Theorem s2rn 15131

Description: Range of a length 2 string. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.) (Proof shortened by AV, 1-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
s2rn.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
s2rn.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
s2rn	⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {𝐼, 𝐽})

Proof of Theorem s2rn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s2 15013	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐼𝐽”⟩ = (⟨“𝐼”⟩ ++ ⟨“𝐽”⟩)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩ = (⟨“𝐼”⟩ ++ ⟨“𝐽”⟩))
3	2	rneqd 5925	. 2 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽”⟩ = ran (⟨“𝐼”⟩ ++ ⟨“𝐽”⟩))
4		s1cli 14765	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word V
5		s1cli 14765	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐽”⟩ ∈ Word V
6	4, 5	pm3.2i 476	. . 3 ⊢ (⟨“𝐼”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“𝐽”⟩ ∈ Word V)
7		ccatrn 14748	. . 3 ⊢ ((⟨“𝐼”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“𝐽”⟩ ∈ Word V) → ran (⟨“𝐼”⟩ ++ ⟨“𝐽”⟩) = (ran ⟨“𝐼”⟩ ∪ ran ⟨“𝐽”⟩))
8	6, 7	mp1i 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ran (⟨“𝐼”⟩ ++ ⟨“𝐽”⟩) = (ran ⟨“𝐼”⟩ ∪ ran ⟨“𝐽”⟩))
9		s2rn.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
10		s1rn 14759	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → ran ⟨“𝐼”⟩ = {𝐼})
11	9, 10	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐼”⟩ = {𝐼})
12		s2rn.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
13		s1rn 14759	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐷 → ran ⟨“𝐽”⟩ = {𝐽})
14	12, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐽”⟩ = {𝐽})
15	11, 14	uneq12d 4171	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ran ⟨“𝐼”⟩ ∪ ran ⟨“𝐽”⟩) = ({𝐼} ∪ {𝐽}))
16		df-pr 4591	. . 3 ⊢ {𝐼, 𝐽} = ({𝐼} ∪ {𝐽})
17	15, 16	eqtr4di 2816	. 2 ⊢ (𝜑 → (ran ⟨“𝐼”⟩ ∪ ran ⟨“𝐽”⟩) = {𝐼, 𝐽})
18	3, 8, 17	3eqtrd 2802	1 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {𝐼, 𝐽})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  Vcvv 3454   ∪ cun 4152  {csn 4588  {cpr 4590  ran crn 5656  (class class class)co 7430  Word cword 14671   ++ cconcat 14728  ⟨“cs1 14755  ⟨“cs2 15006

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-er 8731  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-card 10033  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-n0 12620  df-z 12707  df-uz 12979  df-fz 13653  df-fzo 13802  df-hash 14488  df-word 14672  df-concat 14729  df-s1 14756  df-s2 15013

This theorem is used by:  s3rn  15132  cycpm2tr  33736  cycpmco2  33750  cyc2fvx  33751  cyc3co2  33757  cyc3conja  33774