Theorem s2rn 31120

Description: Range of a length 2 string. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
s2rn.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
s2rn.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
s2rn	⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {𝐼, 𝐽})

Proof of Theorem s2rn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imadmrn 5968	. 2 ⊢ (⟨“𝐼𝐽”⟩ “ dom ⟨“𝐼𝐽”⟩) = ran ⟨“𝐼𝐽”⟩
2		s2rn.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
3		s2rn.j	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
4	2, 3	s2cld 14512	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩ ∈ Word 𝐷)
5		wrdfn 14159	. . . . . 6 ⊢ (⟨“𝐼𝐽”⟩ ∈ Word 𝐷 → ⟨“𝐼𝐽”⟩ Fn (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩)))
6		s2len 14530	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩) = 2
7	6	oveq2i 7266	. . . . . . . . 9 ⊢ (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩)) = (0..^2)
8		fzo0to2pr 13400	. . . . . . . . 9 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
9	7, 8	eqtri 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩)) = {0, 1}
10	9	fneq2i 6515	. . . . . . 7 ⊢ (⟨“𝐼𝐽”⟩ Fn (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩)) ↔ ⟨“𝐼𝐽”⟩ Fn {0, 1})
11	10	biimpi 215	. . . . . 6 ⊢ (⟨“𝐼𝐽”⟩ Fn (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩)) → ⟨“𝐼𝐽”⟩ Fn {0, 1})
12	4, 5, 11	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩ Fn {0, 1})
13	12	fndmd 6522	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {0, 1})
14	13	imaeq2d 5958	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩ “ dom ⟨“𝐼𝐽”⟩) = (⟨“𝐼𝐽”⟩ “ {0, 1}))
15		c0ex 10900	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
16	15	prid1 4695	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ {0, 1}
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ {0, 1})
18		1ex 10902	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
19	18	prid2 4696	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ {0, 1}
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ {0, 1})
21		fnimapr 6834	. . . 4 ⊢ ((⟨“𝐼𝐽”⟩ Fn {0, 1} ∧ 0 ∈ {0, 1} ∧ 1 ∈ {0, 1}) → (⟨“𝐼𝐽”⟩ “ {0, 1}) = {(⟨“𝐼𝐽”⟩‘0), (⟨“𝐼𝐽”⟩‘1)})
22	12, 17, 20, 21	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩ “ {0, 1}) = {(⟨“𝐼𝐽”⟩‘0), (⟨“𝐼𝐽”⟩‘1)})
23		s2fv0 14528	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → (⟨“𝐼𝐽”⟩‘0) = 𝐼)
24	2, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩‘0) = 𝐼)
25		s2fv1 14529	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐷 → (⟨“𝐼𝐽”⟩‘1) = 𝐽)
26	3, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩‘1) = 𝐽)
27	24, 26	preq12d 4674	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(⟨“𝐼𝐽”⟩‘0), (⟨“𝐼𝐽”⟩‘1)} = {𝐼, 𝐽})
28	14, 22, 27	3eqtrd 2782	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩ “ dom ⟨“𝐼𝐽”⟩) = {𝐼, 𝐽})
29	1, 28	eqtr3id 2793	1 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {𝐼, 𝐽})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {cpr 4560  dom cdm 5580  ran crn 5581   “ cima 5583   Fn wfn 6413  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  0cc0 10802  1c1 10803  2c2 11958  ..^cfzo 13311  ♯chash 13972  Word cword 14145  ⟨“cs2 14482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-hash 13973  df-word 14146  df-concat 14202  df-s1 14229  df-s2 14489

This theorem is referenced by:  cycpm2tr  31288  cycpmco2  31302  cyc2fvx  31303  cyc3co2  31309  cyc3conja  31326