Theorem expnass 13924

Description: A counterexample showing that exponentiation is not associative. (Contributed by Stefan Allan and Gérard Lang, 21-Sep-2010.)

Assertion

Ref	Expression
expnass	⊢ ((3↑3)↑3) < (3↑(3↑3))

Proof of Theorem expnass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3cn 12054	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℂ
2		3nn0 12251	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3		expmul 13828	. . 3 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → (3↑(3 · 3)) = ((3↑3)↑3))
4	1, 2, 2, 3	mp3an 1460	. 2 ⊢ (3↑(3 · 3)) = ((3↑3)↑3)
5		3re 12053	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℝ
6	2, 2	nn0mulcli 12271	. . . 4 ⊢ (3 · 3) ∈ ℕ0
7	6	nn0zi 12345	. . 3 ⊢ (3 · 3) ∈ ℤ
8	2, 2	nn0expcli 13809	. . . 4 ⊢ (3↑3) ∈ ℕ0
9	8	nn0zi 12345	. . 3 ⊢ (3↑3) ∈ ℤ
10		1lt3 12146	. . . 4 ⊢ 1 < 3
11	1	sqvali 13897	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = (3 · 3)
12		2z 12352	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
13		3z 12353	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
14		2lt3 12145	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 3
15		ltexp2a 13884	. . . . . . 7 ⊢ (((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) ∧ (1 < 3 ∧ 2 < 3)) → (3↑2) < (3↑3))
16	10, 14, 15	mpanr12 702	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3↑2) < (3↑3))
17	5, 12, 13, 16	mp3an 1460	. . . . 5 ⊢ (3↑2) < (3↑3)
18	11, 17	eqbrtrri 5097	. . . 4 ⊢ (3 · 3) < (3↑3)
19		ltexp2a 13884	. . . 4 ⊢ (((3 ∈ ℝ ∧ (3 · 3) ∈ ℤ ∧ (3↑3) ∈ ℤ) ∧ (1 < 3 ∧ (3 · 3) < (3↑3))) → (3↑(3 · 3)) < (3↑(3↑3)))
20	10, 18, 19	mpanr12 702	. . 3 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ (3 · 3) ∈ ℤ ∧ (3↑3) ∈ ℤ) → (3↑(3 · 3)) < (3↑(3↑3)))
21	5, 7, 9, 20	mp3an 1460	. 2 ⊢ (3↑(3 · 3)) < (3↑(3↑3))
22	4, 21	eqbrtrri 5097	1 ⊢ ((3↑3)↑3) < (3↑(3↑3))

Syntax hints:   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870  1c1 10872   · cmul 10876   < clt 11009  2c2 12028  3c3 12029  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ↑cexp 13782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-seq 13722  df-exp 13783

This theorem is referenced by: (None)