MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expnass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expnass 14174
Description: A counterexample showing that exponentiation is not associative. (Contributed by Stefan Allan and Gérard Lang, 21-Sep-2010.)
Assertion
Ref Expression
expnass ((3↑3)↑3) < (3↑(3↑3))

Proof of Theorem expnass
StepHypRef Expression
1 3cn 12294 . . 3 3 ∈ ℂ
2 3nn0 12491 . . 3 3 ∈ ℕ0
3 expmul 14075 . . 3 ((3 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → (3↑(3 · 3)) = ((3↑3)↑3))
41, 2, 2, 3mp3an 1457 . 2 (3↑(3 · 3)) = ((3↑3)↑3)
5 3re 12293 . . 3 3 ∈ ℝ
62, 2nn0mulcli 12511 . . . 4 (3 · 3) ∈ ℕ0
76nn0zi 12588 . . 3 (3 · 3) ∈ ℤ
82, 2nn0expcli 14056 . . . 4 (3↑3) ∈ ℕ0
98nn0zi 12588 . . 3 (3↑3) ∈ ℤ
10 1lt3 12386 . . . 4 1 < 3
111sqvali 14146 . . . . 5 (3↑2) = (3 · 3)
12 2z 12595 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
13 3z 12596 . . . . . 6 3 ∈ ℤ
14 2lt3 12385 . . . . . . 7 2 < 3
15 ltexp2a 14133 . . . . . . 7 (((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) ∧ (1 < 3 ∧ 2 < 3)) → (3↑2) < (3↑3))
1610, 14, 15mpanr12 702 . . . . . 6 ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3↑2) < (3↑3))
175, 12, 13, 16mp3an 1457 . . . . 5 (3↑2) < (3↑3)
1811, 17eqbrtrri 5164 . . . 4 (3 · 3) < (3↑3)
19 ltexp2a 14133 . . . 4 (((3 ∈ ℝ ∧ (3 · 3) ∈ ℤ ∧ (3↑3) ∈ ℤ) ∧ (1 < 3 ∧ (3 · 3) < (3↑3))) → (3↑(3 · 3)) < (3↑(3↑3)))
2010, 18, 19mpanr12 702 . . 3 ((3 ∈ ℝ ∧ (3 · 3) ∈ ℤ ∧ (3↑3) ∈ ℤ) → (3↑(3 · 3)) < (3↑(3↑3)))
215, 7, 9, 20mp3an 1457 . 2 (3↑(3 · 3)) < (3↑(3↑3))
224, 21eqbrtrri 5164 1 ((3↑3)↑3) < (3↑(3↑3))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098   class class class wbr 5141  (class class class)co 7404  cc 11107  cr 11108  1c1 11110   · cmul 11114   < clt 11249  2c2 12268  3c3 12269  0cn0 12473  cz 12559  cexp 14029
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-seq 13970  df-exp 14030
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator