MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expnass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expnass 14244
Description: A counterexample showing that exponentiation is not associative. (Contributed by Stefan Allan and Gérard Lang, 21-Sep-2010.)
Assertion
Ref Expression
expnass ((3↑3)↑3) < (3↑(3↑3))

Proof of Theorem expnass
StepHypRef Expression
1 3cn 12345 . . 3 3 ∈ ℂ
2 3nn0 12542 . . 3 3 ∈ ℕ0
3 expmul 14145 . . 3 ((3 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → (3↑(3 · 3)) = ((3↑3)↑3))
41, 2, 2, 3mp3an 1460 . 2 (3↑(3 · 3)) = ((3↑3)↑3)
5 3re 12344 . . 3 3 ∈ ℝ
62, 2nn0mulcli 12562 . . . 4 (3 · 3) ∈ ℕ0
76nn0zi 12640 . . 3 (3 · 3) ∈ ℤ
82, 2nn0expcli 14126 . . . 4 (3↑3) ∈ ℕ0
98nn0zi 12640 . . 3 (3↑3) ∈ ℤ
10 1lt3 12437 . . . 4 1 < 3
111sqvali 14216 . . . . 5 (3↑2) = (3 · 3)
12 2z 12647 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
13 3z 12648 . . . . . 6 3 ∈ ℤ
14 2lt3 12436 . . . . . . 7 2 < 3
15 ltexp2a 14203 . . . . . . 7 (((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) ∧ (1 < 3 ∧ 2 < 3)) → (3↑2) < (3↑3))
1610, 14, 15mpanr12 705 . . . . . 6 ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3↑2) < (3↑3))
175, 12, 13, 16mp3an 1460 . . . . 5 (3↑2) < (3↑3)
1811, 17eqbrtrri 5171 . . . 4 (3 · 3) < (3↑3)
19 ltexp2a 14203 . . . 4 (((3 ∈ ℝ ∧ (3 · 3) ∈ ℤ ∧ (3↑3) ∈ ℤ) ∧ (1 < 3 ∧ (3 · 3) < (3↑3))) → (3↑(3 · 3)) < (3↑(3↑3)))
2010, 18, 19mpanr12 705 . . 3 ((3 ∈ ℝ ∧ (3 · 3) ∈ ℤ ∧ (3↑3) ∈ ℤ) → (3↑(3 · 3)) < (3↑(3↑3)))
215, 7, 9, 20mp3an 1460 . 2 (3↑(3 · 3)) < (3↑(3↑3))
224, 21eqbrtrri 5171 1 ((3↑3)↑3) < (3↑(3↑3))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  1c1 11154   · cmul 11158   < clt 11293  2c2 12319  3c3 12320  0cn0 12524  cz 12611  cexp 14099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-seq 14040  df-exp 14100
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator