MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srgpcomp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem srgpcomp 18799
Description: If two elements of a semiring commute, they also commute if one of the elements is raised to a higher power. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srgpcomp.s 𝑆 = (Base‘𝑅)
srgpcomp.m × = (.r𝑅)
srgpcomp.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
srgpcomp.e = (.g𝐺)
srgpcomp.r (𝜑𝑅 ∈ SRing)
srgpcomp.a (𝜑𝐴𝑆)
srgpcomp.b (𝜑𝐵𝑆)
srgpcomp.k (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
srgpcomp.c (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
Assertion
Ref Expression
srgpcomp (𝜑 → ((𝐾 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝐾 𝐵)))

Proof of Theorem srgpcomp
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 srgpcomp.k . 2 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
2 oveq1 6849 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝑥 𝐵) = (0 𝐵))
32oveq1d 6857 . . . . 5 (𝑥 = 0 → ((𝑥 𝐵) × 𝐴) = ((0 𝐵) × 𝐴))
42oveq2d 6858 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (𝐴 × (𝑥 𝐵)) = (𝐴 × (0 𝐵)))
53, 4eqeq12d 2780 . . . 4 (𝑥 = 0 → (((𝑥 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑥 𝐵)) ↔ ((0 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (0 𝐵))))
65imbi2d 331 . . 3 (𝑥 = 0 → ((𝜑 → ((𝑥 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑥 𝐵))) ↔ (𝜑 → ((0 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (0 𝐵)))))
7 oveq1 6849 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 𝐵) = (𝑦 𝐵))
87oveq1d 6857 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 𝐵) × 𝐴) = ((𝑦 𝐵) × 𝐴))
97oveq2d 6858 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 × (𝑥 𝐵)) = (𝐴 × (𝑦 𝐵)))
108, 9eqeq12d 2780 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (((𝑥 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑥 𝐵)) ↔ ((𝑦 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑦 𝐵))))
1110imbi2d 331 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 → ((𝑥 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑥 𝐵))) ↔ (𝜑 → ((𝑦 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑦 𝐵)))))
12 oveq1 6849 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 𝐵) = ((𝑦 + 1) 𝐵))
1312oveq1d 6857 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 𝐵) × 𝐴) = (((𝑦 + 1) 𝐵) × 𝐴))
1412oveq2d 6858 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐴 × (𝑥 𝐵)) = (𝐴 × ((𝑦 + 1) 𝐵)))
1513, 14eqeq12d 2780 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((𝑥 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑥 𝐵)) ↔ (((𝑦 + 1) 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × ((𝑦 + 1) 𝐵))))
1615imbi2d 331 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝜑 → ((𝑥 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑥 𝐵))) ↔ (𝜑 → (((𝑦 + 1) 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × ((𝑦 + 1) 𝐵)))))
17 oveq1 6849 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐾 → (𝑥 𝐵) = (𝐾 𝐵))
1817oveq1d 6857 . . . . 5 (𝑥 = 𝐾 → ((𝑥 𝐵) × 𝐴) = ((𝐾 𝐵) × 𝐴))
1917oveq2d 6858 . . . . 5 (𝑥 = 𝐾 → (𝐴 × (𝑥 𝐵)) = (𝐴 × (𝐾 𝐵)))
2018, 19eqeq12d 2780 . . . 4 (𝑥 = 𝐾 → (((𝑥 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑥 𝐵)) ↔ ((𝐾 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝐾 𝐵))))
2120imbi2d 331 . . 3 (𝑥 = 𝐾 → ((𝜑 → ((𝑥 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑥 𝐵))) ↔ (𝜑 → ((𝐾 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝐾 𝐵)))))
22 srgpcomp.b . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑆)
23 srgpcomp.g . . . . . . . 8 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
24 srgpcomp.s . . . . . . . 8 𝑆 = (Base‘𝑅)
2523, 24mgpbas 18762 . . . . . . 7 𝑆 = (Base‘𝐺)
26 eqid 2765 . . . . . . . 8 (1r𝑅) = (1r𝑅)
2723, 26ringidval 18770 . . . . . . 7 (1r𝑅) = (0g𝐺)
28 srgpcomp.e . . . . . . 7 = (.g𝐺)
2925, 27, 28mulg0 17815 . . . . . 6 (𝐵𝑆 → (0 𝐵) = (1r𝑅))
3022, 29syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0 𝐵) = (1r𝑅))
3130oveq1d 6857 . . . 4 (𝜑 → ((0 𝐵) × 𝐴) = ((1r𝑅) × 𝐴))
32 srgpcomp.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ SRing)
33 srgpcomp.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑆)
34 srgpcomp.m . . . . . . 7 × = (.r𝑅)
3524, 34, 26srgridm 18789 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝐴𝑆) → (𝐴 × (1r𝑅)) = 𝐴)
3632, 33, 35syl2anc 579 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 × (1r𝑅)) = 𝐴)
3730oveq2d 6858 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 × (0 𝐵)) = (𝐴 × (1r𝑅)))
3824, 34, 26srglidm 18788 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝐴𝑆) → ((1r𝑅) × 𝐴) = 𝐴)
3932, 33, 38syl2anc 579 . . . . 5 (𝜑 → ((1r𝑅) × 𝐴) = 𝐴)
4036, 37, 393eqtr4rd 2810 . . . 4 (𝜑 → ((1r𝑅) × 𝐴) = (𝐴 × (0 𝐵)))
4131, 40eqtrd 2799 . . 3 (𝜑 → ((0 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (0 𝐵)))
4223srgmgp 18777 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ SRing → 𝐺 ∈ Mnd)
4332, 42syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
4443adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Mnd)
45 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℕ0)
4622adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) → 𝐵𝑆)
4723, 34mgpplusg 18760 . . . . . . . . . . . 12 × = (+g𝐺)
4825, 28, 47mulgnn0p1 17821 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝐵𝑆) → ((𝑦 + 1) 𝐵) = ((𝑦 𝐵) × 𝐵))
4944, 45, 46, 48syl3anc 1490 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 + 1) 𝐵) = ((𝑦 𝐵) × 𝐵))
5049oveq1d 6857 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 + 1) 𝐵) × 𝐴) = (((𝑦 𝐵) × 𝐵) × 𝐴))
51 srgpcomp.c . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
5251eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵 × 𝐴) = (𝐴 × 𝐵))
5352adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) → (𝐵 × 𝐴) = (𝐴 × 𝐵))
5453oveq2d 6858 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 𝐵) × (𝐵 × 𝐴)) = ((𝑦 𝐵) × (𝐴 × 𝐵)))
5532adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ SRing)
5625, 28mulgnn0cl 17826 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝐵𝑆) → (𝑦 𝐵) ∈ 𝑆)
5744, 45, 46, 56syl3anc 1490 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑦 𝐵) ∈ 𝑆)
5833adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) → 𝐴𝑆)
5924, 34srgass 18780 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝑦 𝐵) ∈ 𝑆𝐵𝑆𝐴𝑆)) → (((𝑦 𝐵) × 𝐵) × 𝐴) = ((𝑦 𝐵) × (𝐵 × 𝐴)))
6055, 57, 46, 58, 59syl13anc 1491 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 𝐵) × 𝐵) × 𝐴) = ((𝑦 𝐵) × (𝐵 × 𝐴)))
6124, 34srgass 18780 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝑦 𝐵) ∈ 𝑆𝐴𝑆𝐵𝑆)) → (((𝑦 𝐵) × 𝐴) × 𝐵) = ((𝑦 𝐵) × (𝐴 × 𝐵)))
6255, 57, 58, 46, 61syl13anc 1491 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 𝐵) × 𝐴) × 𝐵) = ((𝑦 𝐵) × (𝐴 × 𝐵)))
6354, 60, 623eqtr4d 2809 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 𝐵) × 𝐵) × 𝐴) = (((𝑦 𝐵) × 𝐴) × 𝐵))
6450, 63eqtrd 2799 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 + 1) 𝐵) × 𝐴) = (((𝑦 𝐵) × 𝐴) × 𝐵))
6564adantr 472 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑦 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑦 𝐵))) → (((𝑦 + 1) 𝐵) × 𝐴) = (((𝑦 𝐵) × 𝐴) × 𝐵))
66 oveq1 6849 . . . . . . . 8 (((𝑦 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑦 𝐵)) → (((𝑦 𝐵) × 𝐴) × 𝐵) = ((𝐴 × (𝑦 𝐵)) × 𝐵))
6724, 34srgass 18780 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝐴𝑆 ∧ (𝑦 𝐵) ∈ 𝑆𝐵𝑆)) → ((𝐴 × (𝑦 𝐵)) × 𝐵) = (𝐴 × ((𝑦 𝐵) × 𝐵)))
6855, 58, 57, 46, 67syl13anc 1491 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝐴 × (𝑦 𝐵)) × 𝐵) = (𝐴 × ((𝑦 𝐵) × 𝐵)))
6949eqcomd 2771 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 𝐵) × 𝐵) = ((𝑦 + 1) 𝐵))
7069oveq2d 6858 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) → (𝐴 × ((𝑦 𝐵) × 𝐵)) = (𝐴 × ((𝑦 + 1) 𝐵)))
7168, 70eqtrd 2799 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝐴 × (𝑦 𝐵)) × 𝐵) = (𝐴 × ((𝑦 + 1) 𝐵)))
7266, 71sylan9eqr 2821 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑦 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑦 𝐵))) → (((𝑦 𝐵) × 𝐴) × 𝐵) = (𝐴 × ((𝑦 + 1) 𝐵)))
7365, 72eqtrd 2799 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑦 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑦 𝐵))) → (((𝑦 + 1) 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × ((𝑦 + 1) 𝐵)))
7473ex 401 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑦 𝐵)) → (((𝑦 + 1) 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × ((𝑦 + 1) 𝐵))))
7574expcom 402 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (((𝑦 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑦 𝐵)) → (((𝑦 + 1) 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × ((𝑦 + 1) 𝐵)))))
7675a2d 29 . . 3 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → ((𝑦 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑦 𝐵))) → (𝜑 → (((𝑦 + 1) 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × ((𝑦 + 1) 𝐵)))))
776, 11, 16, 21, 41, 76nn0ind 11719 . 2 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝜑 → ((𝐾 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝐾 𝐵))))
781, 77mpcom 38 1 (𝜑 → ((𝐾 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝐾 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  cfv 6068  (class class class)co 6842  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192  0cn0 11538  Basecbs 16132  .rcmulr 16217  Mndcmnd 17562  .gcmg 17809  mulGrpcmgp 18756  1rcur 18768  SRingcsrg 18772
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-2 11335  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-fz 12534  df-seq 13009  df-ndx 16135  df-slot 16136  df-base 16138  df-sets 16139  df-plusg 16229  df-0g 16370  df-mgm 17510  df-sgrp 17552  df-mnd 17563  df-mulg 17810  df-mgp 18757  df-ur 18769  df-srg 18773
This theorem is referenced by:  srgpcompp  18800  mplcoe5lem  19741
  Copyright terms: Public domain W3C validator