Theorem expnass 14170

Description: A counterexample showing that exponentiation is not associative. (Contributed by Stefan Allan and Gérard Lang, 21-Sep-2010.)

Assertion

Ref	Expression
expnass	⊢ ((3↑3)↑3) < (3↑(3↑3))

Proof of Theorem expnass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3cn 12291	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℂ
2		3nn0 12488	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3		expmul 14071	. . 3 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → (3↑(3 · 3)) = ((3↑3)↑3))
4	1, 2, 2, 3	mp3an 1457	. 2 ⊢ (3↑(3 · 3)) = ((3↑3)↑3)
5		3re 12290	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℝ
6	2, 2	nn0mulcli 12508	. . . 4 ⊢ (3 · 3) ∈ ℕ0
7	6	nn0zi 12585	. . 3 ⊢ (3 · 3) ∈ ℤ
8	2, 2	nn0expcli 14052	. . . 4 ⊢ (3↑3) ∈ ℕ0
9	8	nn0zi 12585	. . 3 ⊢ (3↑3) ∈ ℤ
10		1lt3 12383	. . . 4 ⊢ 1 < 3
11	1	sqvali 14142	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = (3 · 3)
12		2z 12592	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
13		3z 12593	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
14		2lt3 12382	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 3
15		ltexp2a 14129	. . . . . . 7 ⊢ (((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) ∧ (1 < 3 ∧ 2 < 3)) → (3↑2) < (3↑3))
16	10, 14, 15	mpanr12 702	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3↑2) < (3↑3))
17	5, 12, 13, 16	mp3an 1457	. . . . 5 ⊢ (3↑2) < (3↑3)
18	11, 17	eqbrtrri 5162	. . . 4 ⊢ (3 · 3) < (3↑3)
19		ltexp2a 14129	. . . 4 ⊢ (((3 ∈ ℝ ∧ (3 · 3) ∈ ℤ ∧ (3↑3) ∈ ℤ) ∧ (1 < 3 ∧ (3 · 3) < (3↑3))) → (3↑(3 · 3)) < (3↑(3↑3)))
20	10, 18, 19	mpanr12 702	. . 3 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ (3 · 3) ∈ ℤ ∧ (3↑3) ∈ ℤ) → (3↑(3 · 3)) < (3↑(3↑3)))
21	5, 7, 9, 20	mp3an 1457	. 2 ⊢ (3↑(3 · 3)) < (3↑(3↑3))
22	4, 21	eqbrtrri 5162	1 ⊢ ((3↑3)↑3) < (3↑(3↑3))

Syntax hints:   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5139  (class class class)co 7402  ℂcc 11105  ℝcr 11106  1c1 11108   · cmul 11112   < clt 11246  2c2 12265  3c3 12266  ℕ₀cn0 12470  ℤcz 12556  ↑cexp 14025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-rp 12973  df-seq 13965  df-exp 14026

This theorem is referenced by: (None)