MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srgpcomppsc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem srgpcomppsc 19213
Description: If two elements of a semiring commute, they also commute if the elements are raised to a higher power and a scalar multiplication is involved. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srgpcomp.s 𝑆 = (Base‘𝑅)
srgpcomp.m × = (.r𝑅)
srgpcomp.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
srgpcomp.e = (.g𝐺)
srgpcomp.r (𝜑𝑅 ∈ SRing)
srgpcomp.a (𝜑𝐴𝑆)
srgpcomp.b (𝜑𝐵𝑆)
srgpcomp.k (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
srgpcomp.c (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
srgpcompp.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
srgpcomppsc.t · = (.g𝑅)
srgpcomppsc.c (𝜑𝐶 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
srgpcomppsc (𝜑 → ((𝐶 · ((𝑁 𝐴) × (𝐾 𝐵))) × 𝐴) = (𝐶 · (((𝑁 + 1) 𝐴) × (𝐾 𝐵))))

Proof of Theorem srgpcomppsc
StepHypRef Expression
1 srgpcomp.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ SRing)
2 srgpcomppsc.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℕ0)
3 srgpcomp.g . . . . . . . 8 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
43srgmgp 19189 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ SRing → 𝐺 ∈ Mnd)
51, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
6 srgpcompp.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
7 srgpcomp.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑆)
8 srgpcomp.s . . . . . . . 8 𝑆 = (Base‘𝑅)
93, 8mgpbas 19174 . . . . . . 7 𝑆 = (Base‘𝐺)
10 srgpcomp.e . . . . . . 7 = (.g𝐺)
119, 10mulgnn0cl 18182 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑆) → (𝑁 𝐴) ∈ 𝑆)
125, 6, 7, 11syl3anc 1363 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 𝐴) ∈ 𝑆)
13 srgpcomp.k . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
14 srgpcomp.b . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑆)
159, 10mulgnn0cl 18182 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝐵𝑆) → (𝐾 𝐵) ∈ 𝑆)
165, 13, 14, 15syl3anc 1363 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 𝐵) ∈ 𝑆)
17 srgpcomppsc.t . . . . . . 7 · = (.g𝑅)
18 srgpcomp.m . . . . . . 7 × = (.r𝑅)
198, 17, 18srgmulgass 19210 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ (𝐾 𝐵) ∈ 𝑆)) → ((𝐶 · (𝑁 𝐴)) × (𝐾 𝐵)) = (𝐶 · ((𝑁 𝐴) × (𝐾 𝐵))))
2019eqcomd 2824 . . . . 5 ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ (𝐾 𝐵) ∈ 𝑆)) → (𝐶 · ((𝑁 𝐴) × (𝐾 𝐵))) = ((𝐶 · (𝑁 𝐴)) × (𝐾 𝐵)))
211, 2, 12, 16, 20syl13anc 1364 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 · ((𝑁 𝐴) × (𝐾 𝐵))) = ((𝐶 · (𝑁 𝐴)) × (𝐾 𝐵)))
2221oveq1d 7160 . . 3 (𝜑 → ((𝐶 · ((𝑁 𝐴) × (𝐾 𝐵))) × 𝐴) = (((𝐶 · (𝑁 𝐴)) × (𝐾 𝐵)) × 𝐴))
23 srgmnd 19188 . . . . . 6 (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ Mnd)
241, 23syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Mnd)
258, 17mulgnn0cl 18182 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 𝐴) ∈ 𝑆) → (𝐶 · (𝑁 𝐴)) ∈ 𝑆)
2624, 2, 12, 25syl3anc 1363 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 · (𝑁 𝐴)) ∈ 𝑆)
278, 18srgass 19192 . . . 4 ((𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝐶 · (𝑁 𝐴)) ∈ 𝑆 ∧ (𝐾 𝐵) ∈ 𝑆𝐴𝑆)) → (((𝐶 · (𝑁 𝐴)) × (𝐾 𝐵)) × 𝐴) = ((𝐶 · (𝑁 𝐴)) × ((𝐾 𝐵) × 𝐴)))
281, 26, 16, 7, 27syl13anc 1364 . . 3 (𝜑 → (((𝐶 · (𝑁 𝐴)) × (𝐾 𝐵)) × 𝐴) = ((𝐶 · (𝑁 𝐴)) × ((𝐾 𝐵) × 𝐴)))
2922, 28eqtrd 2853 . 2 (𝜑 → ((𝐶 · ((𝑁 𝐴) × (𝐾 𝐵))) × 𝐴) = ((𝐶 · (𝑁 𝐴)) × ((𝐾 𝐵) × 𝐴)))
308, 18srgcl 19191 . . . . 5 ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝐾 𝐵) ∈ 𝑆𝐴𝑆) → ((𝐾 𝐵) × 𝐴) ∈ 𝑆)
311, 16, 7, 30syl3anc 1363 . . . 4 (𝜑 → ((𝐾 𝐵) × 𝐴) ∈ 𝑆)
328, 17, 18srgmulgass 19210 . . . 4 ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ ((𝐾 𝐵) × 𝐴) ∈ 𝑆)) → ((𝐶 · (𝑁 𝐴)) × ((𝐾 𝐵) × 𝐴)) = (𝐶 · ((𝑁 𝐴) × ((𝐾 𝐵) × 𝐴))))
331, 2, 12, 31, 32syl13anc 1364 . . 3 (𝜑 → ((𝐶 · (𝑁 𝐴)) × ((𝐾 𝐵) × 𝐴)) = (𝐶 · ((𝑁 𝐴) × ((𝐾 𝐵) × 𝐴))))
348, 18srgass 19192 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝑁 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ (𝐾 𝐵) ∈ 𝑆𝐴𝑆)) → (((𝑁 𝐴) × (𝐾 𝐵)) × 𝐴) = ((𝑁 𝐴) × ((𝐾 𝐵) × 𝐴)))
351, 12, 16, 7, 34syl13anc 1364 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑁 𝐴) × (𝐾 𝐵)) × 𝐴) = ((𝑁 𝐴) × ((𝐾 𝐵) × 𝐴)))
3635eqcomd 2824 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁 𝐴) × ((𝐾 𝐵) × 𝐴)) = (((𝑁 𝐴) × (𝐾 𝐵)) × 𝐴))
3736oveq2d 7161 . . 3 (𝜑 → (𝐶 · ((𝑁 𝐴) × ((𝐾 𝐵) × 𝐴))) = (𝐶 · (((𝑁 𝐴) × (𝐾 𝐵)) × 𝐴)))
3833, 37eqtrd 2853 . 2 (𝜑 → ((𝐶 · (𝑁 𝐴)) × ((𝐾 𝐵) × 𝐴)) = (𝐶 · (((𝑁 𝐴) × (𝐾 𝐵)) × 𝐴)))
39 srgpcomp.c . . . 4 (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
408, 18, 3, 10, 1, 7, 14, 13, 39, 6srgpcompp 19212 . . 3 (𝜑 → (((𝑁 𝐴) × (𝐾 𝐵)) × 𝐴) = (((𝑁 + 1) 𝐴) × (𝐾 𝐵)))
4140oveq2d 7161 . 2 (𝜑 → (𝐶 · (((𝑁 𝐴) × (𝐾 𝐵)) × 𝐴)) = (𝐶 · (((𝑁 + 1) 𝐴) × (𝐾 𝐵))))
4229, 38, 413eqtrd 2857 1 (𝜑 → ((𝐶 · ((𝑁 𝐴) × (𝐾 𝐵))) × 𝐴) = (𝐶 · (((𝑁 + 1) 𝐴) × (𝐾 𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  cfv 6348  (class class class)co 7145  1c1 10526   + caddc 10528  0cn0 11885  Basecbs 16471  .rcmulr 16554  Mndcmnd 17899  .gcmg 18162  mulGrpcmgp 19168  SRingcsrg 19184
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-seq 13358  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-plusg 16566  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mulg 18163  df-cmn 18837  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-srg 19185
This theorem is referenced by:  srgbinomlem3  19221
  Copyright terms: Public domain W3C validator