Theorem expnass 13223

Description: A counterexample showing that exponentiation is not associative. (Contributed by Stefan Allan and Gérard Lang, 21-Sep-2010.)

Assertion

Ref	Expression
expnass	⊢ ((3↑3)↑3) < (3↑(3↑3))

Proof of Theorem expnass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3cn 11393	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℂ
2		3nn0 11599	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3		expmul 13158	. . 3 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → (3↑(3 · 3)) = ((3↑3)↑3))
4	1, 2, 2, 3	mp3an 1586	. 2 ⊢ (3↑(3 · 3)) = ((3↑3)↑3)
5		3re 11392	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℝ
6	2, 2	nn0mulcli 11619	. . . 4 ⊢ (3 · 3) ∈ ℕ0
7	6	nn0zi 11691	. . 3 ⊢ (3 · 3) ∈ ℤ
8	2, 2	nn0expcli 13139	. . . 4 ⊢ (3↑3) ∈ ℕ0
9	8	nn0zi 11691	. . 3 ⊢ (3↑3) ∈ ℤ
10		1lt3 11492	. . . 4 ⊢ 1 < 3
11	1	sqvali 13196	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = (3 · 3)
12		2z 11698	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
13		3z 11699	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
14		2lt3 11491	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 3
15		ltexp2a 13165	. . . . . . 7 ⊢ (((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) ∧ (1 < 3 ∧ 2 < 3)) → (3↑2) < (3↑3))
16	10, 14, 15	mpanr12 697	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3↑2) < (3↑3))
17	5, 12, 13, 16	mp3an 1586	. . . . 5 ⊢ (3↑2) < (3↑3)
18	11, 17	eqbrtrri 4867	. . . 4 ⊢ (3 · 3) < (3↑3)
19		ltexp2a 13165	. . . 4 ⊢ (((3 ∈ ℝ ∧ (3 · 3) ∈ ℤ ∧ (3↑3) ∈ ℤ) ∧ (1 < 3 ∧ (3 · 3) < (3↑3))) → (3↑(3 · 3)) < (3↑(3↑3)))
20	10, 18, 19	mpanr12 697	. . 3 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ (3 · 3) ∈ ℤ ∧ (3↑3) ∈ ℤ) → (3↑(3 · 3)) < (3↑(3↑3)))
21	5, 7, 9, 20	mp3an 1586	. 2 ⊢ (3↑(3 · 3)) < (3↑(3↑3))
22	4, 21	eqbrtrri 4867	1 ⊢ ((3↑3)↑3) < (3↑(3↑3))

Syntax hints:   ∧ w3a 1108   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   class class class wbr 4844  (class class class)co 6879  ℂcc 10223  ℝcr 10224  1c1 10226   · cmul 10230   < clt 10364  2c2 11367  3c3 11368  ℕ₀cn0 11579  ℤcz 11665  ↑cexp 13113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-cnex 10281  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-icn 10284  ax-addcl 10285  ax-addrcl 10286  ax-mulcl 10287  ax-mulrcl 10288  ax-mulcom 10289  ax-addass 10290  ax-mulass 10291  ax-distr 10292  ax-i2m1 10293  ax-1ne0 10294  ax-1rid 10295  ax-rnegex 10296  ax-rrecex 10297  ax-cnre 10298  ax-pre-lttri 10299  ax-pre-lttrn 10300  ax-pre-ltadd 10301  ax-pre-mulgt0 10302

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-uni 4630  df-iun 4713  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-lim 5947  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-riota 6840  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-om 7301  df-2nd 7403  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-rdg 7746  df-er 7983  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-pnf 10366  df-mnf 10367  df-xr 10368  df-ltxr 10369  df-le 10370  df-sub 10559  df-neg 10560  df-div 10978  df-nn 11314  df-2 11375  df-3 11376  df-n0 11580  df-z 11666  df-uz 11930  df-rp 12074  df-seq 13055  df-exp 13114

This theorem is referenced by: (None)