Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfpimltxrmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfpimltxrmpt 42901
Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of an open interval unbounded below is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfpimltxrmpt.x 𝑥𝜑
smfpimltxrmpt.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfpimltxrmpt.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
smfpimltxrmpt.f (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimltxrmpt.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
smfpimltxrmpt (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∈ (𝑆t 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑅
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem smfpimltxrmpt
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfmpt1 5161 . . . . . 6 𝑥(𝑥𝐴𝐵)
21nfdm 5822 . . . . 5 𝑥dom (𝑥𝐴𝐵)
3 nfcv 2982 . . . . 5 𝑦dom (𝑥𝐴𝐵)
4 nfv 1908 . . . . 5 𝑦((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑅
5 nfcv 2982 . . . . . . 7 𝑥𝑦
61, 5nffv 6677 . . . . . 6 𝑥((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦)
7 nfcv 2982 . . . . . 6 𝑥 <
8 nfcv 2982 . . . . . 6 𝑥𝑅
96, 7, 8nfbr 5110 . . . . 5 𝑥((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦) < 𝑅
10 fveq2 6667 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦))
1110breq1d 5073 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑅 ↔ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦) < 𝑅))
122, 3, 4, 9, 11cbvrab 3496 . . . 4 {𝑥 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑅} = {𝑦 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦) < 𝑅}
1312a1i 11 . . 3 (𝜑 → {𝑥 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑅} = {𝑦 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦) < 𝑅})
14 nfcv 2982 . . . 4 𝑦(𝑥𝐴𝐵)
15 smfpimltxrmpt.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
16 smfpimltxrmpt.f . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
17 eqid 2826 . . . 4 dom (𝑥𝐴𝐵) = dom (𝑥𝐴𝐵)
18 smfpimltxrmpt.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
1914, 15, 16, 17, 18smfpimltxr 42890 . . 3 (𝜑 → {𝑦 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦) < 𝑅} ∈ (𝑆t dom (𝑥𝐴𝐵)))
2013, 19eqeltrd 2918 . 2 (𝜑 → {𝑥 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑅} ∈ (𝑆t dom (𝑥𝐴𝐵)))
21 smfpimltxrmpt.x . . . . . 6 𝑥𝜑
22 eqid 2826 . . . . . 6 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
23 smfpimltxrmpt.b . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
2421, 22, 23dmmptdf 41353 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
25 nfcv 2982 . . . . . 6 𝑥𝐴
262, 25rabeqf 3487 . . . . 5 (dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴 → {𝑥 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑅} = {𝑥𝐴 ∣ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑅})
2724, 26syl 17 . . . 4 (𝜑 → {𝑥 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑅} = {𝑥𝐴 ∣ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑅})
2822a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵))
2928, 23fvmpt2d 6777 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
3029breq1d 5073 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑅𝐵 < 𝑅))
3121, 30rabbida 3480 . . . 4 (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑅} = {𝑥𝐴𝐵 < 𝑅})
32 eqidd 2827 . . . 4 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} = {𝑥𝐴𝐵 < 𝑅})
3327, 31, 323eqtrrd 2866 . . 3 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} = {𝑥 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑅})
3424eqcomd 2832 . . . 4 (𝜑𝐴 = dom (𝑥𝐴𝐵))
3534oveq2d 7164 . . 3 (𝜑 → (𝑆t 𝐴) = (𝑆t dom (𝑥𝐴𝐵)))
3633, 35eleq12d 2912 . 2 (𝜑 → ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∈ (𝑆t 𝐴) ↔ {𝑥 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑅} ∈ (𝑆t dom (𝑥𝐴𝐵))))
3720, 36mpbird 258 1 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∈ (𝑆t 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wnf 1777  wcel 2107  {crab 3147   class class class wbr 5063  cmpt 5143  dom cdm 5554  cfv 6352  (class class class)co 7148  *cxr 10663   < clt 10664  t crest 16684  SAlgcsalg 42459  SMblFncsmblfn 42843
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-inf2 9093  ax-cc 9846  ax-ac2 9874  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-card 9357  df-acn 9360  df-ac 9531  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-ioo 12732  df-ico 12734  df-rest 16686  df-salg 42460  df-smblfn 42844
This theorem is referenced by:  smfpimioompt  42927
  Copyright terms: Public domain W3C validator