Theorem sseqfn 34357

Description: A strong recursive sequence is a function over the nonnegative integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
sseqval.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
sseqval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Word 𝑆)
sseqval.3	⊢ 𝑊 = (Word 𝑆 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
sseqval.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑊⟶𝑆)

Assertion

Ref	Expression
sseqfn	⊢ (𝜑 → (𝑀seqstr𝐹) Fn ℕ0)

Proof of Theorem sseqfn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseqval.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Word 𝑆)
2		wrdfn 14453	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Word 𝑆 → 𝑀 Fn (0..^(♯‘𝑀)))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 Fn (0..^(♯‘𝑀)))
4		fvex 6839	. . . . . 6 ⊢ (𝑥‘((♯‘𝑥) − 1)) ∈ V
5		df-lsw 14488	. . . . . 6 ⊢ lastS = (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥‘((♯‘𝑥) − 1)))
6	4, 5	fnmpti 6629	. . . . 5 ⊢ lastS Fn V
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → lastS Fn V)
8		lencl 14458	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑀) ∈ ℕ0)
9	8	nn0zd 12515	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑀) ∈ ℤ)
10		seqfn 13938	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑀) ∈ ℤ → seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})) Fn (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))
11	1, 9, 10	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})) Fn (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))
12		ssv 3962	. . . . 5 ⊢ ran seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})) ⊆ V
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})) ⊆ V)
14		fnco 6604	. . . 4 ⊢ ((lastS Fn V ∧ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})) Fn (ℤ≥‘(♯‘𝑀)) ∧ ran seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})) ⊆ V) → (lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))) Fn (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))
15	7, 11, 13, 14	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))) Fn (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))
16		fzouzdisj 13616	. . . 4 ⊢ ((0..^(♯‘𝑀)) ∩ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) = ∅
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0..^(♯‘𝑀)) ∩ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) = ∅)
18	3, 15, 17	fnund 6601	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∪ (lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})))) Fn ((0..^(♯‘𝑀)) ∪ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
19		sseqval.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
20		sseqval.3	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (Word 𝑆 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
21		sseqval.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑊⟶𝑆)
22	19, 1, 20, 21	sseqval 34355	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀seqstr𝐹) = (𝑀 ∪ (lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})))))
23		nn0uz 12795	. . . 4 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
24		elnn0uz 12798	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑀) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝑀) ∈ (ℤ≥‘0))
25		fzouzsplit 13615	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑀) ∈ (ℤ≥‘0) → (ℤ≥‘0) = ((0..^(♯‘𝑀)) ∪ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
26	24, 25	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑀) ∈ ℕ0 → (ℤ≥‘0) = ((0..^(♯‘𝑀)) ∪ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
27	1, 8, 26	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘0) = ((0..^(♯‘𝑀)) ∪ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
28	23, 27	eqtrid 2776	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℕ0 = ((0..^(♯‘𝑀)) ∪ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
29	22, 28	fneq12d 6581	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹) Fn ℕ0 ↔ (𝑀 ∪ (lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})))) Fn ((0..^(♯‘𝑀)) ∪ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))))
30	18, 29	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀seqstr𝐹) Fn ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438   ∪ cun 3903   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  {csn 4579   × cxp 5621  ^◡ccnv 5622  ran crn 5624   “ cima 5626   ∘ ccom 5627   Fn wfn 6481  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   ∈ cmpo 7355  0cc0 11028  1c1 11029   − cmin 11365  ℕ₀cn0 12402  ℤcz 12489  ℤ_≥cuz 12753  ..^cfzo 13575  seqcseq 13926  ♯chash 14255  Word cword 14438  lastSclsw 14487   ++ cconcat 14495  ⟨“cs1 14520  seq_strcsseq 34350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-seq 13927  df-hash 14256  df-word 14439  df-lsw 14488  df-s1 14521  df-sseq 34351

This theorem is referenced by:  sseqfres  34360