Theorem simpgnsgbid 20077

Description: A nontrivial group is simple if and only if its normal subgroups are exactly the group itself and the trivial subgroup. (Contributed by Rohan Ridenour, 4-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
simpgnsgbid.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
simpgnsgbid.2	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
simpgnsgbid.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
simpgnsgbid.4	⊢ (𝜑 → ¬ { 0 } = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
simpgnsgbid	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ SimpGrp ↔ (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }, 𝐵}))

Proof of Theorem simpgnsgbid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpgnsgbid.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		simpgnsgbid.2	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		simpr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ SimpGrp) → 𝐺 ∈ SimpGrp)
4	1, 2, 3	simpgnsgd 20074	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ SimpGrp) → (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }, 𝐵})
5		simpgnsgbid.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
6	5	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }, 𝐵}) → 𝐺 ∈ Grp)
7		simpgnsgbid.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ { 0 } = 𝐵)
8	7	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }, 𝐵}) → ¬ { 0 } = 𝐵)
9		simpr 483	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
10		simplr 767	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }, 𝐵})
11	9, 10	eleqtrd 2827	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵})
12		elpri 4653	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵} → (𝑥 = { 0 } ∨ 𝑥 = 𝐵))
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (𝑥 = { 0 } ∨ 𝑥 = 𝐵))
14	1, 2, 6, 8, 13	2nsgsimpgd 20076	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }, 𝐵}) → 𝐺 ∈ SimpGrp)
15	4, 14	impbida 799	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ SimpGrp ↔ (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }, 𝐵}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {csn 4630  {cpr 4632  ‘cfv 6549  Basecbs 17188  0_gc0g 17429  Grpcgrp 18903  NrmSGrpcnsg 19089  SimpGrpcsimpg 20064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-nn 12251  df-2 12313  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17189  df-ress 17218  df-plusg 17254  df-0g 17431  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18749  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-sbg 18908  df-subg 19091  df-nsg 19092  df-simpg 20065

This theorem is referenced by: (None)