MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srgpcompp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem srgpcompp 19898
Description: If two elements of a semiring commute, they also commute if the elements are raised to a higher power. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srgpcomp.s 𝑆 = (Base‘𝑅)
srgpcomp.m × = (.r𝑅)
srgpcomp.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
srgpcomp.e = (.g𝐺)
srgpcomp.r (𝜑𝑅 ∈ SRing)
srgpcomp.a (𝜑𝐴𝑆)
srgpcomp.b (𝜑𝐵𝑆)
srgpcomp.k (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
srgpcomp.c (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
srgpcompp.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
srgpcompp (𝜑 → (((𝑁 𝐴) × (𝐾 𝐵)) × 𝐴) = (((𝑁 + 1) 𝐴) × (𝐾 𝐵)))

Proof of Theorem srgpcompp
StepHypRef Expression
1 srgpcomp.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ SRing)
2 srgpcomp.g . . . . 5 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
3 srgpcomp.s . . . . 5 𝑆 = (Base‘𝑅)
42, 3mgpbas 19855 . . . 4 𝑆 = (Base‘𝐺)
5 srgpcomp.e . . . 4 = (.g𝐺)
62srgmgp 19875 . . . . 5 (𝑅 ∈ SRing → 𝐺 ∈ Mnd)
71, 6syl 17 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
8 srgpcompp.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
9 srgpcomp.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑆)
104, 5, 7, 8, 9mulgnn0cld 18850 . . 3 (𝜑 → (𝑁 𝐴) ∈ 𝑆)
11 srgpcomp.k . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
12 srgpcomp.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑆)
134, 5, 7, 11, 12mulgnn0cld 18850 . . 3 (𝜑 → (𝐾 𝐵) ∈ 𝑆)
14 srgpcomp.m . . . 4 × = (.r𝑅)
153, 14srgass 19878 . . 3 ((𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝑁 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ (𝐾 𝐵) ∈ 𝑆𝐴𝑆)) → (((𝑁 𝐴) × (𝐾 𝐵)) × 𝐴) = ((𝑁 𝐴) × ((𝐾 𝐵) × 𝐴)))
161, 10, 13, 9, 15syl13anc 1372 . 2 (𝜑 → (((𝑁 𝐴) × (𝐾 𝐵)) × 𝐴) = ((𝑁 𝐴) × ((𝐾 𝐵) × 𝐴)))
17 srgpcomp.c . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
183, 14, 2, 5, 1, 9, 12, 11, 17srgpcomp 19897 . . . 4 (𝜑 → ((𝐾 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝐾 𝐵)))
1918oveq2d 7367 . . 3 (𝜑 → ((𝑁 𝐴) × ((𝐾 𝐵) × 𝐴)) = ((𝑁 𝐴) × (𝐴 × (𝐾 𝐵))))
203, 14srgass 19878 . . . 4 ((𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝑁 𝐴) ∈ 𝑆𝐴𝑆 ∧ (𝐾 𝐵) ∈ 𝑆)) → (((𝑁 𝐴) × 𝐴) × (𝐾 𝐵)) = ((𝑁 𝐴) × (𝐴 × (𝐾 𝐵))))
211, 10, 9, 13, 20syl13anc 1372 . . 3 (𝜑 → (((𝑁 𝐴) × 𝐴) × (𝐾 𝐵)) = ((𝑁 𝐴) × (𝐴 × (𝐾 𝐵))))
2219, 21eqtr4d 2779 . 2 (𝜑 → ((𝑁 𝐴) × ((𝐾 𝐵) × 𝐴)) = (((𝑁 𝐴) × 𝐴) × (𝐾 𝐵)))
232, 14mgpplusg 19853 . . . . . 6 × = (+g𝐺)
244, 5, 23mulgnn0p1 18840 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑆) → ((𝑁 + 1) 𝐴) = ((𝑁 𝐴) × 𝐴))
257, 8, 9, 24syl3anc 1371 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁 + 1) 𝐴) = ((𝑁 𝐴) × 𝐴))
2625eqcomd 2742 . . 3 (𝜑 → ((𝑁 𝐴) × 𝐴) = ((𝑁 + 1) 𝐴))
2726oveq1d 7366 . 2 (𝜑 → (((𝑁 𝐴) × 𝐴) × (𝐾 𝐵)) = (((𝑁 + 1) 𝐴) × (𝐾 𝐵)))
2816, 22, 273eqtrd 2780 1 (𝜑 → (((𝑁 𝐴) × (𝐾 𝐵)) × 𝐴) = (((𝑁 + 1) 𝐴) × (𝐾 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6493  (class class class)co 7351  1c1 11010   + caddc 11012  0cn0 12371  Basecbs 17037  .rcmulr 17088  Mndcmnd 18510  .gcmg 18825  mulGrpcmgp 19849  SRingcsrg 19870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-2 12174  df-n0 12372  df-z 12458  df-uz 12722  df-fz 13379  df-seq 13861  df-sets 16990  df-slot 17008  df-ndx 17020  df-base 17038  df-plusg 17100  df-0g 17277  df-mgm 18451  df-sgrp 18500  df-mnd 18511  df-mulg 18826  df-mgp 19850  df-ur 19867  df-srg 19871
This theorem is referenced by:  srgpcomppsc  19899
  Copyright terms: Public domain W3C validator