Theorem sseqp1 34360

Description: Value of the strong sequence builder function at a successor. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
sseqval.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
sseqval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Word 𝑆)
sseqval.3	⊢ 𝑊 = (Word 𝑆 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
sseqval.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑊⟶𝑆)
sseqfv2.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))

Assertion

Ref	Expression
sseqp1	⊢ (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹)‘𝑁) = (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁))))

Proof of Theorem sseqp1

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 𝑖 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseqval.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
2		sseqval.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Word 𝑆)
3		sseqval.3	. . 3 ⊢ 𝑊 = (Word 𝑆 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
4		sseqval.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑊⟶𝑆)
5		sseqfv2.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))
6	1, 2, 3, 4, 5	sseqfv2 34359	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹)‘𝑁) = (lastS‘(seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑁)))
7		fveq2 6920	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (♯‘𝑀) → (seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑖) = (seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘(♯‘𝑀)))
8		oveq2 7456	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = (♯‘𝑀) → (0..^𝑖) = (0..^(♯‘𝑀)))
9	8	reseq2d 6009	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (♯‘𝑀) → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)) = ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(♯‘𝑀))))
10	9	fveq2d 6924	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = (♯‘𝑀) → (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖))) = (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(♯‘𝑀)))))
11	10	s1eqd 14649	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (♯‘𝑀) → ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)))”⟩ = ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(♯‘𝑀))))”⟩)
12	9, 11	oveq12d 7466	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (♯‘𝑀) → (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)))”⟩) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(♯‘𝑀))) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(♯‘𝑀))))”⟩))
13	7, 12	eqeq12d 2756	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (♯‘𝑀) → ((seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑖) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)))”⟩) ↔ (seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘(♯‘𝑀)) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(♯‘𝑀))) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(♯‘𝑀))))”⟩)))
14	13	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = (♯‘𝑀) → ((𝜑 → (seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑖) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)))”⟩)) ↔ (𝜑 → (seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘(♯‘𝑀)) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(♯‘𝑀))) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(♯‘𝑀))))”⟩))))
15		fveq2 6920	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑖) = (seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑛))
16		oveq2 7456	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (0..^𝑖) = (0..^𝑛))
17	16	reseq2d 6009	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)) = ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))
18	17	fveq2d 6924	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖))) = (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛))))
19	18	s1eqd 14649	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)))”⟩ = ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)
20	17, 19	oveq12d 7466	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)))”⟩) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩))
21	15, 20	eqeq12d 2756	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → ((seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑖) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)))”⟩) ↔ (seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)))
22	21	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → ((𝜑 → (seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑖) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)))”⟩)) ↔ (𝜑 → (seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩))))
23		fveq2 6920	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (𝑛 + 1) → (seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑖) = (seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘(𝑛 + 1)))
24		oveq2 7456	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = (𝑛 + 1) → (0..^𝑖) = (0..^(𝑛 + 1)))
25	24	reseq2d 6009	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (𝑛 + 1) → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)) = ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))))
26	25	fveq2d 6924	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = (𝑛 + 1) → (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖))) = (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1)))))
27	26	s1eqd 14649	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (𝑛 + 1) → ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)))”⟩ = ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))))”⟩)
28	25, 27	oveq12d 7466	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (𝑛 + 1) → (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)))”⟩) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))))”⟩))
29	23, 28	eqeq12d 2756	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (𝑛 + 1) → ((seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑖) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)))”⟩) ↔ (seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘(𝑛 + 1)) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))))”⟩)))
30	29	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = (𝑛 + 1) → ((𝜑 → (seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑖) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)))”⟩)) ↔ (𝜑 → (seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘(𝑛 + 1)) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))))”⟩))))
31		fveq2 6920	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → (seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑖) = (seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑁))
32		oveq2 7456	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → (0..^𝑖) = (0..^𝑁))
33	32	reseq2d 6009	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)) = ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)))
34	33	fveq2d 6924	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖))) = (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁))))
35	34	s1eqd 14649	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)))”⟩ = ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)))”⟩)
36	33, 35	oveq12d 7466	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)))”⟩) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)))”⟩))
37	31, 36	eqeq12d 2756	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → ((seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑖) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)))”⟩) ↔ (seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑁) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)))”⟩)))
38	37	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → ((𝜑 → (seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑖) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)))”⟩)) ↔ (𝜑 → (seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑁) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)))”⟩))))
39		ovex 7481	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ∈ V
40		lencl 14581	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑀) ∈ ℕ0)
41	2, 40	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑀) ∈ ℕ0)
42		fvconst2g 7239	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ∈ V ∧ (♯‘𝑀) ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})‘(♯‘𝑀)) = (𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩))
43	39, 41, 42	sylancr 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})‘(♯‘𝑀)) = (𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩))
44	40	nn0zd 12665	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑀) ∈ ℤ)
45		seq1 14065	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑀) ∈ ℤ → (seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘(♯‘𝑀)) = ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})‘(♯‘𝑀)))
46	2, 44, 45	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘(♯‘𝑀)) = ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})‘(♯‘𝑀)))
47	1, 2, 3, 4	sseqfres 34358	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(♯‘𝑀))) = 𝑀)
48	47	fveq2d 6924	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(♯‘𝑀)))) = (𝐹‘𝑀))
49	48	s1eqd 14649	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(♯‘𝑀))))”⟩ = ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)
50	47, 49	oveq12d 7466	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(♯‘𝑀))) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(♯‘𝑀))))”⟩) = (𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩))
51	43, 46, 50	3eqtr4d 2790	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘(♯‘𝑀)) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(♯‘𝑀))) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(♯‘𝑀))))”⟩))
52	51	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑀) ∈ ℤ → (𝜑 → (seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘(♯‘𝑀)) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(♯‘𝑀))) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(♯‘𝑀))))”⟩)))
53		seqp1 14067	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)) → (seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘(𝑛 + 1)) = ((seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑛)(𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩))((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})‘(𝑛 + 1))))
54	53	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) → (seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘(𝑛 + 1)) = ((seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑛)(𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩))((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})‘(𝑛 + 1))))
55		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → 𝑥 = 𝑎)
56		fveq2 6920	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑎))
57	56	s1eqd 14649	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩ = ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩)
58	55, 57	oveq12d 7466	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩) = (𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩))
59		eqidd 2741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) = (𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩))
60	58, 59	cbvmpov 7545	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)) = (𝑎 ∈ V, 𝑏 ∈ V ↦ (𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩))
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) → (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)) = (𝑎 ∈ V, 𝑏 ∈ V ↦ (𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩)))
62		simprl 770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) ∧ (𝑎 = (seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑛) ∧ 𝑏 = ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})‘(𝑛 + 1)))) → 𝑎 = (seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑛))
63	62	fveq2d 6924	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) ∧ (𝑎 = (seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑛) ∧ 𝑏 = ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})‘(𝑛 + 1)))) → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘(seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑛)))
64	63	s1eqd 14649	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) ∧ (𝑎 = (seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑛) ∧ 𝑏 = ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})‘(𝑛 + 1)))) → ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩ = ⟨“(𝐹‘(seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑛))”⟩)
65	62, 64	oveq12d 7466	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) ∧ (𝑎 = (seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑛) ∧ 𝑏 = ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})‘(𝑛 + 1)))) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) = ((seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑛) ++ ⟨“(𝐹‘(seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑛))”⟩))
66		fvexd 6935	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) → (seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑛) ∈ V)
67		fvexd 6935	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) → ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})‘(𝑛 + 1)) ∈ V)
68		ovex 7481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑛) ++ ⟨“(𝐹‘(seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑛))”⟩) ∈ V
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) → ((seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑛) ++ ⟨“(𝐹‘(seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑛))”⟩) ∈ V)
70	61, 65, 66, 67, 69	ovmpod 7602	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) → ((seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑛)(𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩))((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})‘(𝑛 + 1))) = ((seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑛) ++ ⟨“(𝐹‘(seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑛))”⟩))
71	54, 70	eqtrd 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) → (seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘(𝑛 + 1)) = ((seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑛) ++ ⟨“(𝐹‘(seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑛))”⟩))
72	71	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) ∧ (seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) → (seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘(𝑛 + 1)) = ((seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑛) ++ ⟨“(𝐹‘(seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑛))”⟩))
73	1	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) → 𝑆 ∈ V)
74	2	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) → 𝑀 ∈ Word 𝑆)
75	4	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) → 𝐹:𝑊⟶𝑆)
76		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))
77	73, 74, 3, 75, 76	sseqfv2 34359	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) → ((𝑀seqstr𝐹)‘𝑛) = (lastS‘(seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑛)))
78	77	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) ∧ (seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) → ((𝑀seqstr𝐹)‘𝑛) = (lastS‘(seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑛)))
79		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) ∧ (seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) → (seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩))
80	79	fveq2d 6924	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) ∧ (seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) → (lastS‘(seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑛)) = (lastS‘(((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)))
81	1, 2, 3, 4	sseqf 34357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑀seqstr𝐹):ℕ0⟶𝑆)
82		fzo0ssnn0 13797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (0..^𝑛) ⊆ ℕ0
83		fssres 6787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑀seqstr𝐹):ℕ0⟶𝑆 ∧ (0..^𝑛) ⊆ ℕ0) → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)):(0..^𝑛)⟶𝑆)
84	81, 82, 83	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)):(0..^𝑛)⟶𝑆)
85		iswrdi 14566	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)):(0..^𝑛)⟶𝑆 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ∈ Word 𝑆)
86	84, 85	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ∈ Word 𝑆)
87	86	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ∈ Word 𝑆)
88		elex 3509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ∈ Word 𝑆 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ∈ V)
89	87, 88	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ∈ V)
90	81	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) → (𝑀seqstr𝐹):ℕ0⟶𝑆)
91		eluznn0 12982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((♯‘𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
92	41, 91	sylan 579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
93	73, 90, 92	subiwrdlen 34351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) → (♯‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛))) = 𝑛)
94	93, 76	eqeltrd 2844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) → (♯‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛))) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))
95		hashf 14387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
96		ffn 6747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → ♯ Fn V)
97		elpreima 7091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (♯ Fn V → (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) ↔ (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ∈ V ∧ (♯‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛))) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))))
98	95, 96, 97	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) ↔ (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ∈ V ∧ (♯‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛))) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
99	89, 94, 98	sylanbrc 582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
100	87, 99	elind 4223	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ∈ (Word 𝑆 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))))
101	100, 3	eleqtrrdi 2855	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ∈ 𝑊)
102	75, 101	ffvelcdmd 7119	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) → (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛))) ∈ 𝑆)
103		lswccats1 14682	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ∈ Word 𝑆 ∧ (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛))) ∈ 𝑆) → (lastS‘(((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) = (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛))))
104	87, 102, 103	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) → (lastS‘(((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) = (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛))))
105	104	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) ∧ (seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) → (lastS‘(((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) = (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛))))
106	78, 80, 105	3eqtrrd 2785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) ∧ (seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) → (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛))) = ((𝑀seqstr𝐹)‘𝑛))
107	106	s1eqd 14649	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) ∧ (seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) → ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩ = ⟨“((𝑀seqstr𝐹)‘𝑛)”⟩)
108	107	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) ∧ (seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) → (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“((𝑀seqstr𝐹)‘𝑛)”⟩))
109	73, 90, 92	iwrdsplit 34352	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“((𝑀seqstr𝐹)‘𝑛)”⟩))
110	109	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) ∧ (seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“((𝑀seqstr𝐹)‘𝑛)”⟩))
111	108, 79, 110	3eqtr4d 2790	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) ∧ (seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) → (seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))))
112	111	fveq2d 6924	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) ∧ (seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) → (𝐹‘(seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑛)) = (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1)))))
113	112	s1eqd 14649	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) ∧ (seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) → ⟨“(𝐹‘(seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑛))”⟩ = ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))))”⟩)
114	111, 113	oveq12d 7466	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) ∧ (seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) → ((seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑛) ++ ⟨“(𝐹‘(seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑛))”⟩) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))))”⟩))
115	72, 114	eqtrd 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) ∧ (seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) → (seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘(𝑛 + 1)) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))))”⟩))
116	115	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) → ((seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩) → (seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘(𝑛 + 1)) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))))”⟩)))
117	116	expcom 413	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)) → (𝜑 → ((seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩) → (seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘(𝑛 + 1)) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))))”⟩))))
118	117	a2d 29	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)) → ((𝜑 → (seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) → (𝜑 → (seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘(𝑛 + 1)) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))))”⟩))))
119	14, 22, 30, 38, 52, 118	uzind4 12971	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)) → (𝜑 → (seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑁) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)))”⟩)))
120	5, 119	mpcom 38	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑁) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)))”⟩))
121	120	fveq2d 6924	. 2 ⊢ (𝜑 → (lastS‘(seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑁)) = (lastS‘(((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)))”⟩)))
122		fzo0ssnn0 13797	. . . . 5 ⊢ (0..^𝑁) ⊆ ℕ0
123		fssres 6787	. . . . 5 ⊢ (((𝑀seqstr𝐹):ℕ0⟶𝑆 ∧ (0..^𝑁) ⊆ ℕ0) → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)⟶𝑆)
124	81, 122, 123	sylancl 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)⟶𝑆)
125		iswrdi 14566	. . . 4 ⊢ (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)⟶𝑆 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ∈ Word 𝑆)
126	124, 125	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ∈ Word 𝑆)
127		elex 3509	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ∈ Word 𝑆 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ∈ V)
128	126, 127	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ∈ V)
129		eluznn0 12982	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
130	41, 5, 129	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
131	1, 81, 130	subiwrdlen 34351	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁))) = 𝑁)
132	131, 5	eqeltrd 2844	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁))) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))
133		elpreima 7091	. . . . . . . 8 ⊢ (♯ Fn V → (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) ↔ (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ∈ V ∧ (♯‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁))) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))))
134	95, 96, 133	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) ↔ (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ∈ V ∧ (♯‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁))) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
135	128, 132, 134	sylanbrc 582	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
136	126, 135	elind 4223	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ∈ (Word 𝑆 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))))
137	136, 3	eleqtrrdi 2855	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ∈ 𝑊)
138	4, 137	ffvelcdmd 7119	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁))) ∈ 𝑆)
139		lswccats1 14682	. . 3 ⊢ ((((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ∈ Word 𝑆 ∧ (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁))) ∈ 𝑆) → (lastS‘(((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)))”⟩)) = (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁))))
140	126, 138, 139	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (lastS‘(((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)))”⟩)) = (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁))))
141	6, 121, 140	3eqtrd 2784	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹)‘𝑁) = (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ∪ cun 3974   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  {csn 4648   × cxp 5698  ^◡ccnv 5699   ↾ cres 5702   “ cima 5703   Fn wfn 6568  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∈ cmpo 7450  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187  +∞cpnf 11321  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903  ..^cfzo 13711  seqcseq 14052  ♯chash 14379  Word cword 14562  lastSclsw 14610   ++ cconcat 14618  ⟨“cs1 14643  seq_strcsseq 34348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-xnn0 12626  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-hash 14380  df-word 14563  df-lsw 14611  df-concat 14619  df-s1 14644  df-substr 14689  df-pfx 14719  df-sseq 34349

This theorem is referenced by:  fibp1  34366