Theorem sqr0lem 14592

Description: Square root of zero. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
sqr0lem	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑2) = 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (i · 𝐴) ∉ ℝ+)) ↔ 𝐴 = 0)

Proof of Theorem sqr0lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqeq0 13482	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑2) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
2	1	biimpa 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 0) → 𝐴 = 0)
3	2	3ad2antr1 1185	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑2) = 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (i · 𝐴) ∉ ℝ+)) → 𝐴 = 0)
4		0re 10632	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		eleq1 2877	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 0 ∈ ℝ))
6	4, 5	mpbiri 261	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	recnd 10658	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → 𝐴 ∈ ℂ)
8		sq0i 13552	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑2) = 0)
9		0le0 11726	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 0
10		fveq2 6645	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (ℜ‘𝐴) = (ℜ‘0))
11		re0 14503	. . . . . 6 ⊢ (ℜ‘0) = 0
12	10, 11	eqtrdi 2849	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → (ℜ‘𝐴) = 0)
13	9, 12	breqtrrid 5068	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → 0 ≤ (ℜ‘𝐴))
14		rennim 14590	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (i · 𝐴) ∉ ℝ+)
15	6, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → (i · 𝐴) ∉ ℝ+)
16	8, 13, 15	3jca 1125	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴↑2) = 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (i · 𝐴) ∉ ℝ+))
17	7, 16	jca 515	. 2 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑2) = 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (i · 𝐴) ∉ ℝ+)))
18	3, 17	impbii 212	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑2) = 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (i · 𝐴) ∉ ℝ+)) ↔ 𝐴 = 0)

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∉ wnel 3091   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526  ici 10528   · cmul 10531   ≤ cle 10665  2c2 11680  ℝ⁺crp 12377  ↑cexp 13425  ℜcre 14448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452

This theorem is referenced by:  sqrt0  14593