Theorem ablsimpnosubgd 20148

Description: A subgroup of an abelian simple group containing a nonidentity element is the whole group. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsimpnosubgd.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablsimpnosubgd.2	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
ablsimpnosubgd.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablsimpnosubgd.4	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)
ablsimpnosubgd.5	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
ablsimpnosubgd.6	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
ablsimpnosubgd.7	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 0 )

Assertion

Ref	Expression
ablsimpnosubgd	⊢ (𝜑 → 𝑆 = 𝐵)

Proof of Theorem ablsimpnosubgd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablsimpnosubgd.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 0 )
2		elsni 4665	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ { 0 } → 𝐴 = 0 )
3	1, 2	nsyl 140	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ { 0 })
4		ablsimpnosubgd.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
5		eleq2 2833	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = { 0 } → (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ 𝐴 ∈ { 0 }))
6	4, 5	syl5ibcom 245	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 = { 0 } → 𝐴 ∈ { 0 }))
7	3, 6	mtod 198	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 = { 0 })
8	7	pm2.21d 121	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 = { 0 } → 𝑆 = 𝐵))
9		idd 24	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 = 𝐵 → 𝑆 = 𝐵))
10		ablsimpnosubgd.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
11		ablsimpnosubgd.2	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
12		ablsimpnosubgd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)
13		ablsimpnosubgd.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
14		ablsimpnosubgd.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
15		ablnsg 19889	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → (NrmSGrp‘𝐺) = (SubGrp‘𝐺))
16	15	eqcomd 2746	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → (SubGrp‘𝐺) = (NrmSGrp‘𝐺))
17	14, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (SubGrp‘𝐺) = (NrmSGrp‘𝐺))
18	13, 17	eleqtrd 2846	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
19	10, 11, 12, 18	simpgnsgeqd 20145	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 = { 0 } ∨ 𝑆 = 𝐵))
20	8, 9, 19	mpjaod 859	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {csn 4648  ‘cfv 6573  Basecbs 17258  0_gc0g 17499  SubGrpcsubg 19160  NrmSGrpcnsg 19161  Abelcabl 19823  SimpGrpcsimpg 20134

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-subg 19163  df-nsg 19164  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-simpg 20135

This theorem is referenced by:  ablsimpg1gend  20149