Theorem srgpcompp 20475

Description: If two elements of a semiring commute, they also commute if the elements are raised to a higher power. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgpcomp.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
srgpcomp.m	⊢ × = (.r‘𝑅)
srgpcomp.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
srgpcomp.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
srgpcomp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
srgpcomp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
srgpcomp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
srgpcomp.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
srgpcomp.c	⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
srgpcompp.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
srgpcompp	⊢ (𝜑 → (((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) × 𝐴) = (((𝑁 + 1) ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)))

Proof of Theorem srgpcompp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgpcomp.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
2		srgpcomp.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
3		srgpcomp.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
4	2, 3	mgpbas 20395	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐺)
5		srgpcomp.e	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
6	2	srgmgp 20447	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝐺 ∈ Mnd)
7	1, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
8		srgpcompp.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
9		srgpcomp.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
10	4, 5, 7, 8, 9	mulgnn0cld 19334	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝐴) ∈ 𝑆)
11		srgpcomp.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
12		srgpcomp.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
13	4, 5, 7, 11, 12	mulgnn0cld 19334	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆)
14		srgpcomp.m	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑅)
15	3, 14	srgass 20450	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝑁 ↑ 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ (𝐾 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → (((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) × 𝐴) = ((𝑁 ↑ 𝐴) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴)))
16	1, 10, 13, 9, 15	syl13anc 1400	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) × 𝐴) = ((𝑁 ↑ 𝐴) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴)))
17		srgpcomp.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
18	3, 14, 2, 5, 1, 9, 12, 11, 17	srgpcomp 20474	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝐾 ↑ 𝐵)))
19	18	oveq2d 7459	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ↑ 𝐴) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐴 × (𝐾 ↑ 𝐵))))
20	3, 14	srgass 20450	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝑁 ↑ 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝐾 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆)) → (((𝑁 ↑ 𝐴) × 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐴 × (𝐾 ↑ 𝐵))))
21	1, 10, 9, 13, 20	syl13anc 1400	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 ↑ 𝐴) × 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐴 × (𝐾 ↑ 𝐵))))
22	19, 21	eqtr4d 2801	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ↑ 𝐴) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴)) = (((𝑁 ↑ 𝐴) × 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)))
23	2, 14	mgpplusg 20394	. . . . . 6 ⊢ × = (+g‘𝐺)
24	4, 5, 23	mulgnn0p1 19324	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ((𝑁 + 1) ↑ 𝐴) = ((𝑁 ↑ 𝐴) × 𝐴))
25	7, 8, 9, 24	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) ↑ 𝐴) = ((𝑁 ↑ 𝐴) × 𝐴))
26	25	eqcomd 2769	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ↑ 𝐴) × 𝐴) = ((𝑁 + 1) ↑ 𝐴))
27	26	oveq1d 7458	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 ↑ 𝐴) × 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) = (((𝑁 + 1) ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)))
28	16, 22, 27	3eqtrd 2802	1 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) × 𝐴) = (((𝑁 + 1) ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  1c1 11228   + caddc 11230  ℕ₀cn0 12633  Basecbs 17416  ._rcmulr 17458  Mndcmnd 18952  ._gcmg 19306  mulGrpcmgp 20390  SRingcsrg 20442

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-fz 13667  df-seq 14172  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-plusg 17470  df-0g 17641  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-mulg 19307  df-mgp 20391  df-ur 20438  df-srg 20443

This theorem is used by:  srgpcomppsc  20476