Theorem structiedg0val 29097

Description: The set of indexed edges of an extensible structure with a base set and another slot not being the slot for edge functions is empty. (Contributed by AV, 23-Sep-2020.) (Proof shortened by AV, 12-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
structvtxvallem.s	⊢ 𝑆 ∈ ℕ
structvtxvallem.b	⊢ (Base‘ndx) < 𝑆
structvtxvallem.g	⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩}

Assertion

Ref	Expression
structiedg0val	⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → (iEdg‘𝐺) = ∅)

Proof of Theorem structiedg0val

Step	Hyp	Ref	Expression
1		structvtxvallem.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩}
2		structvtxvallem.b	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) < 𝑆
3		structvtxvallem.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ∈ ℕ
4	1, 2, 3	2strstr 17156	. . . 4 ⊢ 𝐺 Struct ⟨(Base‘ndx), 𝑆⟩
5		structn0fun 17080	. . . . 5 ⊢ (𝐺 Struct ⟨(Base‘ndx), 𝑆⟩ → Fun (𝐺 ∖ {∅}))
6	3, 2, 1	structvtxvallem 29095	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → 2 ≤ (♯‘dom 𝐺))
7		funiedgdmge2val 29087	. . . . 5 ⊢ ((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (♯‘dom 𝐺)) → (iEdg‘𝐺) = (.ef‘𝐺))
8	5, 6, 7	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝐺 Struct ⟨(Base‘ndx), 𝑆⟩ ∧ (𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌)) → (iEdg‘𝐺) = (.ef‘𝐺))
9	4, 8	mpan 690	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (iEdg‘𝐺) = (.ef‘𝐺))
10	9	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → (iEdg‘𝐺) = (.ef‘𝐺))
11		prex 5382	. . . . . 6 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} ∈ V
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} → {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} ∈ V)
13	1, 12	eqeltrid 2840	. . . 4 ⊢ (𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} → 𝐺 ∈ V)
14		edgfndxid 29068	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → (.ef‘𝐺) = (𝐺‘(.ef‘ndx)))
15	1, 13, 14	mp2b 10	. . 3 ⊢ (.ef‘𝐺) = (𝐺‘(.ef‘ndx))
16		basendxnedgfndx 29070	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.ef‘ndx)
17	16	nesymi 2989	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ (.ef‘ndx) = (Base‘ndx)
18	17	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → ¬ (.ef‘ndx) = (Base‘ndx))
19		neneq 2938	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ≠ (.ef‘ndx) → ¬ 𝑆 = (.ef‘ndx))
20		eqcom 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((.ef‘ndx) = 𝑆 ↔ 𝑆 = (.ef‘ndx))
21	19, 20	sylnibr 329	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ≠ (.ef‘ndx) → ¬ (.ef‘ndx) = 𝑆)
22	21	3ad2ant3 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → ¬ (.ef‘ndx) = 𝑆)
23		ioran 985	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ((.ef‘ndx) = (Base‘ndx) ∨ (.ef‘ndx) = 𝑆) ↔ (¬ (.ef‘ndx) = (Base‘ndx) ∧ ¬ (.ef‘ndx) = 𝑆))
24	18, 22, 23	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → ¬ ((.ef‘ndx) = (Base‘ndx) ∨ (.ef‘ndx) = 𝑆))
25		fvex 6847	. . . . . . 7 ⊢ (.ef‘ndx) ∈ V
26	25	elpr 4605	. . . . . 6 ⊢ ((.ef‘ndx) ∈ {(Base‘ndx), 𝑆} ↔ ((.ef‘ndx) = (Base‘ndx) ∨ (.ef‘ndx) = 𝑆))
27	24, 26	sylnibr 329	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → ¬ (.ef‘ndx) ∈ {(Base‘ndx), 𝑆})
28	1	dmeqi 5853	. . . . . 6 ⊢ dom 𝐺 = dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩}
29		dmpropg 6173	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} = {(Base‘ndx), 𝑆})
30	29	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} = {(Base‘ndx), 𝑆})
31	28, 30	eqtrid 2783	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → dom 𝐺 = {(Base‘ndx), 𝑆})
32	27, 31	neleqtrrd 2859	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → ¬ (.ef‘ndx) ∈ dom 𝐺)
33		ndmfv 6866	. . . 4 ⊢ (¬ (.ef‘ndx) ∈ dom 𝐺 → (𝐺‘(.ef‘ndx)) = ∅)
34	32, 33	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → (𝐺‘(.ef‘ndx)) = ∅)
35	15, 34	eqtrid 2783	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → (.ef‘𝐺) = ∅)
36	10, 35	eqtrd 2771	1 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → (iEdg‘𝐺) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  Vcvv 3440   ∖ cdif 3898  ∅c0 4285  {csn 4580  {cpr 4582  ⟨cop 4586   class class class wbr 5098  dom cdm 5624  Fun wfun 6486  ‘cfv 6492   < clt 11168   ≤ cle 11169  ℕcn 12147  2c2 12202  ♯chash 14255   Struct cstr 17075  ndxcnx 17122  Basecbs 17138  .efcedgf 29063  iEdgciedg 29072

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-oadd 8401  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-dju 9815  df-card 9853  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-xnn0 12477  df-z 12491  df-dec 12610  df-uz 12754  df-fz 13426  df-hash 14256  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-edgf 29064  df-iedg 29074

This theorem is referenced by: (None)