MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  s1dm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem s1dm 13603
Description: The domain of a singleton word is a singleton. (Contributed by AV, 9-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
s1dm dom ⟨“𝐴”⟩ = {0}

Proof of Theorem s1dm
StepHypRef Expression
1 s1cli 13600 . . . 4 ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word V
2 wrdf 13521 . . . 4 (⟨“𝐴”⟩ ∈ Word V → ⟨“𝐴”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴”⟩))⟶V)
31, 2ax-mp 5 . . 3 ⟨“𝐴”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴”⟩))⟶V
4 s1len 13601 . . . . . 6 (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1
5 oveq2 6882 . . . . . . 7 ((♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1 → (0..^(♯‘⟨“𝐴”⟩)) = (0..^1))
6 fzo01 12774 . . . . . . 7 (0..^1) = {0}
75, 6syl6eq 2856 . . . . . 6 ((♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1 → (0..^(♯‘⟨“𝐴”⟩)) = {0})
84, 7ax-mp 5 . . . . 5 (0..^(♯‘⟨“𝐴”⟩)) = {0}
98eqcomi 2815 . . . 4 {0} = (0..^(♯‘⟨“𝐴”⟩))
109feq2i 6248 . . 3 (⟨“𝐴”⟩:{0}⟶V ↔ ⟨“𝐴”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴”⟩))⟶V)
113, 10mpbir 222 . 2 ⟨“𝐴”⟩:{0}⟶V
1211fdmi 6266 1 dom ⟨“𝐴”⟩ = {0}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1637  wcel 2156  Vcvv 3391  {csn 4370  dom cdm 5311  wf 6097  cfv 6101  (class class class)co 6874  0cc0 10221  1c1 10222  ..^cfzo 12689  chash 13337  Word cword 13502  ⟨“cs1 13505
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179  ax-cnex 10277  ax-resscn 10278  ax-1cn 10279  ax-icn 10280  ax-addcl 10281  ax-addrcl 10282  ax-mulcl 10283  ax-mulrcl 10284  ax-mulcom 10285  ax-addass 10286  ax-mulass 10287  ax-distr 10288  ax-i2m1 10289  ax-1ne0 10290  ax-1rid 10291  ax-rnegex 10292  ax-rrecex 10293  ax-cnre 10294  ax-pre-lttri 10295  ax-pre-lttrn 10296  ax-pre-ltadd 10297  ax-pre-mulgt0 10298
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6835  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-om 7296  df-1st 7398  df-2nd 7399  df-wrecs 7642  df-recs 7704  df-rdg 7742  df-1o 7796  df-er 7979  df-en 8193  df-dom 8194  df-sdom 8195  df-fin 8196  df-card 9048  df-pnf 10361  df-mnf 10362  df-xr 10363  df-ltxr 10364  df-le 10365  df-sub 10553  df-neg 10554  df-nn 11306  df-n0 11560  df-z 11644  df-uz 11905  df-fz 12550  df-fzo 12690  df-hash 13338  df-word 13510  df-s1 13513
This theorem is referenced by:  wlk2v2elem1  27328
  Copyright terms: Public domain W3C validator