Theorem ablsimpnosubgd 20075

Description: A subgroup of an abelian simple group containing a nonidentity element is the whole group. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsimpnosubgd.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablsimpnosubgd.2	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
ablsimpnosubgd.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablsimpnosubgd.4	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)
ablsimpnosubgd.5	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
ablsimpnosubgd.6	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
ablsimpnosubgd.7	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 0 )

Assertion

Ref	Expression
ablsimpnosubgd	⊢ (𝜑 → 𝑆 = 𝐵)

Proof of Theorem ablsimpnosubgd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablsimpnosubgd.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 0 )
2		elsni 4574	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ { 0 } → 𝐴 = 0 )
3	1, 2	nsyl 140	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ { 0 })
4		ablsimpnosubgd.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
5		eleq2 2830	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = { 0 } → (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ 𝐴 ∈ { 0 }))
6	4, 5	syl5ibcom 247	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 = { 0 } → 𝐴 ∈ { 0 }))
7	3, 6	mtod 200	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 = { 0 })
8	7	pm2.21d 121	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 = { 0 } → 𝑆 = 𝐵))
9		idd 24	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 = 𝐵 → 𝑆 = 𝐵))
10		ablsimpnosubgd.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
11		ablsimpnosubgd.2	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
12		ablsimpnosubgd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)
13		ablsimpnosubgd.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
14		ablsimpnosubgd.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
15		ablnsg 19816	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → (NrmSGrp‘𝐺) = (SubGrp‘𝐺))
16	15	eqcomd 2747	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → (SubGrp‘𝐺) = (NrmSGrp‘𝐺))
17	14, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (SubGrp‘𝐺) = (NrmSGrp‘𝐺))
18	13, 17	eleqtrd 2843	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
19	10, 11, 12, 18	simpgnsgeqd 20072	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 = { 0 } ∨ 𝑆 = 𝐵))
20	8, 9, 19	mpjaod 867	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  {csn 4557  ‘cfv 6488  Basecbs 17174  0_gc0g 17397  SubGrpcsubg 19091  NrmSGrpcnsg 19092  Abelcabl 19750  SimpGrpcsimpg 20061

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-nn 12170  df-2 12239  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-0g 17399  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18747  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-subg 19094  df-nsg 19095  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-simpg 20062

This theorem is referenced by:  ablsimpg1gend  20076