Theorem sseqmw 34016

Description: Lemma for sseqf 34017 amd sseqp1 34020. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
sseqval.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
sseqval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Word 𝑆)
sseqval.3	⊢ 𝑊 = (Word 𝑆 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
sseqval.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑊⟶𝑆)

Assertion

Ref	Expression
sseqmw	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑊)

Proof of Theorem sseqmw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseqval.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Word 𝑆)
2		elex 3490	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ Word 𝑆 → 𝑀 ∈ V)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ V)
4		lencl 14521	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑀) ∈ ℕ0)
5	4	nn0zd 12620	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑀) ∈ ℤ)
6		uzid 12873	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑀) ∈ ℤ → (♯‘𝑀) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))
7	1, 5, 6	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑀) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))
8		hashf 14335	. . . . 5 ⊢ ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
9		ffn 6725	. . . . 5 ⊢ (♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → ♯ Fn V)
10		elpreima 7070	. . . . 5 ⊢ (♯ Fn V → (𝑀 ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) ↔ (𝑀 ∈ V ∧ (♯‘𝑀) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))))
11	8, 9, 10	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) ↔ (𝑀 ∈ V ∧ (♯‘𝑀) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
12	3, 7, 11	sylanbrc 581	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
13	1, 12	elind 4194	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Word 𝑆 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))))
14		sseqval.3	. 2 ⊢ 𝑊 = (Word 𝑆 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
15	13, 14	eleqtrrdi 2839	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3471   ∪ cun 3945   ∩ cin 3946  {csn 4630  ^◡ccnv 5679   “ cima 5683   Fn wfn 6546  ⟶wf 6547  ‘cfv 6551  +∞cpnf 11281  ℕ₀cn0 12508  ℤcz 12594  ℤ_≥cuz 12858  ♯chash 14327  Word cword 14502

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-card 9968  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-n0 12509  df-xnn0 12581  df-z 12595  df-uz 12859  df-fz 13523  df-fzo 13666  df-hash 14328  df-word 14503

This theorem is referenced by:  sseqf  34017