Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfpimltxrmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfpimltxrmpt 43874
Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of an open interval unbounded below is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfpimltxrmpt.x 𝑥𝜑
smfpimltxrmpt.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfpimltxrmpt.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
smfpimltxrmpt.f (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimltxrmpt.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
smfpimltxrmpt (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∈ (𝑆t 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑅
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem smfpimltxrmpt
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfmpt1 5138 . . . . . 6 𝑥(𝑥𝐴𝐵)
21nfdm 5804 . . . . 5 𝑥dom (𝑥𝐴𝐵)
3 nfcv 2900 . . . . 5 𝑦dom (𝑥𝐴𝐵)
4 nfv 1921 . . . . 5 𝑦((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑅
5 nfcv 2900 . . . . . . 7 𝑥𝑦
61, 5nffv 6697 . . . . . 6 𝑥((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦)
7 nfcv 2900 . . . . . 6 𝑥 <
8 nfcv 2900 . . . . . 6 𝑥𝑅
96, 7, 8nfbr 5087 . . . . 5 𝑥((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦) < 𝑅
10 fveq2 6687 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦))
1110breq1d 5050 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑅 ↔ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦) < 𝑅))
122, 3, 4, 9, 11cbvrabw 3392 . . . 4 {𝑥 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑅} = {𝑦 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦) < 𝑅}
1312a1i 11 . . 3 (𝜑 → {𝑥 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑅} = {𝑦 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦) < 𝑅})
14 nfcv 2900 . . . 4 𝑦(𝑥𝐴𝐵)
15 smfpimltxrmpt.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
16 smfpimltxrmpt.f . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
17 eqid 2739 . . . 4 dom (𝑥𝐴𝐵) = dom (𝑥𝐴𝐵)
18 smfpimltxrmpt.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
1914, 15, 16, 17, 18smfpimltxr 43863 . . 3 (𝜑 → {𝑦 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦) < 𝑅} ∈ (𝑆t dom (𝑥𝐴𝐵)))
2013, 19eqeltrd 2834 . 2 (𝜑 → {𝑥 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑅} ∈ (𝑆t dom (𝑥𝐴𝐵)))
21 smfpimltxrmpt.x . . . . . 6 𝑥𝜑
22 eqid 2739 . . . . . 6 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
23 smfpimltxrmpt.b . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
2421, 22, 23dmmptdf 42342 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
25 nfcv 2900 . . . . . 6 𝑥𝐴
262, 25rabeqf 3383 . . . . 5 (dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴 → {𝑥 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑅} = {𝑥𝐴 ∣ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑅})
2724, 26syl 17 . . . 4 (𝜑 → {𝑥 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑅} = {𝑥𝐴 ∣ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑅})
2822a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵))
2928, 23fvmpt2d 6801 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
3029breq1d 5050 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑅𝐵 < 𝑅))
3121, 30rabbida 3376 . . . 4 (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑅} = {𝑥𝐴𝐵 < 𝑅})
32 eqidd 2740 . . . 4 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} = {𝑥𝐴𝐵 < 𝑅})
3327, 31, 323eqtrrd 2779 . . 3 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} = {𝑥 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑅})
3424eqcomd 2745 . . . 4 (𝜑𝐴 = dom (𝑥𝐴𝐵))
3534oveq2d 7199 . . 3 (𝜑 → (𝑆t 𝐴) = (𝑆t dom (𝑥𝐴𝐵)))
3633, 35eleq12d 2828 . 2 (𝜑 → ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∈ (𝑆t 𝐴) ↔ {𝑥 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑅} ∈ (𝑆t dom (𝑥𝐴𝐵))))
3720, 36mpbird 260 1 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∈ (𝑆t 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wnf 1790  wcel 2114  {crab 3058   class class class wbr 5040  cmpt 5120  dom cdm 5535  cfv 6350  (class class class)co 7183  *cxr 10765   < clt 10766  t crest 16810  SAlgcsalg 43432  SMblFncsmblfn 43816
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492  ax-inf2 9190  ax-cc 9948  ax-ac2 9976  ax-cnex 10684  ax-resscn 10685  ax-1cn 10686  ax-icn 10687  ax-addcl 10688  ax-addrcl 10689  ax-mulcl 10690  ax-mulrcl 10691  ax-mulcom 10692  ax-addass 10693  ax-mulass 10694  ax-distr 10695  ax-i2m1 10696  ax-1ne0 10697  ax-1rid 10698  ax-rnegex 10699  ax-rrecex 10700  ax-cnre 10701  ax-pre-lttri 10702  ax-pre-lttrn 10703  ax-pre-ltadd 10704  ax-pre-mulgt0 10705
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-se 5494  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6186  df-on 6187  df-lim 6188  df-suc 6189  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7140  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-om 7613  df-1st 7727  df-2nd 7728  df-wrecs 7989  df-recs 8050  df-rdg 8088  df-1o 8144  df-er 8333  df-map 8452  df-pm 8453  df-en 8569  df-dom 8570  df-sdom 8571  df-fin 8572  df-card 9454  df-acn 9457  df-ac 9629  df-pnf 10768  df-mnf 10769  df-xr 10770  df-ltxr 10771  df-le 10772  df-sub 10963  df-neg 10964  df-nn 11730  df-n0 11990  df-z 12076  df-uz 12338  df-ioo 12838  df-ico 12840  df-rest 16812  df-salg 43433  df-smblfn 43817
This theorem is referenced by:  smfpimioompt  43900
  Copyright terms: Public domain W3C validator