MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srgpcomp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem srgpcomp 19949
Description: If two elements of a semiring commute, they also commute if one of the elements is raised to a higher power. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srgpcomp.s 𝑆 = (Base‘𝑅)
srgpcomp.m × = (.r𝑅)
srgpcomp.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
srgpcomp.e = (.g𝐺)
srgpcomp.r (𝜑𝑅 ∈ SRing)
srgpcomp.a (𝜑𝐴𝑆)
srgpcomp.b (𝜑𝐵𝑆)
srgpcomp.k (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
srgpcomp.c (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
Assertion
Ref Expression
srgpcomp (𝜑 → ((𝐾 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝐾 𝐵)))

Proof of Theorem srgpcomp
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 srgpcomp.k . 2 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
2 oveq1 7364 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝑥 𝐵) = (0 𝐵))
32oveq1d 7372 . . . . 5 (𝑥 = 0 → ((𝑥 𝐵) × 𝐴) = ((0 𝐵) × 𝐴))
42oveq2d 7373 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (𝐴 × (𝑥 𝐵)) = (𝐴 × (0 𝐵)))
53, 4eqeq12d 2752 . . . 4 (𝑥 = 0 → (((𝑥 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑥 𝐵)) ↔ ((0 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (0 𝐵))))
65imbi2d 340 . . 3 (𝑥 = 0 → ((𝜑 → ((𝑥 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑥 𝐵))) ↔ (𝜑 → ((0 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (0 𝐵)))))
7 oveq1 7364 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 𝐵) = (𝑦 𝐵))
87oveq1d 7372 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 𝐵) × 𝐴) = ((𝑦 𝐵) × 𝐴))
97oveq2d 7373 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 × (𝑥 𝐵)) = (𝐴 × (𝑦 𝐵)))
108, 9eqeq12d 2752 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (((𝑥 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑥 𝐵)) ↔ ((𝑦 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑦 𝐵))))
1110imbi2d 340 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 → ((𝑥 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑥 𝐵))) ↔ (𝜑 → ((𝑦 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑦 𝐵)))))
12 oveq1 7364 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 𝐵) = ((𝑦 + 1) 𝐵))
1312oveq1d 7372 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 𝐵) × 𝐴) = (((𝑦 + 1) 𝐵) × 𝐴))
1412oveq2d 7373 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐴 × (𝑥 𝐵)) = (𝐴 × ((𝑦 + 1) 𝐵)))
1513, 14eqeq12d 2752 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((𝑥 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑥 𝐵)) ↔ (((𝑦 + 1) 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × ((𝑦 + 1) 𝐵))))
1615imbi2d 340 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝜑 → ((𝑥 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑥 𝐵))) ↔ (𝜑 → (((𝑦 + 1) 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × ((𝑦 + 1) 𝐵)))))
17 oveq1 7364 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐾 → (𝑥 𝐵) = (𝐾 𝐵))
1817oveq1d 7372 . . . . 5 (𝑥 = 𝐾 → ((𝑥 𝐵) × 𝐴) = ((𝐾 𝐵) × 𝐴))
1917oveq2d 7373 . . . . 5 (𝑥 = 𝐾 → (𝐴 × (𝑥 𝐵)) = (𝐴 × (𝐾 𝐵)))
2018, 19eqeq12d 2752 . . . 4 (𝑥 = 𝐾 → (((𝑥 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑥 𝐵)) ↔ ((𝐾 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝐾 𝐵))))
2120imbi2d 340 . . 3 (𝑥 = 𝐾 → ((𝜑 → ((𝑥 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑥 𝐵))) ↔ (𝜑 → ((𝐾 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝐾 𝐵)))))
22 srgpcomp.b . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑆)
23 srgpcomp.g . . . . . . . 8 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
24 srgpcomp.s . . . . . . . 8 𝑆 = (Base‘𝑅)
2523, 24mgpbas 19902 . . . . . . 7 𝑆 = (Base‘𝐺)
26 eqid 2736 . . . . . . . 8 (1r𝑅) = (1r𝑅)
2723, 26ringidval 19915 . . . . . . 7 (1r𝑅) = (0g𝐺)
28 srgpcomp.e . . . . . . 7 = (.g𝐺)
2925, 27, 28mulg0 18879 . . . . . 6 (𝐵𝑆 → (0 𝐵) = (1r𝑅))
3022, 29syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0 𝐵) = (1r𝑅))
3130oveq1d 7372 . . . 4 (𝜑 → ((0 𝐵) × 𝐴) = ((1r𝑅) × 𝐴))
32 srgpcomp.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ SRing)
33 srgpcomp.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑆)
34 srgpcomp.m . . . . . . 7 × = (.r𝑅)
3524, 34, 26srgridm 19934 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝐴𝑆) → (𝐴 × (1r𝑅)) = 𝐴)
3632, 33, 35syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 × (1r𝑅)) = 𝐴)
3730oveq2d 7373 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 × (0 𝐵)) = (𝐴 × (1r𝑅)))
3824, 34, 26srglidm 19933 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝐴𝑆) → ((1r𝑅) × 𝐴) = 𝐴)
3932, 33, 38syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ((1r𝑅) × 𝐴) = 𝐴)
4036, 37, 393eqtr4rd 2787 . . . 4 (𝜑 → ((1r𝑅) × 𝐴) = (𝐴 × (0 𝐵)))
4131, 40eqtrd 2776 . . 3 (𝜑 → ((0 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (0 𝐵)))
4223srgmgp 19922 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ SRing → 𝐺 ∈ Mnd)
4332, 42syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
4443adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Mnd)
45 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℕ0)
4622adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) → 𝐵𝑆)
4723, 34mgpplusg 19900 . . . . . . . . . . . 12 × = (+g𝐺)
4825, 28, 47mulgnn0p1 18887 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝐵𝑆) → ((𝑦 + 1) 𝐵) = ((𝑦 𝐵) × 𝐵))
4944, 45, 46, 48syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 + 1) 𝐵) = ((𝑦 𝐵) × 𝐵))
5049oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 + 1) 𝐵) × 𝐴) = (((𝑦 𝐵) × 𝐵) × 𝐴))
51 srgpcomp.c . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
5251eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵 × 𝐴) = (𝐴 × 𝐵))
5352adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) → (𝐵 × 𝐴) = (𝐴 × 𝐵))
5453oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 𝐵) × (𝐵 × 𝐴)) = ((𝑦 𝐵) × (𝐴 × 𝐵)))
5532adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ SRing)
5625, 28, 44, 45, 46mulgnn0cld 18897 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑦 𝐵) ∈ 𝑆)
5733adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) → 𝐴𝑆)
5824, 34srgass 19925 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝑦 𝐵) ∈ 𝑆𝐵𝑆𝐴𝑆)) → (((𝑦 𝐵) × 𝐵) × 𝐴) = ((𝑦 𝐵) × (𝐵 × 𝐴)))
5955, 56, 46, 57, 58syl13anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 𝐵) × 𝐵) × 𝐴) = ((𝑦 𝐵) × (𝐵 × 𝐴)))
6024, 34srgass 19925 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝑦 𝐵) ∈ 𝑆𝐴𝑆𝐵𝑆)) → (((𝑦 𝐵) × 𝐴) × 𝐵) = ((𝑦 𝐵) × (𝐴 × 𝐵)))
6155, 56, 57, 46, 60syl13anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 𝐵) × 𝐴) × 𝐵) = ((𝑦 𝐵) × (𝐴 × 𝐵)))
6254, 59, 613eqtr4d 2786 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 𝐵) × 𝐵) × 𝐴) = (((𝑦 𝐵) × 𝐴) × 𝐵))
6350, 62eqtrd 2776 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 + 1) 𝐵) × 𝐴) = (((𝑦 𝐵) × 𝐴) × 𝐵))
6463adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑦 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑦 𝐵))) → (((𝑦 + 1) 𝐵) × 𝐴) = (((𝑦 𝐵) × 𝐴) × 𝐵))
65 oveq1 7364 . . . . . . . 8 (((𝑦 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑦 𝐵)) → (((𝑦 𝐵) × 𝐴) × 𝐵) = ((𝐴 × (𝑦 𝐵)) × 𝐵))
6624, 34srgass 19925 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝐴𝑆 ∧ (𝑦 𝐵) ∈ 𝑆𝐵𝑆)) → ((𝐴 × (𝑦 𝐵)) × 𝐵) = (𝐴 × ((𝑦 𝐵) × 𝐵)))
6755, 57, 56, 46, 66syl13anc 1372 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝐴 × (𝑦 𝐵)) × 𝐵) = (𝐴 × ((𝑦 𝐵) × 𝐵)))
6849eqcomd 2742 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 𝐵) × 𝐵) = ((𝑦 + 1) 𝐵))
6968oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) → (𝐴 × ((𝑦 𝐵) × 𝐵)) = (𝐴 × ((𝑦 + 1) 𝐵)))
7067, 69eqtrd 2776 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝐴 × (𝑦 𝐵)) × 𝐵) = (𝐴 × ((𝑦 + 1) 𝐵)))
7165, 70sylan9eqr 2798 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑦 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑦 𝐵))) → (((𝑦 𝐵) × 𝐴) × 𝐵) = (𝐴 × ((𝑦 + 1) 𝐵)))
7264, 71eqtrd 2776 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑦 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑦 𝐵))) → (((𝑦 + 1) 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × ((𝑦 + 1) 𝐵)))
7372ex 413 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑦 𝐵)) → (((𝑦 + 1) 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × ((𝑦 + 1) 𝐵))))
7473expcom 414 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (((𝑦 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑦 𝐵)) → (((𝑦 + 1) 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × ((𝑦 + 1) 𝐵)))))
7574a2d 29 . . 3 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → ((𝑦 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑦 𝐵))) → (𝜑 → (((𝑦 + 1) 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × ((𝑦 + 1) 𝐵)))))
766, 11, 16, 21, 41, 75nn0ind 12598 . 2 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝜑 → ((𝐾 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝐾 𝐵))))
771, 76mpcom 38 1 (𝜑 → ((𝐾 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝐾 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6496  (class class class)co 7357  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054  0cn0 12413  Basecbs 17083  .rcmulr 17134  Mndcmnd 18556  .gcmg 18872  mulGrpcmgp 19896  1rcur 19913  SRingcsrg 19917
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-seq 13907  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mulg 18873  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-srg 19918
This theorem is referenced by:  srgpcompp  19950  mplcoe5lem  21440
  Copyright terms: Public domain W3C validator