Theorem srgpcomp 20103

Description: If two elements of a semiring commute, they also commute if one of the elements is raised to a higher power. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgpcomp.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
srgpcomp.m	⊢ × = (.r‘𝑅)
srgpcomp.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
srgpcomp.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
srgpcomp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
srgpcomp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
srgpcomp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
srgpcomp.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
srgpcomp.c	⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
srgpcomp	⊢ (𝜑 → ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝐾 ↑ 𝐵)))

Proof of Theorem srgpcomp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgpcomp.k	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
2		oveq1 7356	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ↑ 𝐵) = (0 ↑ 𝐵))
3	2	oveq1d 7364	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 ↑ 𝐵) × 𝐴) = ((0 ↑ 𝐵) × 𝐴))
4	2	oveq2d 7365	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐴 × (𝑥 ↑ 𝐵)) = (𝐴 × (0 ↑ 𝐵)))
5	3, 4	eqeq12d 2745	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (((𝑥 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑥 ↑ 𝐵)) ↔ ((0 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (0 ↑ 𝐵))))
6	5	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝜑 → ((𝑥 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑥 ↑ 𝐵))) ↔ (𝜑 → ((0 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (0 ↑ 𝐵)))))
7		oveq1 7356	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ↑ 𝐵) = (𝑦 ↑ 𝐵))
8	7	oveq1d 7364	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ↑ 𝐵) × 𝐴) = ((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐴))
9	7	oveq2d 7365	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 × (𝑥 ↑ 𝐵)) = (𝐴 × (𝑦 ↑ 𝐵)))
10	8, 9	eqeq12d 2745	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝑥 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑥 ↑ 𝐵)) ↔ ((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑦 ↑ 𝐵))))
11	10	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 → ((𝑥 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑥 ↑ 𝐵))) ↔ (𝜑 → ((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑦 ↑ 𝐵)))))
12		oveq1 7356	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 ↑ 𝐵) = ((𝑦 + 1) ↑ 𝐵))
13	12	oveq1d 7364	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (((𝑦 + 1) ↑ 𝐵) × 𝐴))
14	12	oveq2d 7365	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐴 × (𝑥 ↑ 𝐵)) = (𝐴 × ((𝑦 + 1) ↑ 𝐵)))
15	13, 14	eqeq12d 2745	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((𝑥 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑥 ↑ 𝐵)) ↔ (((𝑦 + 1) ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × ((𝑦 + 1) ↑ 𝐵))))
16	15	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝜑 → ((𝑥 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑥 ↑ 𝐵))) ↔ (𝜑 → (((𝑦 + 1) ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × ((𝑦 + 1) ↑ 𝐵)))))
17		oveq1 7356	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝑥 ↑ 𝐵) = (𝐾 ↑ 𝐵))
18	17	oveq1d 7364	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → ((𝑥 ↑ 𝐵) × 𝐴) = ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴))
19	17	oveq2d 7365	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝐴 × (𝑥 ↑ 𝐵)) = (𝐴 × (𝐾 ↑ 𝐵)))
20	18, 19	eqeq12d 2745	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (((𝑥 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑥 ↑ 𝐵)) ↔ ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝐾 ↑ 𝐵))))
21	20	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → ((𝜑 → ((𝑥 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑥 ↑ 𝐵))) ↔ (𝜑 → ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝐾 ↑ 𝐵)))))
22		srgpcomp.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
23		srgpcomp.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
24		srgpcomp.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
25	23, 24	mgpbas 20030	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐺)
26		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
27	23, 26	ringidval 20068	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘𝐺)
28		srgpcomp.e	. . . . . . 7 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
29	25, 27, 28	mulg0 18953	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑆 → (0 ↑ 𝐵) = (1r‘𝑅))
30	22, 29	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 ↑ 𝐵) = (1r‘𝑅))
31	30	oveq1d 7364	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0 ↑ 𝐵) × 𝐴) = ((1r‘𝑅) × 𝐴))
32		srgpcomp.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
33		srgpcomp.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
34		srgpcomp.m	. . . . . . 7 ⊢ × = (.r‘𝑅)
35	24, 34, 26	srgridm 20088	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝐴 × (1r‘𝑅)) = 𝐴)
36	32, 33, 35	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × (1r‘𝑅)) = 𝐴)
37	30	oveq2d 7365	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × (0 ↑ 𝐵)) = (𝐴 × (1r‘𝑅)))
38	24, 34, 26	srglidm 20087	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ((1r‘𝑅) × 𝐴) = 𝐴)
39	32, 33, 38	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) × 𝐴) = 𝐴)
40	36, 37, 39	3eqtr4rd 2775	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) × 𝐴) = (𝐴 × (0 ↑ 𝐵)))
41	31, 40	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (0 ↑ 𝐵)))
42	23	srgmgp 20076	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝐺 ∈ Mnd)
43	32, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
44	43	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Mnd)
45		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℕ0)
46	22	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ 𝑆)
47	23, 34	mgpplusg 20029	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ × = (+g‘𝐺)
48	25, 28, 47	mulgnn0p1 18964	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝐵) = ((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐵))
49	44, 45, 46, 48	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝐵) = ((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐵))
50	49	oveq1d 7364	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 + 1) ↑ 𝐵) × 𝐴) = (((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐵) × 𝐴))
51		srgpcomp.c	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
52	51	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × 𝐴) = (𝐴 × 𝐵))
53	52	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝐵 × 𝐴) = (𝐴 × 𝐵))
54	53	oveq2d 7365	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 ↑ 𝐵) × (𝐵 × 𝐴)) = ((𝑦 ↑ 𝐵) × (𝐴 × 𝐵)))
55	32	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ SRing)
56	25, 28, 44, 45, 46	mulgnn0cld 18974	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑦 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆)
57	33	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ 𝑆)
58	24, 34	srgass 20079	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝑦 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → (((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐵) × 𝐴) = ((𝑦 ↑ 𝐵) × (𝐵 × 𝐴)))
59	55, 56, 46, 57, 58	syl13anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐵) × 𝐴) = ((𝑦 ↑ 𝐵) × (𝐵 × 𝐴)))
60	24, 34	srgass 20079	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝑦 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → (((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐴) × 𝐵) = ((𝑦 ↑ 𝐵) × (𝐴 × 𝐵)))
61	55, 56, 57, 46, 60	syl13anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐴) × 𝐵) = ((𝑦 ↑ 𝐵) × (𝐴 × 𝐵)))
62	54, 59, 61	3eqtr4d 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐵) × 𝐴) = (((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐴) × 𝐵))
63	50, 62	eqtrd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 + 1) ↑ 𝐵) × 𝐴) = (((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐴) × 𝐵))
64	63	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑦 ↑ 𝐵))) → (((𝑦 + 1) ↑ 𝐵) × 𝐴) = (((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐴) × 𝐵))
65		oveq1 7356	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑦 ↑ 𝐵)) → (((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐴) × 𝐵) = ((𝐴 × (𝑦 ↑ 𝐵)) × 𝐵))
66	24, 34	srgass 20079	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑦 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → ((𝐴 × (𝑦 ↑ 𝐵)) × 𝐵) = (𝐴 × ((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐵)))
67	55, 57, 56, 46, 66	syl13anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝐴 × (𝑦 ↑ 𝐵)) × 𝐵) = (𝐴 × ((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐵)))
68	49	eqcomd 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐵) = ((𝑦 + 1) ↑ 𝐵))
69	68	oveq2d 7365	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝐴 × ((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐵)) = (𝐴 × ((𝑦 + 1) ↑ 𝐵)))
70	67, 69	eqtrd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝐴 × (𝑦 ↑ 𝐵)) × 𝐵) = (𝐴 × ((𝑦 + 1) ↑ 𝐵)))
71	65, 70	sylan9eqr 2786	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑦 ↑ 𝐵))) → (((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐴) × 𝐵) = (𝐴 × ((𝑦 + 1) ↑ 𝐵)))
72	64, 71	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑦 ↑ 𝐵))) → (((𝑦 + 1) ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × ((𝑦 + 1) ↑ 𝐵)))
73	72	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑦 ↑ 𝐵)) → (((𝑦 + 1) ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × ((𝑦 + 1) ↑ 𝐵))))
74	73	expcom 413	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑦 ↑ 𝐵)) → (((𝑦 + 1) ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × ((𝑦 + 1) ↑ 𝐵)))))
75	74	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → ((𝑦 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝑦 ↑ 𝐵))) → (𝜑 → (((𝑦 + 1) ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × ((𝑦 + 1) ↑ 𝐵)))))
76	6, 11, 16, 21, 41, 75	nn0ind 12571	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝜑 → ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝐾 ↑ 𝐵))))
77	1, 76	mpcom 38	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝐾 ↑ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012  ℕ₀cn0 12384  Basecbs 17120  ._rcmulr 17162  Mndcmnd 18608  ._gcmg 18946  mulGrpcmgp 20025  1_rcur 20066  SRingcsrg 20071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-seq 13909  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-0g 17345  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-mulg 18947  df-mgp 20026  df-ur 20067  df-srg 20072

This theorem is referenced by:  srgpcompp  20104  mplcoe5lem  21944