MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srgpcomppsc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem srgpcomppsc 19286
Description: If two elements of a semiring commute, they also commute if the elements are raised to a higher power and a scalar multiplication is involved. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srgpcomp.s 𝑆 = (Base‘𝑅)
srgpcomp.m × = (.r𝑅)
srgpcomp.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
srgpcomp.e = (.g𝐺)
srgpcomp.r (𝜑𝑅 ∈ SRing)
srgpcomp.a (𝜑𝐴𝑆)
srgpcomp.b (𝜑𝐵𝑆)
srgpcomp.k (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
srgpcomp.c (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
srgpcompp.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
srgpcomppsc.t · = (.g𝑅)
srgpcomppsc.c (𝜑𝐶 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
srgpcomppsc (𝜑 → ((𝐶 · ((𝑁 𝐴) × (𝐾 𝐵))) × 𝐴) = (𝐶 · (((𝑁 + 1) 𝐴) × (𝐾 𝐵))))

Proof of Theorem srgpcomppsc
StepHypRef Expression
1 srgpcomp.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ SRing)
2 srgpcomppsc.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℕ0)
3 srgpcomp.g . . . . . . . 8 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
43srgmgp 19262 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ SRing → 𝐺 ∈ Mnd)
51, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
6 srgpcompp.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
7 srgpcomp.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑆)
8 srgpcomp.s . . . . . . . 8 𝑆 = (Base‘𝑅)
93, 8mgpbas 19247 . . . . . . 7 𝑆 = (Base‘𝐺)
10 srgpcomp.e . . . . . . 7 = (.g𝐺)
119, 10mulgnn0cl 18246 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑆) → (𝑁 𝐴) ∈ 𝑆)
125, 6, 7, 11syl3anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 𝐴) ∈ 𝑆)
13 srgpcomp.k . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
14 srgpcomp.b . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑆)
159, 10mulgnn0cl 18246 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝐵𝑆) → (𝐾 𝐵) ∈ 𝑆)
165, 13, 14, 15syl3anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 𝐵) ∈ 𝑆)
17 srgpcomppsc.t . . . . . . 7 · = (.g𝑅)
18 srgpcomp.m . . . . . . 7 × = (.r𝑅)
198, 17, 18srgmulgass 19283 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ (𝐾 𝐵) ∈ 𝑆)) → ((𝐶 · (𝑁 𝐴)) × (𝐾 𝐵)) = (𝐶 · ((𝑁 𝐴) × (𝐾 𝐵))))
2019eqcomd 2830 . . . . 5 ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ (𝐾 𝐵) ∈ 𝑆)) → (𝐶 · ((𝑁 𝐴) × (𝐾 𝐵))) = ((𝐶 · (𝑁 𝐴)) × (𝐾 𝐵)))
211, 2, 12, 16, 20syl13anc 1369 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 · ((𝑁 𝐴) × (𝐾 𝐵))) = ((𝐶 · (𝑁 𝐴)) × (𝐾 𝐵)))
2221oveq1d 7166 . . 3 (𝜑 → ((𝐶 · ((𝑁 𝐴) × (𝐾 𝐵))) × 𝐴) = (((𝐶 · (𝑁 𝐴)) × (𝐾 𝐵)) × 𝐴))
23 srgmnd 19261 . . . . . 6 (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ Mnd)
241, 23syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Mnd)
258, 17mulgnn0cl 18246 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 𝐴) ∈ 𝑆) → (𝐶 · (𝑁 𝐴)) ∈ 𝑆)
2624, 2, 12, 25syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 · (𝑁 𝐴)) ∈ 𝑆)
278, 18srgass 19265 . . . 4 ((𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝐶 · (𝑁 𝐴)) ∈ 𝑆 ∧ (𝐾 𝐵) ∈ 𝑆𝐴𝑆)) → (((𝐶 · (𝑁 𝐴)) × (𝐾 𝐵)) × 𝐴) = ((𝐶 · (𝑁 𝐴)) × ((𝐾 𝐵) × 𝐴)))
281, 26, 16, 7, 27syl13anc 1369 . . 3 (𝜑 → (((𝐶 · (𝑁 𝐴)) × (𝐾 𝐵)) × 𝐴) = ((𝐶 · (𝑁 𝐴)) × ((𝐾 𝐵) × 𝐴)))
2922, 28eqtrd 2859 . 2 (𝜑 → ((𝐶 · ((𝑁 𝐴) × (𝐾 𝐵))) × 𝐴) = ((𝐶 · (𝑁 𝐴)) × ((𝐾 𝐵) × 𝐴)))
308, 18srgcl 19264 . . . . 5 ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝐾 𝐵) ∈ 𝑆𝐴𝑆) → ((𝐾 𝐵) × 𝐴) ∈ 𝑆)
311, 16, 7, 30syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → ((𝐾 𝐵) × 𝐴) ∈ 𝑆)
328, 17, 18srgmulgass 19283 . . . 4 ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ ((𝐾 𝐵) × 𝐴) ∈ 𝑆)) → ((𝐶 · (𝑁 𝐴)) × ((𝐾 𝐵) × 𝐴)) = (𝐶 · ((𝑁 𝐴) × ((𝐾 𝐵) × 𝐴))))
331, 2, 12, 31, 32syl13anc 1369 . . 3 (𝜑 → ((𝐶 · (𝑁 𝐴)) × ((𝐾 𝐵) × 𝐴)) = (𝐶 · ((𝑁 𝐴) × ((𝐾 𝐵) × 𝐴))))
348, 18srgass 19265 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝑁 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ (𝐾 𝐵) ∈ 𝑆𝐴𝑆)) → (((𝑁 𝐴) × (𝐾 𝐵)) × 𝐴) = ((𝑁 𝐴) × ((𝐾 𝐵) × 𝐴)))
351, 12, 16, 7, 34syl13anc 1369 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑁 𝐴) × (𝐾 𝐵)) × 𝐴) = ((𝑁 𝐴) × ((𝐾 𝐵) × 𝐴)))
3635eqcomd 2830 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁 𝐴) × ((𝐾 𝐵) × 𝐴)) = (((𝑁 𝐴) × (𝐾 𝐵)) × 𝐴))
3736oveq2d 7167 . . 3 (𝜑 → (𝐶 · ((𝑁 𝐴) × ((𝐾 𝐵) × 𝐴))) = (𝐶 · (((𝑁 𝐴) × (𝐾 𝐵)) × 𝐴)))
3833, 37eqtrd 2859 . 2 (𝜑 → ((𝐶 · (𝑁 𝐴)) × ((𝐾 𝐵) × 𝐴)) = (𝐶 · (((𝑁 𝐴) × (𝐾 𝐵)) × 𝐴)))
39 srgpcomp.c . . . 4 (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
408, 18, 3, 10, 1, 7, 14, 13, 39, 6srgpcompp 19285 . . 3 (𝜑 → (((𝑁 𝐴) × (𝐾 𝐵)) × 𝐴) = (((𝑁 + 1) 𝐴) × (𝐾 𝐵)))
4140oveq2d 7167 . 2 (𝜑 → (𝐶 · (((𝑁 𝐴) × (𝐾 𝐵)) × 𝐴)) = (𝐶 · (((𝑁 + 1) 𝐴) × (𝐾 𝐵))))
4229, 38, 413eqtrd 2863 1 (𝜑 → ((𝐶 · ((𝑁 𝐴) × (𝐾 𝐵))) × 𝐴) = (𝐶 · (((𝑁 + 1) 𝐴) × (𝐾 𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  cfv 6345  (class class class)co 7151  1c1 10538   + caddc 10540  0cn0 11896  Basecbs 16485  .rcmulr 16568  Mndcmnd 17913  .gcmg 18226  mulGrpcmgp 19241  SRingcsrg 19257
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7577  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-er 8287  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11637  df-2 11699  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-fz 12897  df-seq 13376  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-plusg 16580  df-0g 16717  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-mulg 18227  df-cmn 18910  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-srg 19258
This theorem is referenced by:  srgbinomlem3  19294
  Copyright terms: Public domain W3C validator