Theorem srgpcompp 20237

Description: If two elements of a semiring commute, they also commute if the elements are raised to a higher power. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgpcomp.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
srgpcomp.m	⊢ × = (.r‘𝑅)
srgpcomp.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
srgpcomp.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
srgpcomp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
srgpcomp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
srgpcomp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
srgpcomp.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
srgpcomp.c	⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
srgpcompp.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
srgpcompp	⊢ (𝜑 → (((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) × 𝐴) = (((𝑁 + 1) ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)))

Proof of Theorem srgpcompp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgpcomp.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
2		srgpcomp.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
3		srgpcomp.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
4	2, 3	mgpbas 20158	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐺)
5		srgpcomp.e	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
6	2	srgmgp 20209	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝐺 ∈ Mnd)
7	1, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
8		srgpcompp.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
9		srgpcomp.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
10	4, 5, 7, 8, 9	mulgnn0cld 19126	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝐴) ∈ 𝑆)
11		srgpcomp.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
12		srgpcomp.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
13	4, 5, 7, 11, 12	mulgnn0cld 19126	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆)
14		srgpcomp.m	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑅)
15	3, 14	srgass 20212	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝑁 ↑ 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ (𝐾 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → (((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) × 𝐴) = ((𝑁 ↑ 𝐴) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴)))
16	1, 10, 13, 9, 15	syl13anc 1371	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) × 𝐴) = ((𝑁 ↑ 𝐴) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴)))
17		srgpcomp.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
18	3, 14, 2, 5, 1, 9, 12, 11, 17	srgpcomp 20236	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝐾 ↑ 𝐵)))
19	18	oveq2d 7447	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ↑ 𝐴) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐴 × (𝐾 ↑ 𝐵))))
20	3, 14	srgass 20212	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝑁 ↑ 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝐾 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆)) → (((𝑁 ↑ 𝐴) × 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐴 × (𝐾 ↑ 𝐵))))
21	1, 10, 9, 13, 20	syl13anc 1371	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 ↑ 𝐴) × 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐴 × (𝐾 ↑ 𝐵))))
22	19, 21	eqtr4d 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ↑ 𝐴) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴)) = (((𝑁 ↑ 𝐴) × 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)))
23	2, 14	mgpplusg 20156	. . . . . 6 ⊢ × = (+g‘𝐺)
24	4, 5, 23	mulgnn0p1 19116	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ((𝑁 + 1) ↑ 𝐴) = ((𝑁 ↑ 𝐴) × 𝐴))
25	7, 8, 9, 24	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) ↑ 𝐴) = ((𝑁 ↑ 𝐴) × 𝐴))
26	25	eqcomd 2741	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ↑ 𝐴) × 𝐴) = ((𝑁 + 1) ↑ 𝐴))
27	26	oveq1d 7446	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 ↑ 𝐴) × 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) = (((𝑁 + 1) ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)))
28	16, 22, 27	3eqtrd 2779	1 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) × 𝐴) = (((𝑁 + 1) ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  1c1 11154   + caddc 11156  ℕ₀cn0 12524  Basecbs 17245  ._rcmulr 17299  Mndcmnd 18760  ._gcmg 19098  mulGrpcmgp 20152  SRingcsrg 20204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-seq 14040  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mulg 19099  df-mgp 20153  df-ur 20200  df-srg 20205

This theorem is referenced by:  srgpcomppsc  20238