Theorem s2rn 14905

Description: Range of a length 2 string. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.) (Proof shortened by AV, 1-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
s2rn.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
s2rn.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
s2rn	⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {𝐼, 𝐽})

Proof of Theorem s2rn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s2 14790	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐼𝐽”⟩ = (⟨“𝐼”⟩ ++ ⟨“𝐽”⟩)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩ = (⟨“𝐼”⟩ ++ ⟨“𝐽”⟩))
3	2	rneqd 5891	. 2 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽”⟩ = ran (⟨“𝐼”⟩ ++ ⟨“𝐽”⟩))
4		s1cli 14546	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word V
5		s1cli 14546	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐽”⟩ ∈ Word V
6	4, 5	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (⟨“𝐼”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“𝐽”⟩ ∈ Word V)
7		ccatrn 14530	. . 3 ⊢ ((⟨“𝐼”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“𝐽”⟩ ∈ Word V) → ran (⟨“𝐼”⟩ ++ ⟨“𝐽”⟩) = (ran ⟨“𝐼”⟩ ∪ ran ⟨“𝐽”⟩))
8	6, 7	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝜑 → ran (⟨“𝐼”⟩ ++ ⟨“𝐽”⟩) = (ran ⟨“𝐼”⟩ ∪ ran ⟨“𝐽”⟩))
9		s2rn.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
10		s1rn 14540	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → ran ⟨“𝐼”⟩ = {𝐼})
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐼”⟩ = {𝐼})
12		s2rn.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
13		s1rn 14540	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐷 → ran ⟨“𝐽”⟩ = {𝐽})
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐽”⟩ = {𝐽})
15	11, 14	uneq12d 4128	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ran ⟨“𝐼”⟩ ∪ ran ⟨“𝐽”⟩) = ({𝐼} ∪ {𝐽}))
16		df-pr 4588	. . 3 ⊢ {𝐼, 𝐽} = ({𝐼} ∪ {𝐽})
17	15, 16	eqtr4di 2782	. 2 ⊢ (𝜑 → (ran ⟨“𝐼”⟩ ∪ ran ⟨“𝐽”⟩) = {𝐼, 𝐽})
18	3, 8, 17	3eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {𝐼, 𝐽})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444   ∪ cun 3909  {csn 4585  {cpr 4587  ran crn 5632  (class class class)co 7369  Word cword 14454   ++ cconcat 14511  ⟨“cs1 14536  ⟨“cs2 14783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-hash 14272  df-word 14455  df-concat 14512  df-s1 14537  df-s2 14790

This theorem is referenced by:  s3rn  14906  cycpm2tr  33049  cycpmco2  33063  cyc2fvx  33064  cyc3co2  33070  cyc3conja  33087