Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sseqmw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sseqmw 33920
Description: Lemma for sseqf 33921 amd sseqp1 33924. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
sseqval.1 (šœ‘ → š‘† ∈ V)
sseqval.2 (šœ‘ → š‘€ ∈ Word š‘†)
sseqval.3 š‘Š = (Word š‘† ∩ (◔♯ ā€œ (ā„¤ā‰„ā€˜(ā™Æā€˜š‘€))))
sseqval.4 (šœ‘ → š¹:š‘ŠāŸ¶š‘†)
Assertion
Ref Expression
sseqmw (šœ‘ → š‘€ ∈ š‘Š)

Proof of Theorem sseqmw
StepHypRef Expression
1 sseqval.2 . . 3 (šœ‘ → š‘€ ∈ Word š‘†)
2 elex 3487 . . . . 5 (š‘€ ∈ Word š‘† → š‘€ ∈ V)
31, 2syl 17 . . . 4 (šœ‘ → š‘€ ∈ V)
4 lencl 14487 . . . . . 6 (š‘€ ∈ Word š‘† → (ā™Æā€˜š‘€) ∈ ā„•0)
54nn0zd 12585 . . . . 5 (š‘€ ∈ Word š‘† → (ā™Æā€˜š‘€) ∈ ℤ)
6 uzid 12838 . . . . 5 ((ā™Æā€˜š‘€) ∈ ℤ → (ā™Æā€˜š‘€) ∈ (ā„¤ā‰„ā€˜(ā™Æā€˜š‘€)))
71, 5, 63syl 18 . . . 4 (šœ‘ → (ā™Æā€˜š‘€) ∈ (ā„¤ā‰„ā€˜(ā™Æā€˜š‘€)))
8 hashf 14301 . . . . 5 ♯:V⟶(ā„•0 ∪ {+āˆž})
9 ffn 6710 . . . . 5 (♯:V⟶(ā„•0 ∪ {+āˆž}) → ♯ Fn V)
10 elpreima 7052 . . . . 5 (♯ Fn V → (š‘€ ∈ (◔♯ ā€œ (ā„¤ā‰„ā€˜(ā™Æā€˜š‘€))) ↔ (š‘€ ∈ V ∧ (ā™Æā€˜š‘€) ∈ (ā„¤ā‰„ā€˜(ā™Æā€˜š‘€)))))
118, 9, 10mp2b 10 . . . 4 (š‘€ ∈ (◔♯ ā€œ (ā„¤ā‰„ā€˜(ā™Æā€˜š‘€))) ↔ (š‘€ ∈ V ∧ (ā™Æā€˜š‘€) ∈ (ā„¤ā‰„ā€˜(ā™Æā€˜š‘€))))
123, 7, 11sylanbrc 582 . . 3 (šœ‘ → š‘€ ∈ (◔♯ ā€œ (ā„¤ā‰„ā€˜(ā™Æā€˜š‘€))))
131, 12elind 4189 . 2 (šœ‘ → š‘€ ∈ (Word š‘† ∩ (◔♯ ā€œ (ā„¤ā‰„ā€˜(ā™Æā€˜š‘€)))))
14 sseqval.3 . 2 š‘Š = (Word š‘† ∩ (◔♯ ā€œ (ā„¤ā‰„ā€˜(ā™Æā€˜š‘€))))
1513, 14eleqtrrdi 2838 1 (šœ‘ → š‘€ ∈ š‘Š)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   ∪ cun 3941   ∩ cin 3942  {csn 4623  ā—”ccnv 5668   ā€œ cima 5672   Fn wfn 6531  āŸ¶wf 6532  ā€˜cfv 6536  +āˆžcpnf 11246  ā„•0cn0 12473  ā„¤cz 12559  ā„¤ā‰„cuz 12823  ā™Æchash 14293  Word cword 14468
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-n0 12474  df-xnn0 12546  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-hash 14294  df-word 14469
This theorem is referenced by:  sseqf  33921
  Copyright terms: Public domain W3C validator