13062  df-fz 13460  df-hash 14291  df-edg 29142  df-uhgr 29152  df-ushgr 29153  df-upgr 29176  df-umgr 29177  df-uspgr 29244  df-usgr 29245  df-nbgr 29427  df-vtxdg 29560  df-rgr 29651  df-rusgr 29652

This theorem is referenced by:  frgrreg  30489