Theorem simpgnsgeqd 20008

Description: A normal subgroup of a simple group is either the whole group or the trivial subgroup. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
simpgnsgeqd.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
simpgnsgeqd.2	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
simpgnsgeqd.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)
simpgnsgeqd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
simpgnsgeqd	⊢ (𝜑 → (𝐴 = { 0 } ∨ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem simpgnsgeqd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpgnsgeqd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
2		simpgnsgeqd.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		simpgnsgeqd.2	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4		simpgnsgeqd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)
5	2, 3, 4	simpgnsgd 20007	. . 3 ⊢ (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }, 𝐵})
6	1, 5	eleqtrd 2831	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ {{ 0 }, 𝐵})
7		elpri 4598	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ {{ 0 }, 𝐵} → (𝐴 = { 0 } ∨ 𝐴 = 𝐵))
8	6, 7	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = { 0 } ∨ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  {csn 4574  {cpr 4576  ‘cfv 6477  Basecbs 17112  0_gc0g 17335  NrmSGrpcnsg 19026  SimpGrpcsimpg 19997

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-nn 12118  df-2 12180  df-sets 17067  df-slot 17085  df-ndx 17097  df-base 17113  df-ress 17134  df-plusg 17166  df-0g 17337  df-mgm 18540  df-sgrp 18619  df-mnd 18635  df-submnd 18684  df-grp 18841  df-minusg 18842  df-sbg 18843  df-subg 19028  df-nsg 19029  df-simpg 19998

This theorem is referenced by:  ablsimpnosubgd  20011  ablsimpgprmd  20022  simpcntrab  46887