Theorem simpgnsgbid 20075

Description: A nontrivial group is simple if and only if its normal subgroups are exactly the group itself and the trivial subgroup. (Contributed by Rohan Ridenour, 4-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
simpgnsgbid.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
simpgnsgbid.2	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
simpgnsgbid.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
simpgnsgbid.4	⊢ (𝜑 → ¬ { 0 } = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
simpgnsgbid	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ SimpGrp ↔ (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }, 𝐵}))

Proof of Theorem simpgnsgbid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpgnsgbid.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		simpgnsgbid.2	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ SimpGrp) → 𝐺 ∈ SimpGrp)
4	1, 2, 3	simpgnsgd 20072	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ SimpGrp) → (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }, 𝐵})
5		simpgnsgbid.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }, 𝐵}) → 𝐺 ∈ Grp)
7		simpgnsgbid.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ { 0 } = 𝐵)
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }, 𝐵}) → ¬ { 0 } = 𝐵)
9		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
10		simplr 769	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }, 𝐵})
11	9, 10	eleqtrd 2839	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵})
12		elpri 4592	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵} → (𝑥 = { 0 } ∨ 𝑥 = 𝐵))
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (𝑥 = { 0 } ∨ 𝑥 = 𝐵))
14	1, 2, 6, 8, 13	2nsgsimpgd 20074	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }, 𝐵}) → 𝐺 ∈ SimpGrp)
15	4, 14	impbida 801	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ SimpGrp ↔ (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }, 𝐵}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {csn 4568  {cpr 4570  ‘cfv 6494  Basecbs 17174  0_gc0g 17397  Grpcgrp 18904  NrmSGrpcnsg 19092  SimpGrpcsimpg 20062

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-0g 17399  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18747  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-subg 19094  df-nsg 19095  df-simpg 20063

This theorem is referenced by: (None)