Theorem ablsimpnosubgd 20087

Description: A subgroup of an abelian simple group containing a nonidentity element is the whole group. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsimpnosubgd.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablsimpnosubgd.2	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
ablsimpnosubgd.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablsimpnosubgd.4	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)
ablsimpnosubgd.5	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
ablsimpnosubgd.6	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
ablsimpnosubgd.7	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 0 )

Assertion

Ref	Expression
ablsimpnosubgd	⊢ (𝜑 → 𝑆 = 𝐵)

Proof of Theorem ablsimpnosubgd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablsimpnosubgd.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 0 )
2		elsni 4618	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ { 0 } → 𝐴 = 0 )
3	1, 2	nsyl 140	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ { 0 })
4		ablsimpnosubgd.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
5		eleq2 2823	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = { 0 } → (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ 𝐴 ∈ { 0 }))
6	4, 5	syl5ibcom 245	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 = { 0 } → 𝐴 ∈ { 0 }))
7	3, 6	mtod 198	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 = { 0 })
8	7	pm2.21d 121	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 = { 0 } → 𝑆 = 𝐵))
9		idd 24	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 = 𝐵 → 𝑆 = 𝐵))
10		ablsimpnosubgd.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
11		ablsimpnosubgd.2	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
12		ablsimpnosubgd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)
13		ablsimpnosubgd.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
14		ablsimpnosubgd.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
15		ablnsg 19828	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → (NrmSGrp‘𝐺) = (SubGrp‘𝐺))
16	15	eqcomd 2741	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → (SubGrp‘𝐺) = (NrmSGrp‘𝐺))
17	14, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (SubGrp‘𝐺) = (NrmSGrp‘𝐺))
18	13, 17	eleqtrd 2836	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
19	10, 11, 12, 18	simpgnsgeqd 20084	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 = { 0 } ∨ 𝑆 = 𝐵))
20	8, 9, 19	mpjaod 860	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {csn 4601  ‘cfv 6531  Basecbs 17228  0_gc0g 17453  SubGrpcsubg 19103  NrmSGrpcnsg 19104  Abelcabl 19762  SimpGrpcsimpg 20073

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-0g 17455  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-submnd 18762  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-subg 19106  df-nsg 19107  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-simpg 20074

This theorem is referenced by:  ablsimpg1gend  20088