Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfpimltxrmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfpimltxrmpt 41607
Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of an open interval unbounded below is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfpimltxrmpt.x 𝑥𝜑
smfpimltxrmpt.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfpimltxrmpt.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
smfpimltxrmpt.f (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimltxrmpt.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
smfpimltxrmpt (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∈ (𝑆t 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑅
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem smfpimltxrmpt
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfmpt1 4906 . . . . . 6 𝑥(𝑥𝐴𝐵)
21nfdm 5536 . . . . 5 𝑥dom (𝑥𝐴𝐵)
3 nfcv 2907 . . . . 5 𝑦dom (𝑥𝐴𝐵)
4 nfv 2009 . . . . 5 𝑦((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑅
5 nfcv 2907 . . . . . . 7 𝑥𝑦
61, 5nffv 6385 . . . . . 6 𝑥((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦)
7 nfcv 2907 . . . . . 6 𝑥 <
8 nfcv 2907 . . . . . 6 𝑥𝑅
96, 7, 8nfbr 4856 . . . . 5 𝑥((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦) < 𝑅
10 fveq2 6375 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦))
1110breq1d 4819 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑅 ↔ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦) < 𝑅))
122, 3, 4, 9, 11cbvrab 3347 . . . 4 {𝑥 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑅} = {𝑦 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦) < 𝑅}
1312a1i 11 . . 3 (𝜑 → {𝑥 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑅} = {𝑦 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦) < 𝑅})
14 nfcv 2907 . . . 4 𝑦(𝑥𝐴𝐵)
15 smfpimltxrmpt.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
16 smfpimltxrmpt.f . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
17 eqid 2765 . . . 4 dom (𝑥𝐴𝐵) = dom (𝑥𝐴𝐵)
18 smfpimltxrmpt.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
1914, 15, 16, 17, 18smfpimltxr 41596 . . 3 (𝜑 → {𝑦 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦) < 𝑅} ∈ (𝑆t dom (𝑥𝐴𝐵)))
2013, 19eqeltrd 2844 . 2 (𝜑 → {𝑥 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑅} ∈ (𝑆t dom (𝑥𝐴𝐵)))
21 smfpimltxrmpt.x . . . . . 6 𝑥𝜑
22 eqid 2765 . . . . . 6 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
23 smfpimltxrmpt.b . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
2421, 22, 23dmmptdf 40062 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
25 nfcv 2907 . . . . . 6 𝑥𝐴
262, 25rabeqf 3339 . . . . 5 (dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴 → {𝑥 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑅} = {𝑥𝐴 ∣ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑅})
2724, 26syl 17 . . . 4 (𝜑 → {𝑥 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑅} = {𝑥𝐴 ∣ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑅})
2822a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵))
2928, 23fvmpt2d 6482 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
3029breq1d 4819 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑅𝐵 < 𝑅))
3121, 30rabbida 39925 . . . 4 (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑅} = {𝑥𝐴𝐵 < 𝑅})
32 eqidd 2766 . . . 4 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} = {𝑥𝐴𝐵 < 𝑅})
3327, 31, 323eqtrrd 2804 . . 3 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} = {𝑥 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑅})
3424eqcomd 2771 . . . 4 (𝜑𝐴 = dom (𝑥𝐴𝐵))
3534oveq2d 6858 . . 3 (𝜑 → (𝑆t 𝐴) = (𝑆t dom (𝑥𝐴𝐵)))
3633, 35eleq12d 2838 . 2 (𝜑 → ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∈ (𝑆t 𝐴) ↔ {𝑥 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑅} ∈ (𝑆t dom (𝑥𝐴𝐵))))
3720, 36mpbird 248 1 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∈ (𝑆t 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wnf 1878  wcel 2155  {crab 3059   class class class wbr 4809  cmpt 4888  dom cdm 5277  cfv 6068  (class class class)co 6842  *cxr 10327   < clt 10328  t crest 16347  SAlgcsalg 41165  SMblFncsmblfn 41549
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cc 9510  ax-ac2 9538  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-card 9016  df-acn 9019  df-ac 9190  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-ioo 12381  df-ico 12383  df-rest 16349  df-salg 41166  df-smblfn 41550
This theorem is referenced by:  smfpimioompt  41633
  Copyright terms: Public domain W3C validator