Theorem structiedg0val 29044

Description: The set of indexed edges of an extensible structure with a base set and another slot not being the slot for edge functions is empty. (Contributed by AV, 23-Sep-2020.) (Proof shortened by AV, 12-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
structvtxvallem.s	⊢ 𝑆 ∈ ℕ
structvtxvallem.b	⊢ (Base‘ndx) < 𝑆
structvtxvallem.g	⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩}

Assertion

Ref	Expression
structiedg0val	⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → (iEdg‘𝐺) = ∅)

Proof of Theorem structiedg0val

Step	Hyp	Ref	Expression
1		structvtxvallem.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩}
2		structvtxvallem.b	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) < 𝑆
3		structvtxvallem.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ∈ ℕ
4	1, 2, 3	2strstr 17152	. . . 4 ⊢ 𝐺 Struct ⟨(Base‘ndx), 𝑆⟩
5		structn0fun 17076	. . . . 5 ⊢ (𝐺 Struct ⟨(Base‘ndx), 𝑆⟩ → Fun (𝐺 ∖ {∅}))
6	3, 2, 1	structvtxvallem 29042	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → 2 ≤ (♯‘dom 𝐺))
7		funiedgdmge2val 29034	. . . . 5 ⊢ ((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (♯‘dom 𝐺)) → (iEdg‘𝐺) = (.ef‘𝐺))
8	5, 6, 7	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝐺 Struct ⟨(Base‘ndx), 𝑆⟩ ∧ (𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌)) → (iEdg‘𝐺) = (.ef‘𝐺))
9	4, 8	mpan 690	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (iEdg‘𝐺) = (.ef‘𝐺))
10	9	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → (iEdg‘𝐺) = (.ef‘𝐺))
11		prex 5380	. . . . . 6 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} ∈ V
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} → {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} ∈ V)
13	1, 12	eqeltrid 2838	. . . 4 ⊢ (𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} → 𝐺 ∈ V)
14		edgfndxid 29015	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → (.ef‘𝐺) = (𝐺‘(.ef‘ndx)))
15	1, 13, 14	mp2b 10	. . 3 ⊢ (.ef‘𝐺) = (𝐺‘(.ef‘ndx))
16		basendxnedgfndx 29017	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.ef‘ndx)
17	16	nesymi 2987	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ (.ef‘ndx) = (Base‘ndx)
18	17	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → ¬ (.ef‘ndx) = (Base‘ndx))
19		neneq 2936	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ≠ (.ef‘ndx) → ¬ 𝑆 = (.ef‘ndx))
20		eqcom 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ ((.ef‘ndx) = 𝑆 ↔ 𝑆 = (.ef‘ndx))
21	19, 20	sylnibr 329	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ≠ (.ef‘ndx) → ¬ (.ef‘ndx) = 𝑆)
22	21	3ad2ant3 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → ¬ (.ef‘ndx) = 𝑆)
23		ioran 985	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ((.ef‘ndx) = (Base‘ndx) ∨ (.ef‘ndx) = 𝑆) ↔ (¬ (.ef‘ndx) = (Base‘ndx) ∧ ¬ (.ef‘ndx) = 𝑆))
24	18, 22, 23	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → ¬ ((.ef‘ndx) = (Base‘ndx) ∨ (.ef‘ndx) = 𝑆))
25		fvex 6845	. . . . . . 7 ⊢ (.ef‘ndx) ∈ V
26	25	elpr 4603	. . . . . 6 ⊢ ((.ef‘ndx) ∈ {(Base‘ndx), 𝑆} ↔ ((.ef‘ndx) = (Base‘ndx) ∨ (.ef‘ndx) = 𝑆))
27	24, 26	sylnibr 329	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → ¬ (.ef‘ndx) ∈ {(Base‘ndx), 𝑆})
28	1	dmeqi 5851	. . . . . 6 ⊢ dom 𝐺 = dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩}
29		dmpropg 6171	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} = {(Base‘ndx), 𝑆})
30	29	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} = {(Base‘ndx), 𝑆})
31	28, 30	eqtrid 2781	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → dom 𝐺 = {(Base‘ndx), 𝑆})
32	27, 31	neleqtrrd 2857	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → ¬ (.ef‘ndx) ∈ dom 𝐺)
33		ndmfv 6864	. . . 4 ⊢ (¬ (.ef‘ndx) ∈ dom 𝐺 → (𝐺‘(.ef‘ndx)) = ∅)
34	32, 33	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → (𝐺‘(.ef‘ndx)) = ∅)
35	15, 34	eqtrid 2781	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → (.ef‘𝐺) = ∅)
36	10, 35	eqtrd 2769	1 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → (iEdg‘𝐺) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  Vcvv 3438   ∖ cdif 3896  ∅c0 4283  {csn 4578  {cpr 4580  ⟨cop 4584   class class class wbr 5096  dom cdm 5622  Fun wfun 6484  ‘cfv 6490   < clt 11164   ≤ cle 11165  ℕcn 12143  2c2 12198  ♯chash 14251   Struct cstr 17071  ndxcnx 17118  Basecbs 17134  .efcedgf 29010  iEdgciedg 29019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-oadd 8399  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-dju 9811  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-xnn0 12473  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-fz 13422  df-hash 14252  df-struct 17072  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-edgf 29011  df-iedg 29021

This theorem is referenced by: (None)