Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sseqp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sseqp1 33924
Description: Value of the strong sequence builder function at a successor. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
sseqval.1 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V)
sseqval.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ Word 𝑆)
sseqval.3 π‘Š = (Word 𝑆 ∩ (β—‘β™― β€œ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))))
sseqval.4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘ŠβŸΆπ‘†)
sseqfv2.4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€)))
Assertion
Ref Expression
sseqp1 (πœ‘ β†’ ((𝑀seqstr𝐹)β€˜π‘) = (πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑁))))

Proof of Theorem sseqp1
Dummy variables π‘₯ 𝑦 π‘Ž 𝑏 𝑖 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseqval.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V)
2 sseqval.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ Word 𝑆)
3 sseqval.3 . . 3 π‘Š = (Word 𝑆 ∩ (β—‘β™― β€œ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))))
4 sseqval.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘ŠβŸΆπ‘†)
5 sseqfv2.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€)))
61, 2, 3, 4, 5sseqfv2 33923 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑀seqstr𝐹)β€˜π‘) = (lastSβ€˜(seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘)))
7 fveq2 6884 . . . . . . 7 (𝑖 = (β™―β€˜π‘€) β†’ (seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘–) = (seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜(β™―β€˜π‘€)))
8 oveq2 7412 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (β™―β€˜π‘€) β†’ (0..^𝑖) = (0..^(β™―β€˜π‘€)))
98reseq2d 5974 . . . . . . . 8 (𝑖 = (β™―β€˜π‘€) β†’ ((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑖)) = ((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘€))))
109fveq2d 6888 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (β™―β€˜π‘€) β†’ (πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑖))) = (πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘€)))))
1110s1eqd 14555 . . . . . . . 8 (𝑖 = (β™―β€˜π‘€) β†’ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑖)))β€βŸ© = βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘€))))β€βŸ©)
129, 11oveq12d 7422 . . . . . . 7 (𝑖 = (β™―β€˜π‘€) β†’ (((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑖)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑖)))β€βŸ©) = (((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘€))) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘€))))β€βŸ©))
137, 12eqeq12d 2742 . . . . . 6 (𝑖 = (β™―β€˜π‘€) β†’ ((seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘–) = (((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑖)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑖)))β€βŸ©) ↔ (seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜(β™―β€˜π‘€)) = (((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘€))) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘€))))β€βŸ©)))
1413imbi2d 340 . . . . 5 (𝑖 = (β™―β€˜π‘€) β†’ ((πœ‘ β†’ (seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘–) = (((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑖)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑖)))β€βŸ©)) ↔ (πœ‘ β†’ (seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜(β™―β€˜π‘€)) = (((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘€))) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘€))))β€βŸ©))))
15 fveq2 6884 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑛 β†’ (seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘–) = (seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘›))
16 oveq2 7412 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑛 β†’ (0..^𝑖) = (0..^𝑛))
1716reseq2d 5974 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑛 β†’ ((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑖)) = ((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)))
1817fveq2d 6888 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑛 β†’ (πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑖))) = (πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛))))
1918s1eqd 14555 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑛 β†’ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑖)))β€βŸ© = βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)))β€βŸ©)
2017, 19oveq12d 7422 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑛 β†’ (((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑖)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑖)))β€βŸ©) = (((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)))β€βŸ©))
2115, 20eqeq12d 2742 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑛 β†’ ((seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘–) = (((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑖)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑖)))β€βŸ©) ↔ (seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘›) = (((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)))β€βŸ©)))
2221imbi2d 340 . . . . 5 (𝑖 = 𝑛 β†’ ((πœ‘ β†’ (seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘–) = (((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑖)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑖)))β€βŸ©)) ↔ (πœ‘ β†’ (seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘›) = (((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)))β€βŸ©))))
23 fveq2 6884 . . . . . . 7 (𝑖 = (𝑛 + 1) β†’ (seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘–) = (seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜(𝑛 + 1)))
24 oveq2 7412 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝑛 + 1) β†’ (0..^𝑖) = (0..^(𝑛 + 1)))
2524reseq2d 5974 . . . . . . . 8 (𝑖 = (𝑛 + 1) β†’ ((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑖)) = ((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^(𝑛 + 1))))
2625fveq2d 6888 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝑛 + 1) β†’ (πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑖))) = (πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^(𝑛 + 1)))))
2726s1eqd 14555 . . . . . . . 8 (𝑖 = (𝑛 + 1) β†’ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑖)))β€βŸ© = βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^(𝑛 + 1))))β€βŸ©)
2825, 27oveq12d 7422 . . . . . . 7 (𝑖 = (𝑛 + 1) β†’ (((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑖)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑖)))β€βŸ©) = (((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^(𝑛 + 1))) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^(𝑛 + 1))))β€βŸ©))
2923, 28eqeq12d 2742 . . . . . 6 (𝑖 = (𝑛 + 1) β†’ ((seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘–) = (((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑖)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑖)))β€βŸ©) ↔ (seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜(𝑛 + 1)) = (((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^(𝑛 + 1))) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^(𝑛 + 1))))β€βŸ©)))
3029imbi2d 340 . . . . 5 (𝑖 = (𝑛 + 1) β†’ ((πœ‘ β†’ (seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘–) = (((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑖)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑖)))β€βŸ©)) ↔ (πœ‘ β†’ (seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜(𝑛 + 1)) = (((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^(𝑛 + 1))) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^(𝑛 + 1))))β€βŸ©))))
31 fveq2 6884 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑁 β†’ (seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘–) = (seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘))
32 oveq2 7412 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑁 β†’ (0..^𝑖) = (0..^𝑁))
3332reseq2d 5974 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑁 β†’ ((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑖)) = ((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑁)))
3433fveq2d 6888 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑁 β†’ (πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑖))) = (πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑁))))
3534s1eqd 14555 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑁 β†’ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑖)))β€βŸ© = βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑁)))β€βŸ©)
3633, 35oveq12d 7422 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑁 β†’ (((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑖)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑖)))β€βŸ©) = (((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑁)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑁)))β€βŸ©))
3731, 36eqeq12d 2742 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑁 β†’ ((seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘–) = (((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑖)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑖)))β€βŸ©) ↔ (seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘) = (((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑁)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑁)))β€βŸ©)))
3837imbi2d 340 . . . . 5 (𝑖 = 𝑁 β†’ ((πœ‘ β†’ (seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘–) = (((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑖)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑖)))β€βŸ©)) ↔ (πœ‘ β†’ (seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘) = (((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑁)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑁)))β€βŸ©))))
39 ovex 7437 . . . . . . . 8 (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©) ∈ V
40 lencl 14487 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ Word 𝑆 β†’ (β™―β€˜π‘€) ∈ β„•0)
412, 40syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘€) ∈ β„•0)
42 fvconst2g 7198 . . . . . . . 8 (((𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©) ∈ V ∧ (β™―β€˜π‘€) ∈ β„•0) β†’ ((β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)})β€˜(β™―β€˜π‘€)) = (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©))
4339, 41, 42sylancr 586 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)})β€˜(β™―β€˜π‘€)) = (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©))
4440nn0zd 12585 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ Word 𝑆 β†’ (β™―β€˜π‘€) ∈ β„€)
45 seq1 13982 . . . . . . . 8 ((β™―β€˜π‘€) ∈ β„€ β†’ (seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜(β™―β€˜π‘€)) = ((β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)})β€˜(β™―β€˜π‘€)))
462, 44, 453syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜(β™―β€˜π‘€)) = ((β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)})β€˜(β™―β€˜π‘€)))
471, 2, 3, 4sseqfres 33922 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘€))) = 𝑀)
4847fveq2d 6888 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘€)))) = (πΉβ€˜π‘€))
4948s1eqd 14555 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘€))))β€βŸ© = βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)
5047, 49oveq12d 7422 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘€))) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘€))))β€βŸ©) = (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©))
5143, 46, 503eqtr4d 2776 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜(β™―β€˜π‘€)) = (((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘€))) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘€))))β€βŸ©))
5251a1i 11 . . . . 5 ((β™―β€˜π‘€) ∈ β„€ β†’ (πœ‘ β†’ (seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜(β™―β€˜π‘€)) = (((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘€))) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘€))))β€βŸ©)))
53 seqp1 13984 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€)) β†’ (seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜(𝑛 + 1)) = ((seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘›)(π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©))((β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)})β€˜(𝑛 + 1))))
5453adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) β†’ (seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜(𝑛 + 1)) = ((seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘›)(π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©))((β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)})β€˜(𝑛 + 1))))
55 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = π‘Ž β†’ π‘₯ = π‘Ž)
56 fveq2 6884 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = π‘Ž β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘Ž))
5756s1eqd 14555 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = π‘Ž β†’ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ© = βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘Ž)β€βŸ©)
5855, 57oveq12d 7422 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = π‘Ž β†’ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©) = (π‘Ž ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘Ž)β€βŸ©))
59 eqidd 2727 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑏 β†’ (π‘Ž ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘Ž)β€βŸ©) = (π‘Ž ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘Ž)β€βŸ©))
6058, 59cbvmpov 7499 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)) = (π‘Ž ∈ V, 𝑏 ∈ V ↦ (π‘Ž ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘Ž)β€βŸ©))
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) β†’ (π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)) = (π‘Ž ∈ V, 𝑏 ∈ V ↦ (π‘Ž ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘Ž)β€βŸ©)))
62 simprl 768 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) ∧ (π‘Ž = (seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘›) ∧ 𝑏 = ((β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)})β€˜(𝑛 + 1)))) β†’ π‘Ž = (seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘›))
6362fveq2d 6888 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) ∧ (π‘Ž = (seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘›) ∧ 𝑏 = ((β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)})β€˜(𝑛 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜(seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘›)))
6463s1eqd 14555 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) ∧ (π‘Ž = (seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘›) ∧ 𝑏 = ((β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)})β€˜(𝑛 + 1)))) β†’ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘Ž)β€βŸ© = βŸ¨β€œ(πΉβ€˜(seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘›))β€βŸ©)
6562, 64oveq12d 7422 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) ∧ (π‘Ž = (seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘›) ∧ 𝑏 = ((β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)})β€˜(𝑛 + 1)))) β†’ (π‘Ž ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘Ž)β€βŸ©) = ((seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘›) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜(seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘›))β€βŸ©))
66 fvexd 6899 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) β†’ (seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘›) ∈ V)
67 fvexd 6899 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) β†’ ((β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)})β€˜(𝑛 + 1)) ∈ V)
68 ovex 7437 . . . . . . . . . . . . 13 ((seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘›) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜(seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘›))β€βŸ©) ∈ V
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) β†’ ((seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘›) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜(seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘›))β€βŸ©) ∈ V)
7061, 65, 66, 67, 69ovmpod 7555 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) β†’ ((seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘›)(π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©))((β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)})β€˜(𝑛 + 1))) = ((seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘›) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜(seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘›))β€βŸ©))
7154, 70eqtrd 2766 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) β†’ (seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜(𝑛 + 1)) = ((seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘›) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜(seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘›))β€βŸ©))
7271adantr 480 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) ∧ (seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘›) = (((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)))β€βŸ©)) β†’ (seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜(𝑛 + 1)) = ((seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘›) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜(seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘›))β€βŸ©))
731adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) β†’ 𝑆 ∈ V)
742adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) β†’ 𝑀 ∈ Word 𝑆)
754adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) β†’ 𝐹:π‘ŠβŸΆπ‘†)
76 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€)))
7773, 74, 3, 75, 76sseqfv2 33923 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) β†’ ((𝑀seqstr𝐹)β€˜π‘›) = (lastSβ€˜(seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘›)))
7877adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) ∧ (seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘›) = (((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)))β€βŸ©)) β†’ ((𝑀seqstr𝐹)β€˜π‘›) = (lastSβ€˜(seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘›)))
79 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) ∧ (seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘›) = (((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)))β€βŸ©)) β†’ (seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘›) = (((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)))β€βŸ©))
8079fveq2d 6888 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) ∧ (seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘›) = (((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)))β€βŸ©)) β†’ (lastSβ€˜(seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘›)) = (lastSβ€˜(((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)))β€βŸ©)))
811, 2, 3, 4sseqf 33921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (𝑀seqstr𝐹):β„•0βŸΆπ‘†)
82 fzo0ssnn0 13716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0..^𝑛) βŠ† β„•0
83 fssres 6750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀seqstr𝐹):β„•0βŸΆπ‘† ∧ (0..^𝑛) βŠ† β„•0) β†’ ((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)):(0..^𝑛)βŸΆπ‘†)
8481, 82, 83sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ ((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)):(0..^𝑛)βŸΆπ‘†)
85 iswrdi 14472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)):(0..^𝑛)βŸΆπ‘† β†’ ((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)) ∈ Word 𝑆)
8684, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ ((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)) ∈ Word 𝑆)
8786adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) β†’ ((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)) ∈ Word 𝑆)
88 elex 3487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)) ∈ Word 𝑆 β†’ ((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)) ∈ V)
8987, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) β†’ ((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)) ∈ V)
9081adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) β†’ (𝑀seqstr𝐹):β„•0βŸΆπ‘†)
91 eluznn0 12902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((β™―β€˜π‘€) ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
9241, 91sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
9373, 90, 92subiwrdlen 33915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) β†’ (β™―β€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛))) = 𝑛)
9493, 76eqeltrd 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) β†’ (β™―β€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛))) ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€)))
95 hashf 14301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 β™―:V⟢(β„•0 βˆͺ {+∞})
96 ffn 6710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (β™―:V⟢(β„•0 βˆͺ {+∞}) β†’ β™― Fn V)
97 elpreima 7052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (β™― Fn V β†’ (((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)) ∈ (β—‘β™― β€œ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) ↔ (((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)) ∈ V ∧ (β™―β€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛))) ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€)))))
9895, 96, 97mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)) ∈ (β—‘β™― β€œ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) ↔ (((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)) ∈ V ∧ (β™―β€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛))) ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))))
9989, 94, 98sylanbrc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) β†’ ((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)) ∈ (β—‘β™― β€œ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))))
10087, 99elind 4189 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) β†’ ((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)) ∈ (Word 𝑆 ∩ (β—‘β™― β€œ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€)))))
101100, 3eleqtrrdi 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) β†’ ((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)) ∈ π‘Š)
10275, 101ffvelcdmd 7080 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) β†’ (πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛))) ∈ 𝑆)
103 lswccats1 14588 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)) ∈ Word 𝑆 ∧ (πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛))) ∈ 𝑆) β†’ (lastSβ€˜(((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)))β€βŸ©)) = (πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛))))
10487, 102, 103syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) β†’ (lastSβ€˜(((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)))β€βŸ©)) = (πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛))))
105104adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) ∧ (seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘›) = (((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)))β€βŸ©)) β†’ (lastSβ€˜(((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)))β€βŸ©)) = (πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛))))
10678, 80, 1053eqtrrd 2771 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) ∧ (seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘›) = (((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)))β€βŸ©)) β†’ (πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛))) = ((𝑀seqstr𝐹)β€˜π‘›))
107106s1eqd 14555 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) ∧ (seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘›) = (((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)))β€βŸ©)) β†’ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)))β€βŸ© = βŸ¨β€œ((𝑀seqstr𝐹)β€˜π‘›)β€βŸ©)
108107oveq2d 7420 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) ∧ (seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘›) = (((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)))β€βŸ©)) β†’ (((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)))β€βŸ©) = (((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)) ++ βŸ¨β€œ((𝑀seqstr𝐹)β€˜π‘›)β€βŸ©))
10973, 90, 92iwrdsplit 33916 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) β†’ ((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^(𝑛 + 1))) = (((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)) ++ βŸ¨β€œ((𝑀seqstr𝐹)β€˜π‘›)β€βŸ©))
110109adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) ∧ (seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘›) = (((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)))β€βŸ©)) β†’ ((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^(𝑛 + 1))) = (((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)) ++ βŸ¨β€œ((𝑀seqstr𝐹)β€˜π‘›)β€βŸ©))
111108, 79, 1103eqtr4d 2776 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) ∧ (seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘›) = (((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)))β€βŸ©)) β†’ (seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘›) = ((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^(𝑛 + 1))))
112111fveq2d 6888 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) ∧ (seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘›) = (((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)))β€βŸ©)) β†’ (πΉβ€˜(seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘›)) = (πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^(𝑛 + 1)))))
113112s1eqd 14555 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) ∧ (seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘›) = (((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)))β€βŸ©)) β†’ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜(seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘›))β€βŸ© = βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^(𝑛 + 1))))β€βŸ©)
114111, 113oveq12d 7422 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) ∧ (seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘›) = (((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)))β€βŸ©)) β†’ ((seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘›) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜(seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘›))β€βŸ©) = (((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^(𝑛 + 1))) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^(𝑛 + 1))))β€βŸ©))
11572, 114eqtrd 2766 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) ∧ (seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘›) = (((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)))β€βŸ©)) β†’ (seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜(𝑛 + 1)) = (((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^(𝑛 + 1))) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^(𝑛 + 1))))β€βŸ©))
116115ex 412 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) β†’ ((seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘›) = (((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)))β€βŸ©) β†’ (seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜(𝑛 + 1)) = (((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^(𝑛 + 1))) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^(𝑛 + 1))))β€βŸ©)))
117116expcom 413 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€)) β†’ (πœ‘ β†’ ((seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘›) = (((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)))β€βŸ©) β†’ (seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜(𝑛 + 1)) = (((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^(𝑛 + 1))) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^(𝑛 + 1))))β€βŸ©))))
118117a2d 29 . . . . 5 (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€)) β†’ ((πœ‘ β†’ (seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘›) = (((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑛)))β€βŸ©)) β†’ (πœ‘ β†’ (seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜(𝑛 + 1)) = (((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^(𝑛 + 1))) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^(𝑛 + 1))))β€βŸ©))))
11914, 22, 30, 38, 52, 118uzind4 12891 . . . 4 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€)) β†’ (πœ‘ β†’ (seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘) = (((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑁)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑁)))β€βŸ©)))
1205, 119mpcom 38 . . 3 (πœ‘ β†’ (seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘) = (((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑁)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑁)))β€βŸ©))
121120fveq2d 6888 . 2 (πœ‘ β†’ (lastSβ€˜(seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘)) = (lastSβ€˜(((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑁)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑁)))β€βŸ©)))
122 fzo0ssnn0 13716 . . . . 5 (0..^𝑁) βŠ† β„•0
123 fssres 6750 . . . . 5 (((𝑀seqstr𝐹):β„•0βŸΆπ‘† ∧ (0..^𝑁) βŠ† β„•0) β†’ ((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)βŸΆπ‘†)
12481, 122, 123sylancl 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)βŸΆπ‘†)
125 iswrdi 14472 . . . 4 (((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)βŸΆπ‘† β†’ ((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑁)) ∈ Word 𝑆)
126124, 125syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑁)) ∈ Word 𝑆)
127 elex 3487 . . . . . . . 8 (((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑁)) ∈ Word 𝑆 β†’ ((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑁)) ∈ V)
128126, 127syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑁)) ∈ V)
129 eluznn0 12902 . . . . . . . . . 10 (((β™―β€˜π‘€) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
13041, 5, 129syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
1311, 81, 130subiwrdlen 33915 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑁))) = 𝑁)
132131, 5eqeltrd 2827 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑁))) ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€)))
133 elpreima 7052 . . . . . . . 8 (β™― Fn V β†’ (((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑁)) ∈ (β—‘β™― β€œ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) ↔ (((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑁)) ∈ V ∧ (β™―β€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑁))) ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€)))))
13495, 96, 133mp2b 10 . . . . . . 7 (((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑁)) ∈ (β—‘β™― β€œ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) ↔ (((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑁)) ∈ V ∧ (β™―β€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑁))) ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))))
135128, 132, 134sylanbrc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑁)) ∈ (β—‘β™― β€œ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))))
136126, 135elind 4189 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑁)) ∈ (Word 𝑆 ∩ (β—‘β™― β€œ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€)))))
137136, 3eleqtrrdi 2838 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑁)) ∈ π‘Š)
1384, 137ffvelcdmd 7080 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑁))) ∈ 𝑆)
139 lswccats1 14588 . . 3 ((((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑁)) ∈ Word 𝑆 ∧ (πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑁))) ∈ 𝑆) β†’ (lastSβ€˜(((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑁)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑁)))β€βŸ©)) = (πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑁))))
140126, 138, 139syl2anc 583 . 2 (πœ‘ β†’ (lastSβ€˜(((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑁)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑁)))β€βŸ©)) = (πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑁))))
1416, 121, 1403eqtrd 2770 1 (πœ‘ β†’ ((𝑀seqstr𝐹)β€˜π‘) = (πΉβ€˜((𝑀seqstr𝐹) β†Ύ (0..^𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   βˆͺ cun 3941   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  {csn 4623   Γ— cxp 5667  β—‘ccnv 5668   β†Ύ cres 5671   β€œ cima 5672   Fn wfn 6531  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   ∈ cmpo 7406  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112  +∞cpnf 11246  β„•0cn0 12473  β„€cz 12559  β„€β‰₯cuz 12823  ..^cfzo 13630  seqcseq 13969  β™―chash 14293  Word cword 14468  lastSclsw 14516   ++ cconcat 14524  βŸ¨β€œcs1 14549  seqstrcsseq 33912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-n0 12474  df-xnn0 12546  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-hash 14294  df-word 14469  df-lsw 14517  df-concat 14525  df-s1 14550  df-substr 14595  df-pfx 14625  df-sseq 33913
This theorem is referenced by:  fibp1  33930
  Copyright terms: Public domain W3C validator