Theorem s2rn 14999

Description: Range of a length 2 string. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.) (Proof shortened by AV, 1-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
s2rn.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
s2rn.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
s2rn	⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {𝐼, 𝐽})

Proof of Theorem s2rn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s2 14884	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐼𝐽”⟩ = (⟨“𝐼”⟩ ++ ⟨“𝐽”⟩)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩ = (⟨“𝐼”⟩ ++ ⟨“𝐽”⟩))
3	2	rneqd 5929	. 2 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽”⟩ = ran (⟨“𝐼”⟩ ++ ⟨“𝐽”⟩))
4		s1cli 14642	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word V
5		s1cli 14642	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐽”⟩ ∈ Word V
6	4, 5	pm3.2i 475	. . 3 ⊢ (⟨“𝐼”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“𝐽”⟩ ∈ Word V)
7		ccatrn 14626	. . 3 ⊢ ((⟨“𝐼”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“𝐽”⟩ ∈ Word V) → ran (⟨“𝐼”⟩ ++ ⟨“𝐽”⟩) = (ran ⟨“𝐼”⟩ ∪ ran ⟨“𝐽”⟩))
8	6, 7	mp1i 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ran (⟨“𝐼”⟩ ++ ⟨“𝐽”⟩) = (ran ⟨“𝐼”⟩ ∪ ran ⟨“𝐽”⟩))
9		s2rn.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
10		s1rn 14636	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → ran ⟨“𝐼”⟩ = {𝐼})
11	9, 10	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐼”⟩ = {𝐼})
12		s2rn.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
13		s1rn 14636	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐷 → ran ⟨“𝐽”⟩ = {𝐽})
14	12, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐽”⟩ = {𝐽})
15	11, 14	uneq12d 4131	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ran ⟨“𝐼”⟩ ∪ ran ⟨“𝐽”⟩) = ({𝐼} ∪ {𝐽}))
16		df-pr 4597	. . 3 ⊢ {𝐼, 𝐽} = ({𝐼} ∪ {𝐽})
17	15, 16	eqtr4di 2822	. 2 ⊢ (𝜑 → (ran ⟨“𝐼”⟩ ∪ ran ⟨“𝐽”⟩) = {𝐼, 𝐽})
18	3, 8, 17	3eqtrd 2808	1 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {𝐼, 𝐽})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   ∪ cun 3911  {csn 4594  {cpr 4596  ran crn 5663  (class class class)co 7411  Word cword 14549   ++ cconcat 14606  ⟨“cs1 14632  ⟨“cs2 14877

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-hash 14366  df-word 14550  df-concat 14607  df-s1 14633  df-s2 14884

This theorem is referenced by:  s3rn  15000  cycpm2tr  33379  cycpmco2  33393  cyc2fvx  33394  cyc3co2  33400  cyc3conja  33417