Theorem ablsimpnosubgd 20175

Description: A subgroup of an abelian simple group containing a nonidentity element is the whole group. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsimpnosubgd.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablsimpnosubgd.2	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
ablsimpnosubgd.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablsimpnosubgd.4	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)
ablsimpnosubgd.5	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
ablsimpnosubgd.6	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
ablsimpnosubgd.7	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 0 )

Assertion

Ref	Expression
ablsimpnosubgd	⊢ (𝜑 → 𝑆 = 𝐵)

Proof of Theorem ablsimpnosubgd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablsimpnosubgd.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 0 )
2		elsni 4605	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ { 0 } → 𝐴 = 0 )
3	1, 2	nsyl 141	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ { 0 })
4		ablsimpnosubgd.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
5		eleq2 2850	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = { 0 } → (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ 𝐴 ∈ { 0 }))
6	4, 5	syl5ibcom 248	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 = { 0 } → 𝐴 ∈ { 0 }))
7	3, 6	mtod 201	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 = { 0 })
8	7	pm2.21d 122	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 = { 0 } → 𝑆 = 𝐵))
9		idd 25	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 = 𝐵 → 𝑆 = 𝐵))
10		ablsimpnosubgd.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
11		ablsimpnosubgd.2	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
12		ablsimpnosubgd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)
13		ablsimpnosubgd.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
14		ablsimpnosubgd.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
15		ablnsg 19916	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → (NrmSGrp‘𝐺) = (SubGrp‘𝐺))
16	15	eqcomd 2767	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → (SubGrp‘𝐺) = (NrmSGrp‘𝐺))
17	14, 16	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (SubGrp‘𝐺) = (NrmSGrp‘𝐺))
18	13, 17	eleqtrd 2863	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
19	10, 11, 12, 18	simpgnsgeqd 20172	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 = { 0 } ∨ 𝑆 = 𝐵))
20	8, 9, 19	mpjaod 873	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  {csn 4588  ‘cfv 6536  Basecbs 17268  0_gc0g 17491  SubGrpcsubg 19185  NrmSGrpcnsg 19186  Abelcabl 19850  SimpGrpcsimpg 20161

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-0g 17493  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-submnd 18841  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-sbg 19004  df-subg 19188  df-nsg 19189  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-simpg 20162

This theorem is referenced by:  ablsimpg1gend  20176