Theorem sq1 14157

Description: The square of 1 is 1. (Contributed by NM, 22-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
sq1	⊢ (1↑2) = 1

Proof of Theorem sq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12559	. 2 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		1exp 14053	. 2 ⊢ (2 ∈ ℤ → (1↑2) = 1)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (1↑2) = 1

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  1c1 11039  2c2 12236  ℤcz 12524  ↑cexp 14023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-seq 13964  df-exp 14024

This theorem is referenced by:  neg1sqe1  14158  binom21  14181  binom2sub1  14183  sq01  14187  01sqrexlem1  15204  sqrt1  15233  sinbnd  16147  cosbnd  16148  cos1bnd  16154  cos2bnd  16155  cos01gt0  16158  sqnprm  16672  numdensq  16724  zsqrtelqelz  16728  prmreclem1  16887  prmreclem2  16888  4sqlem13  16928  4sqlem19  16934  odadd  19825  abvneg  20803  gzrngunitlem  21412  gzrngunit  21413  zringunit  21446  sinhalfpilem  26427  cos2pi  26440  tangtx  26469  coskpi  26487  tanregt0  26503  efif1olem3  26508  root1id  26718  root1cj  26720  isosctrlem2  26783  asin1  26858  efiatan2  26881  bndatandm  26893  atans2  26895  wilthlem1  27031  dchrinv  27224  sum2dchr  27237  lgslem1  27260  lgsne0  27298  lgssq  27300  lgssq2  27301  1lgs  27303  lgs1  27304  lgsdinn0  27308  lgsquad2lem2  27348  lgsquad3  27350  2lgsoddprmlem3a  27373  2sqlem9  27390  2sqlem10  27391  2sqlem11  27392  2sqblem  27394  2sqb  27395  2sq2  27396  addsqn2reu  27404  addsqrexnreu  27405  addsq2nreurex  27407  mulog2sumlem2  27498  pntlemb  27560  axlowdimlem16  29026  ex-pr  30500  normlem1  31181  kbpj  32027  hstnmoc  32294  hstle1  32297  hst1h  32298  hstle  32301  strlem3a  32323  strlem4  32325  strlem5  32326  jplem1  32339  iconstr  33910  cos9thpiminplylem1  33926  cos9thpinconstrlem1  33933  dvasin  38025  dvacos  38026  areacirclem1  38029  areacirc  38034  cntotbnd  38117  3cubeslem1  43116  3cubeslem2  43117  3cubeslem3r  43119  pell1qrge1  43298  pell1qr1  43299  pell1qrgaplem  43301  pell14qrgapw  43304  pellqrex  43307  rmspecnonsq  43335  rmspecfund  43337  rmspecpos  43344  sqrtcval  44068  stoweidlem1  46429  wallispi2lem2  46500  stirlinglem10  46511  sin5tlem2  47322  lighneallem2  48069  onetansqsecsq  50236  cotsqcscsq  50237