MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  structiedg0val Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem structiedg0val 26969
Description: The set of indexed edges of an extensible structure with a base set and another slot not being the slot for edge functions is empty. (Contributed by AV, 23-Sep-2020.) (Proof shortened by AV, 12-Nov-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
structvtxvallem.s 𝑆 ∈ ℕ
structvtxvallem.b (Base‘ndx) < 𝑆
structvtxvallem.g 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩}
Assertion
Ref Expression
structiedg0val ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → (iEdg‘𝐺) = ∅)

Proof of Theorem structiedg0val
StepHypRef Expression
1 structvtxvallem.g . . . . 5 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩}
2 structvtxvallem.b . . . . 5 (Base‘ndx) < 𝑆
3 structvtxvallem.s . . . . 5 𝑆 ∈ ℕ
41, 2, 32strstr1 16710 . . . 4 𝐺 Struct ⟨(Base‘ndx), 𝑆
5 structn0fun 16600 . . . . 5 (𝐺 Struct ⟨(Base‘ndx), 𝑆⟩ → Fun (𝐺 ∖ {∅}))
63, 2, 1structvtxvallem 26967 . . . . 5 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → 2 ≤ (♯‘dom 𝐺))
7 funiedgdmge2val 26959 . . . . 5 ((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (♯‘dom 𝐺)) → (iEdg‘𝐺) = (.ef‘𝐺))
85, 6, 7syl2an 599 . . . 4 ((𝐺 Struct ⟨(Base‘ndx), 𝑆⟩ ∧ (𝑉𝑋𝐸𝑌)) → (iEdg‘𝐺) = (.ef‘𝐺))
94, 8mpan 690 . . 3 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → (iEdg‘𝐺) = (.ef‘𝐺))
1093adant3 1133 . 2 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → (iEdg‘𝐺) = (.ef‘𝐺))
11 prex 5299 . . . . . 6 {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} ∈ V
1211a1i 11 . . . . 5 (𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} → {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} ∈ V)
131, 12eqeltrid 2837 . . . 4 (𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} → 𝐺 ∈ V)
14 edgfndxid 26940 . . . 4 (𝐺 ∈ V → (.ef‘𝐺) = (𝐺‘(.ef‘ndx)))
151, 13, 14mp2b 10 . . 3 (.ef‘𝐺) = (𝐺‘(.ef‘ndx))
16 slotsbaseefdif 26942 . . . . . . . . 9 (Base‘ndx) ≠ (.ef‘ndx)
1716nesymi 2991 . . . . . . . 8 ¬ (.ef‘ndx) = (Base‘ndx)
1817a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → ¬ (.ef‘ndx) = (Base‘ndx))
19 neneq 2940 . . . . . . . . 9 (𝑆 ≠ (.ef‘ndx) → ¬ 𝑆 = (.ef‘ndx))
20 eqcom 2745 . . . . . . . . 9 ((.ef‘ndx) = 𝑆𝑆 = (.ef‘ndx))
2119, 20sylnibr 332 . . . . . . . 8 (𝑆 ≠ (.ef‘ndx) → ¬ (.ef‘ndx) = 𝑆)
22213ad2ant3 1136 . . . . . . 7 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → ¬ (.ef‘ndx) = 𝑆)
23 ioran 983 . . . . . . 7 (¬ ((.ef‘ndx) = (Base‘ndx) ∨ (.ef‘ndx) = 𝑆) ↔ (¬ (.ef‘ndx) = (Base‘ndx) ∧ ¬ (.ef‘ndx) = 𝑆))
2418, 22, 23sylanbrc 586 . . . . . 6 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → ¬ ((.ef‘ndx) = (Base‘ndx) ∨ (.ef‘ndx) = 𝑆))
25 fvex 6689 . . . . . . 7 (.ef‘ndx) ∈ V
2625elpr 4539 . . . . . 6 ((.ef‘ndx) ∈ {(Base‘ndx), 𝑆} ↔ ((.ef‘ndx) = (Base‘ndx) ∨ (.ef‘ndx) = 𝑆))
2724, 26sylnibr 332 . . . . 5 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → ¬ (.ef‘ndx) ∈ {(Base‘ndx), 𝑆})
281dmeqi 5747 . . . . . 6 dom 𝐺 = dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩}
29 dmpropg 6047 . . . . . . 7 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} = {(Base‘ndx), 𝑆})
30293adant3 1133 . . . . . 6 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} = {(Base‘ndx), 𝑆})
3128, 30syl5eq 2785 . . . . 5 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → dom 𝐺 = {(Base‘ndx), 𝑆})
3227, 31neleqtrrd 2855 . . . 4 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → ¬ (.ef‘ndx) ∈ dom 𝐺)
33 ndmfv 6706 . . . 4 (¬ (.ef‘ndx) ∈ dom 𝐺 → (𝐺‘(.ef‘ndx)) = ∅)
3432, 33syl 17 . . 3 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → (𝐺‘(.ef‘ndx)) = ∅)
3515, 34syl5eq 2785 . 2 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → (.ef‘𝐺) = ∅)
3610, 35eqtrd 2773 1 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → (iEdg‘𝐺) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  wo 846  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2934  Vcvv 3398  cdif 3840  c0 4211  {csn 4516  {cpr 4518  cop 4522   class class class wbr 5030  dom cdm 5525  Fun wfun 6333  cfv 6339   < clt 10755  cle 10756  cn 11718  2c2 11773  chash 13784   Struct cstr 16584  ndxcnx 16585  Basecbs 16588  .efcedgf 26936  iEdgciedg 26944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7481  ax-cnex 10673  ax-resscn 10674  ax-1cn 10675  ax-icn 10676  ax-addcl 10677  ax-addrcl 10678  ax-mulcl 10679  ax-mulrcl 10680  ax-mulcom 10681  ax-addass 10682  ax-mulass 10683  ax-distr 10684  ax-i2m1 10685  ax-1ne0 10686  ax-1rid 10687  ax-rnegex 10688  ax-rrecex 10689  ax-cnre 10690  ax-pre-lttri 10691  ax-pre-lttrn 10692  ax-pre-ltadd 10693  ax-pre-mulgt0 10694
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7129  df-ov 7175  df-oprab 7176  df-mpo 7177  df-om 7602  df-1st 7716  df-2nd 7717  df-wrecs 7978  df-recs 8039  df-rdg 8077  df-1o 8133  df-oadd 8137  df-er 8322  df-en 8558  df-dom 8559  df-sdom 8560  df-fin 8561  df-dju 9405  df-card 9443  df-pnf 10757  df-mnf 10758  df-xr 10759  df-ltxr 10760  df-le 10761  df-sub 10952  df-neg 10953  df-nn 11719  df-2 11781  df-3 11782  df-4 11783  df-5 11784  df-6 11785  df-7 11786  df-8 11787  df-9 11788  df-n0 11979  df-xnn0 12051  df-z 12065  df-dec 12182  df-uz 12327  df-fz 12984  df-hash 13785  df-struct 16590  df-ndx 16591  df-slot 16592  df-base 16594  df-edgf 26937  df-iedg 26946
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator