Theorem simpgnsgeqd 20124

Description: A normal subgroup of a simple group is either the whole group or the trivial subgroup. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
simpgnsgeqd.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
simpgnsgeqd.2	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
simpgnsgeqd.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)
simpgnsgeqd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
simpgnsgeqd	⊢ (𝜑 → (𝐴 = { 0 } ∨ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem simpgnsgeqd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpgnsgeqd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
2		simpgnsgeqd.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		simpgnsgeqd.2	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4		simpgnsgeqd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)
5	2, 3, 4	simpgnsgd 20123	. . 3 ⊢ (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }, 𝐵})
6	1, 5	eleqtrd 2863	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ {{ 0 }, 𝐵})
7		elpri 4605	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ {{ 0 }, 𝐵} → (𝐴 = { 0 } ∨ 𝐴 = 𝐵))
8	6, 7	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = { 0 } ∨ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 858   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  {csn 4581  {cpr 4583  ‘cfv 6515  Basecbs 17226  0_gc0g 17449  NrmSGrpcnsg 19144  SimpGrpcsimpg 20113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7712  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-2o 8431  df-er 8671  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-pnf 11213  df-mnf 11214  df-xr 11215  df-ltxr 11216  df-le 11217  df-sub 11411  df-neg 11412  df-nn 12206  df-2 12275  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-ress 17248  df-plusg 17280  df-0g 17451  df-mgm 18655  df-sgrp 18734  df-mnd 18750  df-submnd 18799  df-grp 18959  df-minusg 18960  df-sbg 18961  df-subg 19146  df-nsg 19147  df-simpg 20114

This theorem is referenced by:  ablsimpnosubgd  20127  ablsimpgprmd  20138  simpcntrab  47397