Theorem s1dm 14584

Description: The domain of a singleton word is a singleton. (Contributed by AV, 9-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
s1dm	⊢ dom ⟨“𝐴”⟩ = {0}

Proof of Theorem s1dm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1cli 14581	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word V
2		wrdf 14495	. . . 4 ⊢ (⟨“𝐴”⟩ ∈ Word V → ⟨“𝐴”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴”⟩))⟶V)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ⟨“𝐴”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴”⟩))⟶V
4		s1len 14582	. . . . . 6 ⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1
5		oveq2 7422	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1 → (0..^(♯‘⟨“𝐴”⟩)) = (0..^1))
6		fzo01 13740	. . . . . . 7 ⊢ (0..^1) = {0}
7	5, 6	eqtrdi 2784	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1 → (0..^(♯‘⟨“𝐴”⟩)) = {0})
8	4, 7	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0..^(♯‘⟨“𝐴”⟩)) = {0}
9	8	eqcomi 2737	. . . 4 ⊢ {0} = (0..^(♯‘⟨“𝐴”⟩))
10	9	feq2i 6708	. . 3 ⊢ (⟨“𝐴”⟩:{0}⟶V ↔ ⟨“𝐴”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴”⟩))⟶V)
11	3, 10	mpbir 230	. 2 ⊢ ⟨“𝐴”⟩:{0}⟶V
12	11	fdmi 6728	1 ⊢ dom ⟨“𝐴”⟩ = {0}

Syntax hints:   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3470  {csn 4624  dom cdm 5672  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11132  1c1 11133  ..^cfzo 13653  ♯chash 14315  Word cword 14490  ⟨“cs1 14571

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-hash 14316  df-word 14491  df-s1 14572

This theorem is referenced by:  wlk2v2elem1  29958  s1f1  32660