Theorem ablsimpnosubgd 20052

Description: A subgroup of an abelian simple group containing a nonidentity element is the whole group. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsimpnosubgd.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablsimpnosubgd.2	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
ablsimpnosubgd.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablsimpnosubgd.4	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)
ablsimpnosubgd.5	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
ablsimpnosubgd.6	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
ablsimpnosubgd.7	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 0 )

Assertion

Ref	Expression
ablsimpnosubgd	⊢ (𝜑 → 𝑆 = 𝐵)

Proof of Theorem ablsimpnosubgd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablsimpnosubgd.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 0 )
2		elsni 4599	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ { 0 } → 𝐴 = 0 )
3	1, 2	nsyl 140	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ { 0 })
4		ablsimpnosubgd.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
5		eleq2 2826	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = { 0 } → (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ 𝐴 ∈ { 0 }))
6	4, 5	syl5ibcom 245	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 = { 0 } → 𝐴 ∈ { 0 }))
7	3, 6	mtod 198	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 = { 0 })
8	7	pm2.21d 121	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 = { 0 } → 𝑆 = 𝐵))
9		idd 24	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 = 𝐵 → 𝑆 = 𝐵))
10		ablsimpnosubgd.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
11		ablsimpnosubgd.2	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
12		ablsimpnosubgd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)
13		ablsimpnosubgd.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
14		ablsimpnosubgd.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
15		ablnsg 19793	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → (NrmSGrp‘𝐺) = (SubGrp‘𝐺))
16	15	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → (SubGrp‘𝐺) = (NrmSGrp‘𝐺))
17	14, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (SubGrp‘𝐺) = (NrmSGrp‘𝐺))
18	13, 17	eleqtrd 2839	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
19	10, 11, 12, 18	simpgnsgeqd 20049	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 = { 0 } ∨ 𝑆 = 𝐵))
20	8, 9, 19	mpjaod 861	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {csn 4582  ‘cfv 6502  Basecbs 17150  0_gc0g 17373  SubGrpcsubg 19067  NrmSGrpcnsg 19068  Abelcabl 19727  SimpGrpcsimpg 20038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-2o 8410  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-2 12222  df-sets 17105  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-ress 17172  df-plusg 17204  df-0g 17375  df-mgm 18579  df-sgrp 18658  df-mnd 18674  df-submnd 18723  df-grp 18883  df-minusg 18884  df-sbg 18885  df-subg 19070  df-nsg 19071  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-simpg 20039

This theorem is referenced by:  ablsimpg1gend  20053