Theorem sseqmw 31649

Description: Lemma for sseqf 31650 amd sseqp1 31653. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
sseqval.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
sseqval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Word 𝑆)
sseqval.3	⊢ 𝑊 = (Word 𝑆 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
sseqval.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑊⟶𝑆)

Assertion

Ref	Expression
sseqmw	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑊)

Proof of Theorem sseqmw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseqval.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Word 𝑆)
2		elex 3512	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ Word 𝑆 → 𝑀 ∈ V)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ V)
4		lencl 13883	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑀) ∈ ℕ0)
5	4	nn0zd 12086	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑀) ∈ ℤ)
6		uzid 12259	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑀) ∈ ℤ → (♯‘𝑀) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))
7	1, 5, 6	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑀) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))
8		hashf 13699	. . . . 5 ⊢ ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
9		ffn 6514	. . . . 5 ⊢ (♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → ♯ Fn V)
10		elpreima 6828	. . . . 5 ⊢ (♯ Fn V → (𝑀 ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) ↔ (𝑀 ∈ V ∧ (♯‘𝑀) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))))
11	8, 9, 10	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) ↔ (𝑀 ∈ V ∧ (♯‘𝑀) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
12	3, 7, 11	sylanbrc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
13	1, 12	elind 4171	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Word 𝑆 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))))
14		sseqval.3	. 2 ⊢ 𝑊 = (Word 𝑆 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
15	13, 14	eleqtrrdi 2924	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3494   ∪ cun 3934   ∩ cin 3935  {csn 4567  ^◡ccnv 5554   “ cima 5558   Fn wfn 6350  ⟶wf 6351  ‘cfv 6355  +∞cpnf 10672  ℕ₀cn0 11898  ℤcz 11982  ℤ_≥cuz 12244  ♯chash 13691  Word cword 13862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-n0 11899  df-xnn0 11969  df-z 11983  df-uz 12245  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-hash 13692  df-word 13863

This theorem is referenced by:  sseqf  31650