Theorem s2rn 14929

Description: Range of a length 2 string. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.) (Proof shortened by AV, 1-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
s2rn.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
s2rn.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
s2rn	⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {𝐼, 𝐽})

Proof of Theorem s2rn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s2 14814	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐼𝐽”⟩ = (⟨“𝐼”⟩ ++ ⟨“𝐽”⟩)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩ = (⟨“𝐼”⟩ ++ ⟨“𝐽”⟩))
3	2	rneqd 5902	. 2 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽”⟩ = ran (⟨“𝐼”⟩ ++ ⟨“𝐽”⟩))
4		s1cli 14570	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word V
5		s1cli 14570	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐽”⟩ ∈ Word V
6	4, 5	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (⟨“𝐼”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“𝐽”⟩ ∈ Word V)
7		ccatrn 14554	. . 3 ⊢ ((⟨“𝐼”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“𝐽”⟩ ∈ Word V) → ran (⟨“𝐼”⟩ ++ ⟨“𝐽”⟩) = (ran ⟨“𝐼”⟩ ∪ ran ⟨“𝐽”⟩))
8	6, 7	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝜑 → ran (⟨“𝐼”⟩ ++ ⟨“𝐽”⟩) = (ran ⟨“𝐼”⟩ ∪ ran ⟨“𝐽”⟩))
9		s2rn.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
10		s1rn 14564	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → ran ⟨“𝐼”⟩ = {𝐼})
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐼”⟩ = {𝐼})
12		s2rn.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
13		s1rn 14564	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐷 → ran ⟨“𝐽”⟩ = {𝐽})
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐽”⟩ = {𝐽})
15	11, 14	uneq12d 4132	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ran ⟨“𝐼”⟩ ∪ ran ⟨“𝐽”⟩) = ({𝐼} ∪ {𝐽}))
16		df-pr 4592	. . 3 ⊢ {𝐼, 𝐽} = ({𝐼} ∪ {𝐽})
17	15, 16	eqtr4di 2782	. 2 ⊢ (𝜑 → (ran ⟨“𝐼”⟩ ∪ ran ⟨“𝐽”⟩) = {𝐼, 𝐽})
18	3, 8, 17	3eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {𝐼, 𝐽})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   ∪ cun 3912  {csn 4589  {cpr 4591  ran crn 5639  (class class class)co 7387  Word cword 14478   ++ cconcat 14535  ⟨“cs1 14560  ⟨“cs2 14807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-hash 14296  df-word 14479  df-concat 14536  df-s1 14561  df-s2 14814

This theorem is referenced by:  s3rn  14930  cycpm2tr  33076  cycpmco2  33090  cyc2fvx  33091  cyc3co2  33097  cyc3conja  33114