Theorem structiedg0val 29313

Description: The set of indexed edges of an extensible structure with a base set and another slot not being the slot for edge functions is empty. (Contributed by AV, 23-Sep-2020.) (Proof shortened by AV, 12-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
structvtxvallem.s	⊢ 𝑆 ∈ ℕ
structvtxvallem.b	⊢ (Base‘ndx) < 𝑆
structvtxvallem.g	⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩}

Assertion

Ref	Expression
structiedg0val	⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → (iEdg‘𝐺) = ∅)

Proof of Theorem structiedg0val

Step	Hyp	Ref	Expression
1		structvtxvallem.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩}
2		structvtxvallem.b	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) < 𝑆
3		structvtxvallem.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ∈ ℕ
4	1, 2, 3	2strstr 17287	. . . 4 ⊢ 𝐺 Struct ⟨(Base‘ndx), 𝑆⟩
5		structn0fun 17211	. . . . 5 ⊢ (𝐺 Struct ⟨(Base‘ndx), 𝑆⟩ → Fun (𝐺 ∖ {∅}))
6	3, 2, 1	structvtxvallem 29311	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → 2 ≤ (♯‘dom 𝐺))
7		funiedgdmge2val 29303	. . . . 5 ⊢ ((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (♯‘dom 𝐺)) → (iEdg‘𝐺) = (.ef‘𝐺))
8	5, 6, 7	syl2an 607	. . . 4 ⊢ ((𝐺 Struct ⟨(Base‘ndx), 𝑆⟩ ∧ (𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌)) → (iEdg‘𝐺) = (.ef‘𝐺))
9	4, 8	mpan 702	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (iEdg‘𝐺) = (.ef‘𝐺))
10	9	3adant3 1148	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → (iEdg‘𝐺) = (.ef‘𝐺))
11		prex 5410	. . . . . 6 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} ∈ V
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} → {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} ∈ V)
13	1, 12	eqeltrid 2873	. . . 4 ⊢ (𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} → 𝐺 ∈ V)
14		edgfndxid 29284	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → (.ef‘𝐺) = (𝐺‘(.ef‘ndx)))
15	1, 13, 14	mp2b 10	. . 3 ⊢ (.ef‘𝐺) = (𝐺‘(.ef‘ndx))
16		basendxnedgfndx 29286	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.ef‘ndx)
17	16	nesymi 3021	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ (.ef‘ndx) = (Base‘ndx)
18	17	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → ¬ (.ef‘ndx) = (Base‘ndx))
19		neneq 2970	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ≠ (.ef‘ndx) → ¬ 𝑆 = (.ef‘ndx))
20		eqcom 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((.ef‘ndx) = 𝑆 ↔ 𝑆 = (.ef‘ndx))
21	19, 20	sylnibr 332	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ≠ (.ef‘ndx) → ¬ (.ef‘ndx) = 𝑆)
22	21	3ad2ant3 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → ¬ (.ef‘ndx) = 𝑆)
23		ioran 999	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ((.ef‘ndx) = (Base‘ndx) ∨ (.ef‘ndx) = 𝑆) ↔ (¬ (.ef‘ndx) = (Base‘ndx) ∧ ¬ (.ef‘ndx) = 𝑆))
24	18, 22, 23	sylanbrc 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → ¬ ((.ef‘ndx) = (Base‘ndx) ∨ (.ef‘ndx) = 𝑆))
25		fvex 6895	. . . . . . 7 ⊢ (.ef‘ndx) ∈ V
26	25	elpr 4619	. . . . . 6 ⊢ ((.ef‘ndx) ∈ {(Base‘ndx), 𝑆} ↔ ((.ef‘ndx) = (Base‘ndx) ∨ (.ef‘ndx) = 𝑆))
27	24, 26	sylnibr 332	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → ¬ (.ef‘ndx) ∈ {(Base‘ndx), 𝑆})
28	1	dmeqi 5895	. . . . . 6 ⊢ dom 𝐺 = dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩}
29		dmpropg 6217	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} = {(Base‘ndx), 𝑆})
30	29	3adant3 1148	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} = {(Base‘ndx), 𝑆})
31	28, 30	eqtrid 2816	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → dom 𝐺 = {(Base‘ndx), 𝑆})
32	27, 31	neleqtrrd 2892	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → ¬ (.ef‘ndx) ∈ dom 𝐺)
33		ndmfv 6914	. . . 4 ⊢ (¬ (.ef‘ndx) ∈ dom 𝐺 → (𝐺‘(.ef‘ndx)) = ∅)
34	32, 33	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → (𝐺‘(.ef‘ndx)) = ∅)
35	15, 34	eqtrid 2816	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → (.ef‘𝐺) = ∅)
36	10, 35	eqtrd 2804	1 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → (iEdg‘𝐺) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  Vcvv 3463   ∖ cdif 3910  ∅c0 4294  {csn 4594  {cpr 4596  ⟨cop 4600   class class class wbr 5113  dom cdm 5662  Fun wfun 6531  ‘cfv 6537   < clt 11243   ≤ cle 11244  ℕcn 12233  2c2 12295  ♯chash 14366   Struct cstr 17206  ndxcnx 17253  Basecbs 17269  .efcedgf 29279  iEdgciedg 29288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-oadd 8457  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-dju 9887  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-fz 13536  df-hash 14367  df-struct 17207  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-edgf 29280  df-iedg 29290

This theorem is referenced by: (None)