MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  simpgnsgbid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem simpgnsgbid 19696
Description: A nontrivial group is simple if and only if its normal subgroups are exactly the group itself and the trivial subgroup. (Contributed by Rohan Ridenour, 4-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
simpgnsgbid.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
simpgnsgbid.2 0 = (0g𝐺)
simpgnsgbid.3 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
simpgnsgbid.4 (𝜑 → ¬ { 0 } = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
simpgnsgbid (𝜑 → (𝐺 ∈ SimpGrp ↔ (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }, 𝐵}))

Proof of Theorem simpgnsgbid
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpgnsgbid.1 . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 simpgnsgbid.2 . . 3 0 = (0g𝐺)
3 simpr 485 . . 3 ((𝜑𝐺 ∈ SimpGrp) → 𝐺 ∈ SimpGrp)
41, 2, 3simpgnsgd 19693 . 2 ((𝜑𝐺 ∈ SimpGrp) → (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }, 𝐵})
5 simpgnsgbid.3 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
65adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }, 𝐵}) → 𝐺 ∈ Grp)
7 simpgnsgbid.4 . . . 4 (𝜑 → ¬ { 0 } = 𝐵)
87adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }, 𝐵}) → ¬ { 0 } = 𝐵)
9 simpr 485 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
10 simplr 766 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }, 𝐵})
119, 10eleqtrd 2843 . . . 4 (((𝜑 ∧ (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵})
12 elpri 4589 . . . 4 (𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵} → (𝑥 = { 0 } ∨ 𝑥 = 𝐵))
1311, 12syl 17 . . 3 (((𝜑 ∧ (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (𝑥 = { 0 } ∨ 𝑥 = 𝐵))
141, 2, 6, 8, 132nsgsimpgd 19695 . 2 ((𝜑 ∧ (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }, 𝐵}) → 𝐺 ∈ SimpGrp)
154, 14impbida 798 1 (𝜑 → (𝐺 ∈ SimpGrp ↔ (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }, 𝐵}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 844   = wceq 1542  wcel 2110  {csn 4567  {cpr 4569  cfv 6431  Basecbs 16902  0gc0g 17140  Grpcgrp 18567  NrmSGrpcnsg 18740  SimpGrpcsimpg 19683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10920  ax-resscn 10921  ax-1cn 10922  ax-icn 10923  ax-addcl 10924  ax-addrcl 10925  ax-mulcl 10926  ax-mulrcl 10927  ax-mulcom 10928  ax-addass 10929  ax-mulass 10930  ax-distr 10931  ax-i2m1 10932  ax-1ne0 10933  ax-1rid 10934  ax-rnegex 10935  ax-rrecex 10936  ax-cnre 10937  ax-pre-lttri 10938  ax-pre-lttrn 10939  ax-pre-ltadd 10940  ax-pre-mulgt0 10941
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7702  df-1st 7818  df-2nd 7819  df-frecs 8082  df-wrecs 8113  df-recs 8187  df-rdg 8226  df-1o 8282  df-2o 8283  df-er 8473  df-en 8709  df-dom 8710  df-sdom 8711  df-fin 8712  df-pnf 11004  df-mnf 11005  df-xr 11006  df-ltxr 11007  df-le 11008  df-sub 11199  df-neg 11200  df-nn 11966  df-2 12028  df-sets 16855  df-slot 16873  df-ndx 16885  df-base 16903  df-ress 16932  df-plusg 16965  df-0g 17142  df-mgm 18316  df-sgrp 18365  df-mnd 18376  df-grp 18570  df-minusg 18571  df-sbg 18572  df-subg 18742  df-nsg 18743  df-simpg 19684
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator