Theorem simpgnsgbid 19621

Description: A nontrivial group is simple if and only if its normal subgroups are exactly the group itself and the trivial subgroup. (Contributed by Rohan Ridenour, 4-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
simpgnsgbid.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
simpgnsgbid.2	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
simpgnsgbid.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
simpgnsgbid.4	⊢ (𝜑 → ¬ { 0 } = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
simpgnsgbid	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ SimpGrp ↔ (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }, 𝐵}))

Proof of Theorem simpgnsgbid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpgnsgbid.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		simpgnsgbid.2	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ SimpGrp) → 𝐺 ∈ SimpGrp)
4	1, 2, 3	simpgnsgd 19618	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ SimpGrp) → (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }, 𝐵})
5		simpgnsgbid.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }, 𝐵}) → 𝐺 ∈ Grp)
7		simpgnsgbid.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ { 0 } = 𝐵)
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }, 𝐵}) → ¬ { 0 } = 𝐵)
9		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
10		simplr 765	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }, 𝐵})
11	9, 10	eleqtrd 2841	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵})
12		elpri 4580	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵} → (𝑥 = { 0 } ∨ 𝑥 = 𝐵))
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (𝑥 = { 0 } ∨ 𝑥 = 𝐵))
14	1, 2, 6, 8, 13	2nsgsimpgd 19620	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }, 𝐵}) → 𝐺 ∈ SimpGrp)
15	4, 14	impbida 797	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ SimpGrp ↔ (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }, 𝐵}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {csn 4558  {cpr 4560  ‘cfv 6418  Basecbs 16840  0_gc0g 17067  Grpcgrp 18492  NrmSGrpcnsg 18665  SimpGrpcsimpg 19608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-subg 18667  df-nsg 18668  df-simpg 19609

This theorem is referenced by: (None)