Theorem sq1 14231

Description: The square of 1 is 1. (Contributed by NM, 22-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
sq1	⊢ (1↑2) = 1

Proof of Theorem sq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12647	. 2 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		1exp 14129	. 2 ⊢ (2 ∈ ℤ → (1↑2) = 1)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (1↑2) = 1

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7431  1c1 11154  2c2 12319  ℤcz 12611  ↑cexp 14099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-seq 14040  df-exp 14100

This theorem is referenced by:  neg1sqe1  14232  binom21  14255  binom2sub1  14257  sq01  14261  01sqrexlem1  15278  sqrt1  15307  sinbnd  16213  cosbnd  16214  cos1bnd  16220  cos2bnd  16221  cos01gt0  16224  sqnprm  16736  numdensq  16788  zsqrtelqelz  16792  prmreclem1  16950  prmreclem2  16951  4sqlem13  16991  4sqlem19  16997  odadd  19883  abvneg  20844  gzrngunitlem  21468  gzrngunit  21469  zringunit  21495  sinhalfpilem  26520  cos2pi  26533  tangtx  26562  coskpi  26580  tanregt0  26596  efif1olem3  26601  root1id  26812  root1cj  26814  isosctrlem2  26877  asin1  26952  efiatan2  26975  bndatandm  26987  atans2  26989  wilthlem1  27126  dchrinv  27320  sum2dchr  27333  lgslem1  27356  lgsne0  27394  lgssq  27396  lgssq2  27397  1lgs  27399  lgs1  27400  lgsdinn0  27404  lgsquad2lem2  27444  lgsquad3  27446  2lgsoddprmlem3a  27469  2sqlem9  27486  2sqlem10  27487  2sqlem11  27488  2sqblem  27490  2sqb  27491  2sq2  27492  addsqn2reu  27500  addsqrexnreu  27501  addsq2nreurex  27503  mulog2sumlem2  27594  pntlemb  27656  axlowdimlem16  28987  ex-pr  30459  normlem1  31139  kbpj  31985  hstnmoc  32252  hstle1  32255  hst1h  32256  hstle  32259  strlem3a  32281  strlem4  32283  strlem5  32284  jplem1  32297  dvasin  37691  dvacos  37692  areacirclem1  37695  areacirc  37700  cntotbnd  37783  3cubeslem1  42672  3cubeslem2  42673  3cubeslem3r  42675  pell1qrge1  42858  pell1qr1  42859  pell1qrgaplem  42861  pell14qrgapw  42864  pellqrex  42867  rmspecnonsq  42895  rmspecfund  42897  rmspecpos  42905  sqrtcval  43631  stoweidlem1  45957  wallispi2lem2  46028  stirlinglem10  46039  lighneallem2  47531  onetansqsecsq  48992  cotsqcscsq  48993