MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srgpcomppsc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem srgpcomppsc 20159
Description: If two elements of a semiring commute, they also commute if the elements are raised to a higher power and a scalar multiplication is involved. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srgpcomp.s ๐‘† = (Baseโ€˜๐‘…)
srgpcomp.m ร— = (.rโ€˜๐‘…)
srgpcomp.g ๐บ = (mulGrpโ€˜๐‘…)
srgpcomp.e โ†‘ = (.gโ€˜๐บ)
srgpcomp.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ SRing)
srgpcomp.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘†)
srgpcomp.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘†)
srgpcomp.k (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
srgpcomp.c (๐œ‘ โ†’ (๐ด ร— ๐ต) = (๐ต ร— ๐ด))
srgpcompp.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
srgpcomppsc.t ยท = (.gโ€˜๐‘…)
srgpcomppsc.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•0)
Assertion
Ref Expression
srgpcomppsc (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ((๐‘ โ†‘ ๐ด) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต))) ร— ๐ด) = (๐ถ ยท (((๐‘ + 1) โ†‘ ๐ด) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต))))

Proof of Theorem srgpcomppsc
StepHypRef Expression
1 srgpcomp.r . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ SRing)
2 srgpcomppsc.c . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•0)
3 srgpcomp.g . . . . . . 7 ๐บ = (mulGrpโ€˜๐‘…)
4 srgpcomp.s . . . . . . 7 ๐‘† = (Baseโ€˜๐‘…)
53, 4mgpbas 20079 . . . . . 6 ๐‘† = (Baseโ€˜๐บ)
6 srgpcomp.e . . . . . 6 โ†‘ = (.gโ€˜๐บ)
73srgmgp 20130 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
81, 7syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
9 srgpcompp.n . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
10 srgpcomp.a . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘†)
115, 6, 8, 9, 10mulgnn0cld 19049 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โ†‘ ๐ด) โˆˆ ๐‘†)
12 srgpcomp.k . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
13 srgpcomp.b . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘†)
145, 6, 8, 12, 13mulgnn0cld 19049 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐พ โ†‘ ๐ต) โˆˆ ๐‘†)
15 srgpcomppsc.t . . . . . . 7 ยท = (.gโ€˜๐‘…)
16 srgpcomp.m . . . . . . 7 ร— = (.rโ€˜๐‘…)
174, 15, 16srgmulgass 20156 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ โ†‘ ๐ด) โˆˆ ๐‘† โˆง (๐พ โ†‘ ๐ต) โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐ถ ยท (๐‘ โ†‘ ๐ด)) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต)) = (๐ถ ยท ((๐‘ โ†‘ ๐ด) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต))))
1817eqcomd 2731 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ โ†‘ ๐ด) โˆˆ ๐‘† โˆง (๐พ โ†‘ ๐ต) โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐ถ ยท ((๐‘ โ†‘ ๐ด) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต))) = ((๐ถ ยท (๐‘ โ†‘ ๐ด)) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต)))
191, 2, 11, 14, 18syl13anc 1369 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท ((๐‘ โ†‘ ๐ด) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต))) = ((๐ถ ยท (๐‘ โ†‘ ๐ด)) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต)))
2019oveq1d 7428 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ((๐‘ โ†‘ ๐ด) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต))) ร— ๐ด) = (((๐ถ ยท (๐‘ โ†‘ ๐ด)) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต)) ร— ๐ด))
21 srgmnd 20129 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
221, 21syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
234, 15, 22, 2, 11mulgnn0cld 19049 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท (๐‘ โ†‘ ๐ด)) โˆˆ ๐‘†)
244, 16srgass 20133 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ((๐ถ ยท (๐‘ โ†‘ ๐ด)) โˆˆ ๐‘† โˆง (๐พ โ†‘ ๐ต) โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (((๐ถ ยท (๐‘ โ†‘ ๐ด)) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต)) ร— ๐ด) = ((๐ถ ยท (๐‘ โ†‘ ๐ด)) ร— ((๐พ โ†‘ ๐ต) ร— ๐ด)))
251, 23, 14, 10, 24syl13anc 1369 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ ยท (๐‘ โ†‘ ๐ด)) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต)) ร— ๐ด) = ((๐ถ ยท (๐‘ โ†‘ ๐ด)) ร— ((๐พ โ†‘ ๐ต) ร— ๐ด)))
2620, 25eqtrd 2765 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ((๐‘ โ†‘ ๐ด) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต))) ร— ๐ด) = ((๐ถ ยท (๐‘ โ†‘ ๐ด)) ร— ((๐พ โ†‘ ๐ต) ร— ๐ด)))
274, 16srgcl 20132 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง (๐พ โ†‘ ๐ต) โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘†) โ†’ ((๐พ โ†‘ ๐ต) ร— ๐ด) โˆˆ ๐‘†)
281, 14, 10, 27syl3anc 1368 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ โ†‘ ๐ต) ร— ๐ด) โˆˆ ๐‘†)
294, 15, 16srgmulgass 20156 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ โ†‘ ๐ด) โˆˆ ๐‘† โˆง ((๐พ โ†‘ ๐ต) ร— ๐ด) โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐ถ ยท (๐‘ โ†‘ ๐ด)) ร— ((๐พ โ†‘ ๐ต) ร— ๐ด)) = (๐ถ ยท ((๐‘ โ†‘ ๐ด) ร— ((๐พ โ†‘ ๐ต) ร— ๐ด))))
301, 2, 11, 28, 29syl13anc 1369 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท (๐‘ โ†‘ ๐ด)) ร— ((๐พ โ†‘ ๐ต) ร— ๐ด)) = (๐ถ ยท ((๐‘ โ†‘ ๐ด) ร— ((๐พ โ†‘ ๐ต) ร— ๐ด))))
314, 16srgass 20133 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ((๐‘ โ†‘ ๐ด) โˆˆ ๐‘† โˆง (๐พ โ†‘ ๐ต) โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (((๐‘ โ†‘ ๐ด) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต)) ร— ๐ด) = ((๐‘ โ†‘ ๐ด) ร— ((๐พ โ†‘ ๐ต) ร— ๐ด)))
321, 11, 14, 10, 31syl13anc 1369 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ โ†‘ ๐ด) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต)) ร— ๐ด) = ((๐‘ โ†‘ ๐ด) ร— ((๐พ โ†‘ ๐ต) ร— ๐ด)))
3332eqcomd 2731 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โ†‘ ๐ด) ร— ((๐พ โ†‘ ๐ต) ร— ๐ด)) = (((๐‘ โ†‘ ๐ด) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต)) ร— ๐ด))
3433oveq2d 7429 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท ((๐‘ โ†‘ ๐ด) ร— ((๐พ โ†‘ ๐ต) ร— ๐ด))) = (๐ถ ยท (((๐‘ โ†‘ ๐ด) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต)) ร— ๐ด)))
3530, 34eqtrd 2765 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท (๐‘ โ†‘ ๐ด)) ร— ((๐พ โ†‘ ๐ต) ร— ๐ด)) = (๐ถ ยท (((๐‘ โ†‘ ๐ด) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต)) ร— ๐ด)))
36 srgpcomp.c . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ร— ๐ต) = (๐ต ร— ๐ด))
374, 16, 3, 6, 1, 10, 13, 12, 36, 9srgpcompp 20158 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ โ†‘ ๐ด) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต)) ร— ๐ด) = (((๐‘ + 1) โ†‘ ๐ด) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต)))
3837oveq2d 7429 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท (((๐‘ โ†‘ ๐ด) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต)) ร— ๐ด)) = (๐ถ ยท (((๐‘ + 1) โ†‘ ๐ด) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต))))
3926, 35, 383eqtrd 2769 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ((๐‘ โ†‘ ๐ด) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต))) ร— ๐ด) = (๐ถ ยท (((๐‘ + 1) โ†‘ ๐ด) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  1c1 11134   + caddc 11136  โ„•0cn0 12497  Basecbs 17174  .rcmulr 17228  Mndcmnd 18688  .gcmg 19022  mulGrpcmgp 20073  SRingcsrg 20125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-fz 13512  df-seq 13994  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-plusg 17240  df-0g 17417  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-mulg 19023  df-cmn 19736  df-mgp 20074  df-ur 20121  df-srg 20126
This theorem is referenced by:  srgbinomlem3  20167
  Copyright terms: Public domain W3C validator