Theorem srgpcomp 19683

Description: If two elements of a semiring commute, they also commute if one of the elements is raised to a higher power. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgpcomp.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
srgpcomp.m	⊢ × = (.r‘𝑅)
srgpcomp.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
srgpcomp.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
srgpcomp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
srgpcomp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
srgpcomp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
srgpcomp.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
srgpcomp.c	⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
srgpcomp	⊢ (𝜑 → ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝐾 ↑ 𝐵)))

Proof of Theorem srgpcomp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgpcomp.k	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
2		oveq1 7262	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ↑ 𝐵) = (0 ↑ 𝐵))
3	2	oveq1d 7270	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 ↑ 𝐵) × 𝐴) = ((0 ↑ 𝐵) × 𝐴))
4	2	oveq2d 7271	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐴 × (𝑥 ↑ 𝐵)) = (𝐴 × (0 ↑ 𝐵)))
5	3, 4	eqeq12d 2754	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (((𝑥 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑥 ↑ 𝐵)) ↔ ((0 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (0 ↑ 𝐵))))
6	5	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝜑 → ((𝑥 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑥 ↑ 𝐵))) ↔ (𝜑 → ((0 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (0 ↑ 𝐵)))))
7		oveq1 7262	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ↑ 𝐵) = (𝑦 ↑ 𝐵))
8	7	oveq1d 7270	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ↑ 𝐵) × 𝐴) = ((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐴))
9	7	oveq2d 7271	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 × (𝑥 ↑ 𝐵)) = (𝐴 × (𝑦 ↑ 𝐵)))
10	8, 9	eqeq12d 2754	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝑥 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑥 ↑ 𝐵)) ↔ ((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑦 ↑ 𝐵))))
11	10	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 → ((𝑥 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑥 ↑ 𝐵))) ↔ (𝜑 → ((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑦 ↑ 𝐵)))))
12		oveq1 7262	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 ↑ 𝐵) = ((𝑦 + 1) ↑ 𝐵))
13	12	oveq1d 7270	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐵) × 𝐴))
14	12	oveq2d 7271	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐴 × (𝑥 ↑ 𝐵)) = (𝐴 × ((𝑦 + 1) ↑ 𝐵)))
15	13, 14	eqeq12d 2754	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((𝑥 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑥 ↑ 𝐵)) ↔ (((𝑦 + 1) ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × ((𝑦 + 1) ↑ 𝐵))))
16	15	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝜑 → ((𝑥 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑥 ↑ 𝐵))) ↔ (𝜑 → (((𝑦 + 1) ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × ((𝑦 + 1) ↑ 𝐵)))))
17		oveq1 7262	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝑥 ↑ 𝐵) = (𝐾 ↑ 𝐵))
18	17	oveq1d 7270	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → ((𝑥 ↑ 𝐵) × 𝐴) = ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴))
19	17	oveq2d 7271	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝐴 × (𝑥 ↑ 𝐵)) = (𝐴 × (𝐾 ↑ 𝐵)))
20	18, 19	eqeq12d 2754	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (((𝑥 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑥 ↑ 𝐵)) ↔ ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝐾 ↑ 𝐵))))
21	20	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → ((𝜑 → ((𝑥 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑥 ↑ 𝐵))) ↔ (𝜑 → ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝐾 ↑ 𝐵)))))
22		srgpcomp.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
23		srgpcomp.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
24		srgpcomp.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
25	23, 24	mgpbas 19641	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐺)
26		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
27	23, 26	ringidval 19654	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘𝐺)
28		srgpcomp.e	. . . . . . 7 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
29	25, 27, 28	mulg0 18622	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑆 → (0 ↑ 𝐵) = (1r‘𝑅))
30	22, 29	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 ↑ 𝐵) = (1r‘𝑅))
31	30	oveq1d 7270	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0 ↑ 𝐵) × 𝐴) = ((1r‘𝑅) × 𝐴))
32		srgpcomp.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
33		srgpcomp.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
34		srgpcomp.m	. . . . . . 7 ⊢ × = (.r‘𝑅)
35	24, 34, 26	srgridm 19673	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝐴 × (1r‘𝑅)) = 𝐴)
36	32, 33, 35	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × (1r‘𝑅)) = 𝐴)
37	30	oveq2d 7271	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × (0 ↑ 𝐵)) = (𝐴 × (1r‘𝑅)))
38	24, 34, 26	srglidm 19672	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ((1r‘𝑅) × 𝐴) = 𝐴)
39	32, 33, 38	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) × 𝐴) = 𝐴)
40	36, 37, 39	3eqtr4rd 2789	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) × 𝐴) = (𝐴 × (0 ↑ 𝐵)))
41	31, 40	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (0 ↑ 𝐵)))
42	23	srgmgp 19661	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝐺 ∈ Mnd)
43	32, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
44	43	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Mnd)
45		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℕ0)
46	22	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ 𝑆)
47	23, 34	mgpplusg 19639	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ × = (+g‘𝐺)
48	25, 28, 47	mulgnn0p1 18630	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝐵) = ((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐵))
49	44, 45, 46, 48	syl3anc 1369	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝐵) = ((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐵))
50	49	oveq1d 7270	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 + 1) ↑ 𝐵) × 𝐴) = (((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐵) × 𝐴))
51		srgpcomp.c	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
52	51	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × 𝐴) = (𝐴 × 𝐵))
53	52	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝐵 × 𝐴) = (𝐴 × 𝐵))
54	53	oveq2d 7271	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 ↑ 𝐵) × (𝐵 × 𝐴)) = ((𝑦 ↑ 𝐵) × (𝐴 × 𝐵)))
55	32	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ SRing)
56	25, 28	mulgnn0cl 18635	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝑦 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆)
57	44, 45, 46, 56	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑦 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆)
58	33	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ 𝑆)
59	24, 34	srgass 19664	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝑦 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → (((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐵) × 𝐴) = ((𝑦 ↑ 𝐵) × (𝐵 × 𝐴)))
60	55, 57, 46, 58, 59	syl13anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐵) × 𝐴) = ((𝑦 ↑ 𝐵) × (𝐵 × 𝐴)))
61	24, 34	srgass 19664	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝑦 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → (((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐴) × 𝐵) = ((𝑦 ↑ 𝐵) × (𝐴 × 𝐵)))
62	55, 57, 58, 46, 61	syl13anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐴) × 𝐵) = ((𝑦 ↑ 𝐵) × (𝐴 × 𝐵)))
63	54, 60, 62	3eqtr4d 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐵) × 𝐴) = (((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐴) × 𝐵))
64	50, 63	eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 + 1) ↑ 𝐵) × 𝐴) = (((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐴) × 𝐵))
65	64	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑦 ↑ 𝐵))) → (((𝑦 + 1) ↑ 𝐵) × 𝐴) = (((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐴) × 𝐵))
66		oveq1 7262	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑦 ↑ 𝐵)) → (((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐴) × 𝐵) = ((𝐴 × (𝑦 ↑ 𝐵)) × 𝐵))
67	24, 34	srgass 19664	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑦 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → ((𝐴 × (𝑦 ↑ 𝐵)) × 𝐵) = (𝐴 × ((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐵)))
68	55, 58, 57, 46, 67	syl13anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝐴 × (𝑦 ↑ 𝐵)) × 𝐵) = (𝐴 × ((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐵)))
69	49	eqcomd 2744	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐵) = ((𝑦 + 1) ↑ 𝐵))
70	69	oveq2d 7271	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝐴 × ((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐵)) = (𝐴 × ((𝑦 + 1) ↑ 𝐵)))
71	68, 70	eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝐴 × (𝑦 ↑ 𝐵)) × 𝐵) = (𝐴 × ((𝑦 + 1) ↑ 𝐵)))
72	66, 71	sylan9eqr 2801	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑦 ↑ 𝐵))) → (((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐴) × 𝐵) = (𝐴 × ((𝑦 + 1) ↑ 𝐵)))
73	65, 72	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑦 ↑ 𝐵))) → (((𝑦 + 1) ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × ((𝑦 + 1) ↑ 𝐵)))
74	73	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑦 ↑ 𝐵)) → (((𝑦 + 1) ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × ((𝑦 + 1) ↑ 𝐵))))
75	74	expcom 413	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑦 ↑ 𝐵)) → (((𝑦 + 1) ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × ((𝑦 + 1) ↑ 𝐵)))))
76	75	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → ((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑦 ↑ 𝐵))) → (𝜑 → (((𝑦 + 1) ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × ((𝑦 + 1) ↑ 𝐵)))))
77	6, 11, 16, 21, 41, 76	nn0ind 12345	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝜑 → ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝐾 ↑ 𝐵))))
78	1, 77	mpcom 38	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝐾 ↑ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805  ℕ₀cn0 12163  Basecbs 16840  ._rcmulr 16889  Mndcmnd 18300  ._gcmg 18615  mulGrpcmgp 19635  1_rcur 19652  SRingcsrg 19656

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-seq 13650  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mulg 18616  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-srg 19657

This theorem is referenced by:  srgpcompp  19684  mplcoe5lem  21150