Theorem sseqmw 31878

Description: Lemma for sseqf 31879 amd sseqp1 31882. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
sseqval.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
sseqval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Word 𝑆)
sseqval.3	⊢ 𝑊 = (Word 𝑆 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
sseqval.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑊⟶𝑆)

Assertion

Ref	Expression
sseqmw	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑊)

Proof of Theorem sseqmw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseqval.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Word 𝑆)
2		elex 3429	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ Word 𝑆 → 𝑀 ∈ V)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ V)
4		lencl 13933	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑀) ∈ ℕ0)
5	4	nn0zd 12125	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑀) ∈ ℤ)
6		uzid 12298	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑀) ∈ ℤ → (♯‘𝑀) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))
7	1, 5, 6	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑀) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))
8		hashf 13749	. . . . 5 ⊢ ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
9		ffn 6499	. . . . 5 ⊢ (♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → ♯ Fn V)
10		elpreima 6820	. . . . 5 ⊢ (♯ Fn V → (𝑀 ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) ↔ (𝑀 ∈ V ∧ (♯‘𝑀) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))))
11	8, 9, 10	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) ↔ (𝑀 ∈ V ∧ (♯‘𝑀) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
12	3, 7, 11	sylanbrc 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
13	1, 12	elind 4100	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Word 𝑆 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))))
14		sseqval.3	. 2 ⊢ 𝑊 = (Word 𝑆 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
15	13, 14	eleqtrrdi 2864	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  Vcvv 3410   ∪ cun 3857   ∩ cin 3858  {csn 4523  ^◡ccnv 5524   “ cima 5528   Fn wfn 6331  ⟶wf 6332  ‘cfv 6336  +∞cpnf 10711  ℕ₀cn0 11935  ℤcz 12021  ℤ_≥cuz 12283  ♯chash 13741  Word cword 13914

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10632  ax-resscn 10633  ax-1cn 10634  ax-icn 10635  ax-addcl 10636  ax-addrcl 10637  ax-mulcl 10638  ax-mulrcl 10639  ax-mulcom 10640  ax-addass 10641  ax-mulass 10642  ax-distr 10643  ax-i2m1 10644  ax-1ne0 10645  ax-1rid 10646  ax-rnegex 10647  ax-rrecex 10648  ax-cnre 10649  ax-pre-lttri 10650  ax-pre-lttrn 10651  ax-pre-ltadd 10652  ax-pre-mulgt0 10653

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-int 4840  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-1o 8113  df-er 8300  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-card 9402  df-pnf 10716  df-mnf 10717  df-xr 10718  df-ltxr 10719  df-le 10720  df-sub 10911  df-neg 10912  df-nn 11676  df-n0 11936  df-xnn0 12008  df-z 12022  df-uz 12284  df-fz 12941  df-fzo 13084  df-hash 13742  df-word 13915

This theorem is referenced by:  sseqf  31879