MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expnass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expnass 14211
Description: A counterexample showing that exponentiation is not associative. (Contributed by Stefan Allan and Gérard Lang, 21-Sep-2010.)
Assertion
Ref Expression
expnass ((3↑3)↑3) < (3↑(3↑3))

Proof of Theorem expnass
StepHypRef Expression
1 3cn 12331 . . 3 3 ∈ ℂ
2 3nn0 12528 . . 3 3 ∈ ℕ0
3 expmul 14112 . . 3 ((3 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → (3↑(3 · 3)) = ((3↑3)↑3))
41, 2, 2, 3mp3an 1457 . 2 (3↑(3 · 3)) = ((3↑3)↑3)
5 3re 12330 . . 3 3 ∈ ℝ
62, 2nn0mulcli 12548 . . . 4 (3 · 3) ∈ ℕ0
76nn0zi 12625 . . 3 (3 · 3) ∈ ℤ
82, 2nn0expcli 14093 . . . 4 (3↑3) ∈ ℕ0
98nn0zi 12625 . . 3 (3↑3) ∈ ℤ
10 1lt3 12423 . . . 4 1 < 3
111sqvali 14183 . . . . 5 (3↑2) = (3 · 3)
12 2z 12632 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
13 3z 12633 . . . . . 6 3 ∈ ℤ
14 2lt3 12422 . . . . . . 7 2 < 3
15 ltexp2a 14170 . . . . . . 7 (((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) ∧ (1 < 3 ∧ 2 < 3)) → (3↑2) < (3↑3))
1610, 14, 15mpanr12 703 . . . . . 6 ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3↑2) < (3↑3))
175, 12, 13, 16mp3an 1457 . . . . 5 (3↑2) < (3↑3)
1811, 17eqbrtrri 5175 . . . 4 (3 · 3) < (3↑3)
19 ltexp2a 14170 . . . 4 (((3 ∈ ℝ ∧ (3 · 3) ∈ ℤ ∧ (3↑3) ∈ ℤ) ∧ (1 < 3 ∧ (3 · 3) < (3↑3))) → (3↑(3 · 3)) < (3↑(3↑3)))
2010, 18, 19mpanr12 703 . . 3 ((3 ∈ ℝ ∧ (3 · 3) ∈ ℤ ∧ (3↑3) ∈ ℤ) → (3↑(3 · 3)) < (3↑(3↑3)))
215, 7, 9, 20mp3an 1457 . 2 (3↑(3 · 3)) < (3↑(3↑3))
224, 21eqbrtrri 5175 1 ((3↑3)↑3) < (3↑(3↑3))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098   class class class wbr 5152  (class class class)co 7426  cc 11144  cr 11145  1c1 11147   · cmul 11151   < clt 11286  2c2 12305  3c3 12306  0cn0 12510  cz 12596  cexp 14066
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-seq 14007  df-exp 14067
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator