Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sseqfn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sseqfn 31648
Description: A strong recursive sequence is a function over the nonnegative integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
sseqval.1 (𝜑𝑆 ∈ V)
sseqval.2 (𝜑𝑀 ∈ Word 𝑆)
sseqval.3 𝑊 = (Word 𝑆 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘𝑀))))
sseqval.4 (𝜑𝐹:𝑊𝑆)
Assertion
Ref Expression
sseqfn (𝜑 → (𝑀seqstr𝐹) Fn ℕ0)

Proof of Theorem sseqfn
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseqval.2 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ Word 𝑆)
2 wrdfn 13875 . . . 4 (𝑀 ∈ Word 𝑆𝑀 Fn (0..^(♯‘𝑀)))
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝑀 Fn (0..^(♯‘𝑀)))
4 fvex 6682 . . . . . 6 (𝑥‘((♯‘𝑥) − 1)) ∈ V
5 df-lsw 13914 . . . . . 6 lastS = (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥‘((♯‘𝑥) − 1)))
64, 5fnmpti 6490 . . . . 5 lastS Fn V
76a1i 11 . . . 4 (𝜑 → lastS Fn V)
8 lencl 13882 . . . . . 6 (𝑀 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑀) ∈ ℕ0)
98nn0zd 12084 . . . . 5 (𝑀 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑀) ∈ ℤ)
10 seqfn 13380 . . . . 5 ((♯‘𝑀) ∈ ℤ → seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})) Fn (ℤ‘(♯‘𝑀)))
111, 9, 103syl 18 . . . 4 (𝜑 → seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})) Fn (ℤ‘(♯‘𝑀)))
12 ssv 3990 . . . . 5 ran seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})) ⊆ V
1312a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ran seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})) ⊆ V)
14 fnco 6464 . . . 4 ((lastS Fn V ∧ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})) Fn (ℤ‘(♯‘𝑀)) ∧ ran seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})) ⊆ V) → (lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))) Fn (ℤ‘(♯‘𝑀)))
157, 11, 13, 14syl3anc 1367 . . 3 (𝜑 → (lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))) Fn (ℤ‘(♯‘𝑀)))
16 fzouzdisj 13072 . . . 4 ((0..^(♯‘𝑀)) ∩ (ℤ‘(♯‘𝑀))) = ∅
1716a1i 11 . . 3 (𝜑 → ((0..^(♯‘𝑀)) ∩ (ℤ‘(♯‘𝑀))) = ∅)
18 fnun 6462 . . 3 (((𝑀 Fn (0..^(♯‘𝑀)) ∧ (lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))) Fn (ℤ‘(♯‘𝑀))) ∧ ((0..^(♯‘𝑀)) ∩ (ℤ‘(♯‘𝑀))) = ∅) → (𝑀 ∪ (lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})))) Fn ((0..^(♯‘𝑀)) ∪ (ℤ‘(♯‘𝑀))))
193, 15, 17, 18syl21anc 835 . 2 (𝜑 → (𝑀 ∪ (lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})))) Fn ((0..^(♯‘𝑀)) ∪ (ℤ‘(♯‘𝑀))))
20 sseqval.1 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ V)
21 sseqval.3 . . . 4 𝑊 = (Word 𝑆 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘𝑀))))
22 sseqval.4 . . . 4 (𝜑𝐹:𝑊𝑆)
2320, 1, 21, 22sseqval 31646 . . 3 (𝜑 → (𝑀seqstr𝐹) = (𝑀 ∪ (lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})))))
24 nn0uz 12279 . . . 4 0 = (ℤ‘0)
25 elnn0uz 12282 . . . . . 6 ((♯‘𝑀) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝑀) ∈ (ℤ‘0))
26 fzouzsplit 13071 . . . . . 6 ((♯‘𝑀) ∈ (ℤ‘0) → (ℤ‘0) = ((0..^(♯‘𝑀)) ∪ (ℤ‘(♯‘𝑀))))
2725, 26sylbi 219 . . . . 5 ((♯‘𝑀) ∈ ℕ0 → (ℤ‘0) = ((0..^(♯‘𝑀)) ∪ (ℤ‘(♯‘𝑀))))
281, 8, 273syl 18 . . . 4 (𝜑 → (ℤ‘0) = ((0..^(♯‘𝑀)) ∪ (ℤ‘(♯‘𝑀))))
2924, 28syl5eq 2868 . . 3 (𝜑 → ℕ0 = ((0..^(♯‘𝑀)) ∪ (ℤ‘(♯‘𝑀))))
3023, 29fneq12d 6447 . 2 (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹) Fn ℕ0 ↔ (𝑀 ∪ (lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})))) Fn ((0..^(♯‘𝑀)) ∪ (ℤ‘(♯‘𝑀)))))
3119, 30mpbird 259 1 (𝜑 → (𝑀seqstr𝐹) Fn ℕ0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2110  Vcvv 3494  cun 3933  cin 3934  wss 3935  c0 4290  {csn 4566   × cxp 5552  ccnv 5553  ran crn 5555  cima 5557  ccom 5558   Fn wfn 6349  wf 6350  cfv 6354  (class class class)co 7155  cmpo 7157  0cc0 10536  1c1 10537  cmin 10869  0cn0 11896  cz 11980  cuz 12242  ..^cfzo 13032  seqcseq 13368  chash 13689  Word cword 13860  lastSclsw 13913   ++ cconcat 13921  ⟨“cs1 13948  seqstrcsseq 31641
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-inf2 9103  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-map 8407  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-hash 13690  df-word 13861  df-lsw 13914  df-s1 13949  df-sseq 31642
This theorem is referenced by:  sseqfres  31651
  Copyright terms: Public domain W3C validator