Theorem s2rn 32661

Description: Range of a length 2 string. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
s2rn.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
s2rn.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
s2rn	⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {𝐼, 𝐽})

Proof of Theorem s2rn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imadmrn 6067	. 2 ⊢ (⟨“𝐼𝐽”⟩ “ dom ⟨“𝐼𝐽”⟩) = ran ⟨“𝐼𝐽”⟩
2		s2rn.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
3		s2rn.j	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
4	2, 3	s2cld 14848	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩ ∈ Word 𝐷)
5		wrdfn 14504	. . . . . 6 ⊢ (⟨“𝐼𝐽”⟩ ∈ Word 𝐷 → ⟨“𝐼𝐽”⟩ Fn (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩)))
6		s2len 14866	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩) = 2
7	6	oveq2i 7425	. . . . . . . . 9 ⊢ (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩)) = (0..^2)
8		fzo0to2pr 13743	. . . . . . . . 9 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
9	7, 8	eqtri 2756	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩)) = {0, 1}
10	9	fneq2i 6646	. . . . . . 7 ⊢ (⟨“𝐼𝐽”⟩ Fn (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩)) ↔ ⟨“𝐼𝐽”⟩ Fn {0, 1})
11	10	biimpi 215	. . . . . 6 ⊢ (⟨“𝐼𝐽”⟩ Fn (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩)) → ⟨“𝐼𝐽”⟩ Fn {0, 1})
12	4, 5, 11	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩ Fn {0, 1})
13	12	fndmd 6653	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {0, 1})
14	13	imaeq2d 6057	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩ “ dom ⟨“𝐼𝐽”⟩) = (⟨“𝐼𝐽”⟩ “ {0, 1}))
15		c0ex 11232	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
16	15	prid1 4762	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ {0, 1}
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ {0, 1})
18		1ex 11234	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
19	18	prid2 4763	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ {0, 1}
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ {0, 1})
21		fnimapr 6976	. . . 4 ⊢ ((⟨“𝐼𝐽”⟩ Fn {0, 1} ∧ 0 ∈ {0, 1} ∧ 1 ∈ {0, 1}) → (⟨“𝐼𝐽”⟩ “ {0, 1}) = {(⟨“𝐼𝐽”⟩‘0), (⟨“𝐼𝐽”⟩‘1)})
22	12, 17, 20, 21	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩ “ {0, 1}) = {(⟨“𝐼𝐽”⟩‘0), (⟨“𝐼𝐽”⟩‘1)})
23		s2fv0 14864	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → (⟨“𝐼𝐽”⟩‘0) = 𝐼)
24	2, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩‘0) = 𝐼)
25		s2fv1 14865	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐷 → (⟨“𝐼𝐽”⟩‘1) = 𝐽)
26	3, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩‘1) = 𝐽)
27	24, 26	preq12d 4741	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(⟨“𝐼𝐽”⟩‘0), (⟨“𝐼𝐽”⟩‘1)} = {𝐼, 𝐽})
28	14, 22, 27	3eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩ “ dom ⟨“𝐼𝐽”⟩) = {𝐼, 𝐽})
29	1, 28	eqtr3id 2782	1 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {𝐼, 𝐽})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {cpr 4626  dom cdm 5672  ran crn 5673   “ cima 5675   Fn wfn 6537  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11132  1c1 11133  2c2 12291  ..^cfzo 13653  ♯chash 14315  Word cword 14490  ⟨“cs2 14818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-hash 14316  df-word 14491  df-concat 14547  df-s1 14572  df-s2 14825

This theorem is referenced by:  cycpm2tr  32834  cycpmco2  32848  cyc2fvx  32849  cyc3co2  32855  cyc3conja  32872