Theorem expnass 14362

Description: A counterexample showing that exponentiation is not associative. (Contributed by Stefan Allan and Gérard Lang, 21-Sep-2010.)

Assertion

Ref	Expression
expnass	⊢ ((3↑3)↑3) < (3↑(3↑3))

Proof of Theorem expnass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3cn 12434	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℂ
2		3nn0 12634	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3		expmul 14260	. . 3 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → (3↑(3 · 3)) = ((3↑3)↑3))
4	1, 2, 2, 3	mp3an 1490	. 2 ⊢ (3↑(3 · 3)) = ((3↑3)↑3)
5		3re 12433	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℝ
6	2, 2	nn0mulcli 12654	. . . 4 ⊢ (3 · 3) ∈ ℕ0
7	6	nn0zi 12731	. . 3 ⊢ (3 · 3) ∈ ℤ
8	2, 2	nn0expcli 14241	. . . 4 ⊢ (3↑3) ∈ ℕ0
9	8	nn0zi 12731	. . 3 ⊢ (3↑3) ∈ ℤ
10		1lt3 12528	. . . 4 ⊢ 1 < 3
11	1	sqvali 14333	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = (3 · 3)
12		2z 12738	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
13		3z 12739	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
14		2lt3 12526	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 3
15		ltexp2a 14319	. . . . . . 7 ⊢ (((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) ∧ (1 < 3 ∧ 2 < 3)) → (3↑2) < (3↑3))
16	10, 14, 15	mpanr12 718	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3↑2) < (3↑3))
17	5, 12, 13, 16	mp3an 1490	. . . . 5 ⊢ (3↑2) < (3↑3)
18	11, 17	eqbrtrri 5130	. . . 4 ⊢ (3 · 3) < (3↑3)
19		ltexp2a 14319	. . . 4 ⊢ (((3 ∈ ℝ ∧ (3 · 3) ∈ ℤ ∧ (3↑3) ∈ ℤ) ∧ (1 < 3 ∧ (3 · 3) < (3↑3))) → (3↑(3 · 3)) < (3↑(3↑3)))
20	10, 18, 19	mpanr12 718	. . 3 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ (3 · 3) ∈ ℤ ∧ (3↑3) ∈ ℤ) → (3↑(3 · 3)) < (3↑(3↑3)))
21	5, 7, 9, 20	mp3an 1490	. 2 ⊢ (3↑(3 · 3)) < (3↑(3↑3))
22	4, 21	eqbrtrri 5130	1 ⊢ ((3↑3)↑3) < (3↑(3↑3))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5105  (class class class)co 7427  ℂcc 11208  ℝcr 11209  1c1 11211   · cmul 11215   < clt 11353  2c2 12407  3c3 12408  ℕ₀cn0 12616  ℤcz 12703  ↑cexp 14214

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-div 11984  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-n0 12617  df-z 12704  df-uz 12976  df-rp 13131  df-seq 14155  df-exp 14215

This theorem is used by: (None)