MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srgpcomppsc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem srgpcomppsc 20144
Description: If two elements of a semiring commute, they also commute if the elements are raised to a higher power and a scalar multiplication is involved. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srgpcomp.s ๐‘† = (Baseโ€˜๐‘…)
srgpcomp.m ร— = (.rโ€˜๐‘…)
srgpcomp.g ๐บ = (mulGrpโ€˜๐‘…)
srgpcomp.e โ†‘ = (.gโ€˜๐บ)
srgpcomp.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ SRing)
srgpcomp.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘†)
srgpcomp.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘†)
srgpcomp.k (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
srgpcomp.c (๐œ‘ โ†’ (๐ด ร— ๐ต) = (๐ต ร— ๐ด))
srgpcompp.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
srgpcomppsc.t ยท = (.gโ€˜๐‘…)
srgpcomppsc.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•0)
Assertion
Ref Expression
srgpcomppsc (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ((๐‘ โ†‘ ๐ด) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต))) ร— ๐ด) = (๐ถ ยท (((๐‘ + 1) โ†‘ ๐ด) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต))))

Proof of Theorem srgpcomppsc
StepHypRef Expression
1 srgpcomp.r . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ SRing)
2 srgpcomppsc.c . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•0)
3 srgpcomp.g . . . . . . 7 ๐บ = (mulGrpโ€˜๐‘…)
4 srgpcomp.s . . . . . . 7 ๐‘† = (Baseโ€˜๐‘…)
53, 4mgpbas 20064 . . . . . 6 ๐‘† = (Baseโ€˜๐บ)
6 srgpcomp.e . . . . . 6 โ†‘ = (.gโ€˜๐บ)
73srgmgp 20115 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
81, 7syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
9 srgpcompp.n . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
10 srgpcomp.a . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘†)
115, 6, 8, 9, 10mulgnn0cld 19034 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โ†‘ ๐ด) โˆˆ ๐‘†)
12 srgpcomp.k . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
13 srgpcomp.b . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘†)
145, 6, 8, 12, 13mulgnn0cld 19034 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐พ โ†‘ ๐ต) โˆˆ ๐‘†)
15 srgpcomppsc.t . . . . . . 7 ยท = (.gโ€˜๐‘…)
16 srgpcomp.m . . . . . . 7 ร— = (.rโ€˜๐‘…)
174, 15, 16srgmulgass 20141 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ โ†‘ ๐ด) โˆˆ ๐‘† โˆง (๐พ โ†‘ ๐ต) โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐ถ ยท (๐‘ โ†‘ ๐ด)) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต)) = (๐ถ ยท ((๐‘ โ†‘ ๐ด) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต))))
1817eqcomd 2733 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ โ†‘ ๐ด) โˆˆ ๐‘† โˆง (๐พ โ†‘ ๐ต) โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐ถ ยท ((๐‘ โ†‘ ๐ด) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต))) = ((๐ถ ยท (๐‘ โ†‘ ๐ด)) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต)))
191, 2, 11, 14, 18syl13anc 1370 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท ((๐‘ โ†‘ ๐ด) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต))) = ((๐ถ ยท (๐‘ โ†‘ ๐ด)) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต)))
2019oveq1d 7429 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ((๐‘ โ†‘ ๐ด) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต))) ร— ๐ด) = (((๐ถ ยท (๐‘ โ†‘ ๐ด)) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต)) ร— ๐ด))
21 srgmnd 20114 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
221, 21syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
234, 15, 22, 2, 11mulgnn0cld 19034 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท (๐‘ โ†‘ ๐ด)) โˆˆ ๐‘†)
244, 16srgass 20118 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ((๐ถ ยท (๐‘ โ†‘ ๐ด)) โˆˆ ๐‘† โˆง (๐พ โ†‘ ๐ต) โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (((๐ถ ยท (๐‘ โ†‘ ๐ด)) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต)) ร— ๐ด) = ((๐ถ ยท (๐‘ โ†‘ ๐ด)) ร— ((๐พ โ†‘ ๐ต) ร— ๐ด)))
251, 23, 14, 10, 24syl13anc 1370 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ ยท (๐‘ โ†‘ ๐ด)) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต)) ร— ๐ด) = ((๐ถ ยท (๐‘ โ†‘ ๐ด)) ร— ((๐พ โ†‘ ๐ต) ร— ๐ด)))
2620, 25eqtrd 2767 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ((๐‘ โ†‘ ๐ด) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต))) ร— ๐ด) = ((๐ถ ยท (๐‘ โ†‘ ๐ด)) ร— ((๐พ โ†‘ ๐ต) ร— ๐ด)))
274, 16srgcl 20117 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง (๐พ โ†‘ ๐ต) โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘†) โ†’ ((๐พ โ†‘ ๐ต) ร— ๐ด) โˆˆ ๐‘†)
281, 14, 10, 27syl3anc 1369 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ โ†‘ ๐ต) ร— ๐ด) โˆˆ ๐‘†)
294, 15, 16srgmulgass 20141 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ โ†‘ ๐ด) โˆˆ ๐‘† โˆง ((๐พ โ†‘ ๐ต) ร— ๐ด) โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐ถ ยท (๐‘ โ†‘ ๐ด)) ร— ((๐พ โ†‘ ๐ต) ร— ๐ด)) = (๐ถ ยท ((๐‘ โ†‘ ๐ด) ร— ((๐พ โ†‘ ๐ต) ร— ๐ด))))
301, 2, 11, 28, 29syl13anc 1370 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท (๐‘ โ†‘ ๐ด)) ร— ((๐พ โ†‘ ๐ต) ร— ๐ด)) = (๐ถ ยท ((๐‘ โ†‘ ๐ด) ร— ((๐พ โ†‘ ๐ต) ร— ๐ด))))
314, 16srgass 20118 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ((๐‘ โ†‘ ๐ด) โˆˆ ๐‘† โˆง (๐พ โ†‘ ๐ต) โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (((๐‘ โ†‘ ๐ด) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต)) ร— ๐ด) = ((๐‘ โ†‘ ๐ด) ร— ((๐พ โ†‘ ๐ต) ร— ๐ด)))
321, 11, 14, 10, 31syl13anc 1370 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ โ†‘ ๐ด) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต)) ร— ๐ด) = ((๐‘ โ†‘ ๐ด) ร— ((๐พ โ†‘ ๐ต) ร— ๐ด)))
3332eqcomd 2733 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โ†‘ ๐ด) ร— ((๐พ โ†‘ ๐ต) ร— ๐ด)) = (((๐‘ โ†‘ ๐ด) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต)) ร— ๐ด))
3433oveq2d 7430 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท ((๐‘ โ†‘ ๐ด) ร— ((๐พ โ†‘ ๐ต) ร— ๐ด))) = (๐ถ ยท (((๐‘ โ†‘ ๐ด) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต)) ร— ๐ด)))
3530, 34eqtrd 2767 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท (๐‘ โ†‘ ๐ด)) ร— ((๐พ โ†‘ ๐ต) ร— ๐ด)) = (๐ถ ยท (((๐‘ โ†‘ ๐ด) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต)) ร— ๐ด)))
36 srgpcomp.c . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ร— ๐ต) = (๐ต ร— ๐ด))
374, 16, 3, 6, 1, 10, 13, 12, 36, 9srgpcompp 20143 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ โ†‘ ๐ด) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต)) ร— ๐ด) = (((๐‘ + 1) โ†‘ ๐ด) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต)))
3837oveq2d 7430 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท (((๐‘ โ†‘ ๐ด) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต)) ร— ๐ด)) = (๐ถ ยท (((๐‘ + 1) โ†‘ ๐ด) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต))))
3926, 35, 383eqtrd 2771 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ((๐‘ โ†‘ ๐ด) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต))) ร— ๐ด) = (๐ถ ยท (((๐‘ + 1) โ†‘ ๐ด) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  1c1 11125   + caddc 11127  โ„•0cn0 12488  Basecbs 17165  .rcmulr 17219  Mndcmnd 18679  .gcmg 19007  mulGrpcmgp 20058  SRingcsrg 20110
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-fz 13503  df-seq 13985  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-plusg 17231  df-0g 17408  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-mulg 19008  df-cmn 19721  df-mgp 20059  df-ur 20106  df-srg 20111
This theorem is referenced by:  srgbinomlem3  20152
  Copyright terms: Public domain W3C validator