Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sseqmw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sseqmw 33031
Description: Lemma for sseqf 33032 amd sseqp1 33035. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
sseqval.1 (šœ‘ ā†’ š‘† āˆˆ V)
sseqval.2 (šœ‘ ā†’ š‘€ āˆˆ Word š‘†)
sseqval.3 š‘Š = (Word š‘† āˆ© (ā—”ā™Æ ā€œ (ā„¤ā‰„ā€˜(ā™Æā€˜š‘€))))
sseqval.4 (šœ‘ ā†’ š¹:š‘ŠāŸ¶š‘†)
Assertion
Ref Expression
sseqmw (šœ‘ ā†’ š‘€ āˆˆ š‘Š)

Proof of Theorem sseqmw
StepHypRef Expression
1 sseqval.2 . . 3 (šœ‘ ā†’ š‘€ āˆˆ Word š‘†)
2 elex 3466 . . . . 5 (š‘€ āˆˆ Word š‘† ā†’ š‘€ āˆˆ V)
31, 2syl 17 . . . 4 (šœ‘ ā†’ š‘€ āˆˆ V)
4 lencl 14428 . . . . . 6 (š‘€ āˆˆ Word š‘† ā†’ (ā™Æā€˜š‘€) āˆˆ ā„•0)
54nn0zd 12532 . . . . 5 (š‘€ āˆˆ Word š‘† ā†’ (ā™Æā€˜š‘€) āˆˆ ā„¤)
6 uzid 12785 . . . . 5 ((ā™Æā€˜š‘€) āˆˆ ā„¤ ā†’ (ā™Æā€˜š‘€) āˆˆ (ā„¤ā‰„ā€˜(ā™Æā€˜š‘€)))
71, 5, 63syl 18 . . . 4 (šœ‘ ā†’ (ā™Æā€˜š‘€) āˆˆ (ā„¤ā‰„ā€˜(ā™Æā€˜š‘€)))
8 hashf 14245 . . . . 5 ā™Æ:VāŸ¶(ā„•0 āˆŖ {+āˆž})
9 ffn 6673 . . . . 5 (ā™Æ:VāŸ¶(ā„•0 āˆŖ {+āˆž}) ā†’ ā™Æ Fn V)
10 elpreima 7013 . . . . 5 (ā™Æ Fn V ā†’ (š‘€ āˆˆ (ā—”ā™Æ ā€œ (ā„¤ā‰„ā€˜(ā™Æā€˜š‘€))) ā†” (š‘€ āˆˆ V āˆ§ (ā™Æā€˜š‘€) āˆˆ (ā„¤ā‰„ā€˜(ā™Æā€˜š‘€)))))
118, 9, 10mp2b 10 . . . 4 (š‘€ āˆˆ (ā—”ā™Æ ā€œ (ā„¤ā‰„ā€˜(ā™Æā€˜š‘€))) ā†” (š‘€ āˆˆ V āˆ§ (ā™Æā€˜š‘€) āˆˆ (ā„¤ā‰„ā€˜(ā™Æā€˜š‘€))))
123, 7, 11sylanbrc 584 . . 3 (šœ‘ ā†’ š‘€ āˆˆ (ā—”ā™Æ ā€œ (ā„¤ā‰„ā€˜(ā™Æā€˜š‘€))))
131, 12elind 4159 . 2 (šœ‘ ā†’ š‘€ āˆˆ (Word š‘† āˆ© (ā—”ā™Æ ā€œ (ā„¤ā‰„ā€˜(ā™Æā€˜š‘€)))))
14 sseqval.3 . 2 š‘Š = (Word š‘† āˆ© (ā—”ā™Æ ā€œ (ā„¤ā‰„ā€˜(ā™Æā€˜š‘€))))
1513, 14eleqtrrdi 2849 1 (šœ‘ ā†’ š‘€ āˆˆ š‘Š)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ā†’ wi 4   ā†” wb 205   āˆ§ wa 397   = wceq 1542   āˆˆ wcel 2107  Vcvv 3448   āˆŖ cun 3913   āˆ© cin 3914  {csn 4591  ā—”ccnv 5637   ā€œ cima 5641   Fn wfn 6496  āŸ¶wf 6497  ā€˜cfv 6501  +āˆžcpnf 11193  ā„•0cn0 12420  ā„¤cz 12506  ā„¤ā‰„cuz 12770  ā™Æchash 14237  Word cword 14409
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-hash 14238  df-word 14410
This theorem is referenced by:  sseqf  33032
  Copyright terms: Public domain W3C validator