Theorem srgpcomppsc 19951

Description: If two elements of a semiring commute, they also commute if the elements are raised to a higher power and a scalar multiplication is involved. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgpcomp.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
srgpcomp.m	⊢ × = (.r‘𝑅)
srgpcomp.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
srgpcomp.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
srgpcomp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
srgpcomp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
srgpcomp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
srgpcomp.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
srgpcomp.c	⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
srgpcompp.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
srgpcomppsc.t	⊢ · = (.g‘𝑅)
srgpcomppsc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
srgpcomppsc	⊢ (𝜑 → ((𝐶 · ((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵))) × 𝐴) = (𝐶 · (((𝑁 + 1) ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵))))

Proof of Theorem srgpcomppsc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgpcomp.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
2		srgpcomppsc.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)
3		srgpcomp.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
4		srgpcomp.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
5	3, 4	mgpbas 19902	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐺)
6		srgpcomp.e	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
7	3	srgmgp 19922	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝐺 ∈ Mnd)
8	1, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
9		srgpcompp.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
10		srgpcomp.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
11	5, 6, 8, 9, 10	mulgnn0cld 18897	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝐴) ∈ 𝑆)
12		srgpcomp.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
13		srgpcomp.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
14	5, 6, 8, 12, 13	mulgnn0cld 18897	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆)
15		srgpcomppsc.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (.g‘𝑅)
16		srgpcomp.m	. . . . . . 7 ⊢ × = (.r‘𝑅)
17	4, 15, 16	srgmulgass 19948	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ↑ 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ (𝐾 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆)) → ((𝐶 · (𝑁 ↑ 𝐴)) × (𝐾 ↑ 𝐵)) = (𝐶 · ((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵))))
18	17	eqcomd 2742	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ↑ 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ (𝐾 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆)) → (𝐶 · ((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵))) = ((𝐶 · (𝑁 ↑ 𝐴)) × (𝐾 ↑ 𝐵)))
19	1, 2, 11, 14, 18	syl13anc 1372	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · ((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵))) = ((𝐶 · (𝑁 ↑ 𝐴)) × (𝐾 ↑ 𝐵)))
20	19	oveq1d 7372	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · ((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵))) × 𝐴) = (((𝐶 · (𝑁 ↑ 𝐴)) × (𝐾 ↑ 𝐵)) × 𝐴))
21		srgmnd 19921	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ Mnd)
22	1, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
23	4, 15, 22, 2, 11	mulgnn0cld 18897	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (𝑁 ↑ 𝐴)) ∈ 𝑆)
24	4, 16	srgass 19925	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝐶 · (𝑁 ↑ 𝐴)) ∈ 𝑆 ∧ (𝐾 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → (((𝐶 · (𝑁 ↑ 𝐴)) × (𝐾 ↑ 𝐵)) × 𝐴) = ((𝐶 · (𝑁 ↑ 𝐴)) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴)))
25	1, 23, 14, 10, 24	syl13anc 1372	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · (𝑁 ↑ 𝐴)) × (𝐾 ↑ 𝐵)) × 𝐴) = ((𝐶 · (𝑁 ↑ 𝐴)) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴)))
26	20, 25	eqtrd 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · ((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵))) × 𝐴) = ((𝐶 · (𝑁 ↑ 𝐴)) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴)))
27	4, 16	srgcl 19924	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝐾 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴) ∈ 𝑆)
28	1, 14, 10, 27	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴) ∈ 𝑆)
29	4, 15, 16	srgmulgass 19948	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ↑ 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴) ∈ 𝑆)) → ((𝐶 · (𝑁 ↑ 𝐴)) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴)) = (𝐶 · ((𝑁 ↑ 𝐴) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴))))
30	1, 2, 11, 28, 29	syl13anc 1372	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · (𝑁 ↑ 𝐴)) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴)) = (𝐶 · ((𝑁 ↑ 𝐴) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴))))
31	4, 16	srgass 19925	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝑁 ↑ 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ (𝐾 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → (((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) × 𝐴) = ((𝑁 ↑ 𝐴) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴)))
32	1, 11, 14, 10, 31	syl13anc 1372	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) × 𝐴) = ((𝑁 ↑ 𝐴) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴)))
33	32	eqcomd 2742	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ↑ 𝐴) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴)) = (((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) × 𝐴))
34	33	oveq2d 7373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · ((𝑁 ↑ 𝐴) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴))) = (𝐶 · (((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) × 𝐴)))
35	30, 34	eqtrd 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · (𝑁 ↑ 𝐴)) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴)) = (𝐶 · (((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) × 𝐴)))
36		srgpcomp.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
37	4, 16, 3, 6, 1, 10, 13, 12, 36, 9	srgpcompp 19950	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) × 𝐴) = (((𝑁 + 1) ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)))
38	37	oveq2d 7373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) × 𝐴)) = (𝐶 · (((𝑁 + 1) ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵))))
39	26, 35, 38	3eqtrd 2780	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · ((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵))) × 𝐴) = (𝐶 · (((𝑁 + 1) ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  1c1 11052   + caddc 11054  ℕ₀cn0 12413  Basecbs 17083  ._rcmulr 17134  Mndcmnd 18556  ._gcmg 18872  mulGrpcmgp 19896  SRingcsrg 19917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-seq 13907  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mulg 18873  df-cmn 19564  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-srg 19918

This theorem is referenced by:  srgbinomlem3  19959