Theorem srgpcomp 20119

Description: If two elements of a semiring commute, they also commute if one of the elements is raised to a higher power. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgpcomp.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
srgpcomp.m	⊢ × = (.r‘𝑅)
srgpcomp.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
srgpcomp.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
srgpcomp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
srgpcomp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
srgpcomp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
srgpcomp.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
srgpcomp.c	⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
srgpcomp	⊢ (𝜑 → ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝐾 ↑ 𝐵)))

Proof of Theorem srgpcomp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgpcomp.k	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
2		oveq1 7419	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ↑ 𝐵) = (0 ↑ 𝐵))
3	2	oveq1d 7427	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 ↑ 𝐵) × 𝐴) = ((0 ↑ 𝐵) × 𝐴))
4	2	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐴 × (𝑥 ↑ 𝐵)) = (𝐴 × (0 ↑ 𝐵)))
5	3, 4	eqeq12d 2747	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (((𝑥 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑥 ↑ 𝐵)) ↔ ((0 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (0 ↑ 𝐵))))
6	5	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝜑 → ((𝑥 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑥 ↑ 𝐵))) ↔ (𝜑 → ((0 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (0 ↑ 𝐵)))))
7		oveq1 7419	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ↑ 𝐵) = (𝑦 ↑ 𝐵))
8	7	oveq1d 7427	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ↑ 𝐵) × 𝐴) = ((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐴))
9	7	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 × (𝑥 ↑ 𝐵)) = (𝐴 × (𝑦 ↑ 𝐵)))
10	8, 9	eqeq12d 2747	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝑥 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑥 ↑ 𝐵)) ↔ ((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑦 ↑ 𝐵))))
11	10	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 → ((𝑥 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑥 ↑ 𝐵))) ↔ (𝜑 → ((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑦 ↑ 𝐵)))))
12		oveq1 7419	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 ↑ 𝐵) = ((𝑦 + 1) ↑ 𝐵))
13	12	oveq1d 7427	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐵) × 𝐴))
14	12	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐴 × (𝑥 ↑ 𝐵)) = (𝐴 × ((𝑦 + 1) ↑ 𝐵)))
15	13, 14	eqeq12d 2747	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((𝑥 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑥 ↑ 𝐵)) ↔ (((𝑦 + 1) ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × ((𝑦 + 1) ↑ 𝐵))))
16	15	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝜑 → ((𝑥 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑥 ↑ 𝐵))) ↔ (𝜑 → (((𝑦 + 1) ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × ((𝑦 + 1) ↑ 𝐵)))))
17		oveq1 7419	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝑥 ↑ 𝐵) = (𝐾 ↑ 𝐵))
18	17	oveq1d 7427	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → ((𝑥 ↑ 𝐵) × 𝐴) = ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴))
19	17	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝐴 × (𝑥 ↑ 𝐵)) = (𝐴 × (𝐾 ↑ 𝐵)))
20	18, 19	eqeq12d 2747	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (((𝑥 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑥 ↑ 𝐵)) ↔ ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝐾 ↑ 𝐵))))
21	20	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → ((𝜑 → ((𝑥 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑥 ↑ 𝐵))) ↔ (𝜑 → ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝐾 ↑ 𝐵)))))
22		srgpcomp.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
23		srgpcomp.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
24		srgpcomp.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
25	23, 24	mgpbas 20041	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐺)
26		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
27	23, 26	ringidval 20084	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘𝐺)
28		srgpcomp.e	. . . . . . 7 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
29	25, 27, 28	mulg0 19000	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑆 → (0 ↑ 𝐵) = (1r‘𝑅))
30	22, 29	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 ↑ 𝐵) = (1r‘𝑅))
31	30	oveq1d 7427	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0 ↑ 𝐵) × 𝐴) = ((1r‘𝑅) × 𝐴))
32		srgpcomp.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
33		srgpcomp.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
34		srgpcomp.m	. . . . . . 7 ⊢ × = (.r‘𝑅)
35	24, 34, 26	srgridm 20104	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝐴 × (1r‘𝑅)) = 𝐴)
36	32, 33, 35	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × (1r‘𝑅)) = 𝐴)
37	30	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × (0 ↑ 𝐵)) = (𝐴 × (1r‘𝑅)))
38	24, 34, 26	srglidm 20103	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ((1r‘𝑅) × 𝐴) = 𝐴)
39	32, 33, 38	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) × 𝐴) = 𝐴)
40	36, 37, 39	3eqtr4rd 2782	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) × 𝐴) = (𝐴 × (0 ↑ 𝐵)))
41	31, 40	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (0 ↑ 𝐵)))
42	23	srgmgp 20092	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝐺 ∈ Mnd)
43	32, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
44	43	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Mnd)
45		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℕ0)
46	22	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ 𝑆)
47	23, 34	mgpplusg 20039	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ × = (+g‘𝐺)
48	25, 28, 47	mulgnn0p1 19008	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝐵) = ((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐵))
49	44, 45, 46, 48	syl3anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝐵) = ((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐵))
50	49	oveq1d 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 + 1) ↑ 𝐵) × 𝐴) = (((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐵) × 𝐴))
51		srgpcomp.c	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
52	51	eqcomd 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × 𝐴) = (𝐴 × 𝐵))
53	52	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝐵 × 𝐴) = (𝐴 × 𝐵))
54	53	oveq2d 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 ↑ 𝐵) × (𝐵 × 𝐴)) = ((𝑦 ↑ 𝐵) × (𝐴 × 𝐵)))
55	32	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ SRing)
56	25, 28, 44, 45, 46	mulgnn0cld 19018	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑦 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆)
57	33	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ 𝑆)
58	24, 34	srgass 20095	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝑦 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → (((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐵) × 𝐴) = ((𝑦 ↑ 𝐵) × (𝐵 × 𝐴)))
59	55, 56, 46, 57, 58	syl13anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐵) × 𝐴) = ((𝑦 ↑ 𝐵) × (𝐵 × 𝐴)))
60	24, 34	srgass 20095	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝑦 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → (((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐴) × 𝐵) = ((𝑦 ↑ 𝐵) × (𝐴 × 𝐵)))
61	55, 56, 57, 46, 60	syl13anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐴) × 𝐵) = ((𝑦 ↑ 𝐵) × (𝐴 × 𝐵)))
62	54, 59, 61	3eqtr4d 2781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐵) × 𝐴) = (((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐴) × 𝐵))
63	50, 62	eqtrd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 + 1) ↑ 𝐵) × 𝐴) = (((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐴) × 𝐵))
64	63	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑦 ↑ 𝐵))) → (((𝑦 + 1) ↑ 𝐵) × 𝐴) = (((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐴) × 𝐵))
65		oveq1 7419	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑦 ↑ 𝐵)) → (((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐴) × 𝐵) = ((𝐴 × (𝑦 ↑ 𝐵)) × 𝐵))
66	24, 34	srgass 20095	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑦 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → ((𝐴 × (𝑦 ↑ 𝐵)) × 𝐵) = (𝐴 × ((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐵)))
67	55, 57, 56, 46, 66	syl13anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝐴 × (𝑦 ↑ 𝐵)) × 𝐵) = (𝐴 × ((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐵)))
68	49	eqcomd 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐵) = ((𝑦 + 1) ↑ 𝐵))
69	68	oveq2d 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝐴 × ((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐵)) = (𝐴 × ((𝑦 + 1) ↑ 𝐵)))
70	67, 69	eqtrd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝐴 × (𝑦 ↑ 𝐵)) × 𝐵) = (𝐴 × ((𝑦 + 1) ↑ 𝐵)))
71	65, 70	sylan9eqr 2793	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑦 ↑ 𝐵))) → (((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐴) × 𝐵) = (𝐴 × ((𝑦 + 1) ↑ 𝐵)))
72	64, 71	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑦 ↑ 𝐵))) → (((𝑦 + 1) ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × ((𝑦 + 1) ↑ 𝐵)))
73	72	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑦 ↑ 𝐵)) → (((𝑦 + 1) ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × ((𝑦 + 1) ↑ 𝐵))))
74	73	expcom 413	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑦 ↑ 𝐵)) → (((𝑦 + 1) ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × ((𝑦 + 1) ↑ 𝐵)))))
75	74	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → ((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑦 ↑ 𝐵))) → (𝜑 → (((𝑦 + 1) ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × ((𝑦 + 1) ↑ 𝐵)))))
76	6, 11, 16, 21, 41, 75	nn0ind 12664	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝜑 → ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝐾 ↑ 𝐵))))
77	1, 76	mpcom 38	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝐾 ↑ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  0cc0 11116  1c1 11117   + caddc 11119  ℕ₀cn0 12479  Basecbs 17151  ._rcmulr 17205  Mndcmnd 18665  ._gcmg 18993  mulGrpcmgp 20035  1_rcur 20082  SRingcsrg 20087

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492  df-seq 13974  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mulg 18994  df-mgp 20036  df-ur 20083  df-srg 20088

This theorem is referenced by:  srgpcompp  20120  mplcoe5lem  21906