MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  structiedg0val Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem structiedg0val 26327
Description: The set of indexed edges of an extensible structure with a base set and another slot not being the slot for edge functions is empty. (Contributed by AV, 23-Sep-2020.) (Proof shortened by AV, 12-Nov-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
structvtxvallem.s 𝑆 ∈ ℕ
structvtxvallem.b (Base‘ndx) < 𝑆
structvtxvallem.g 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩}
Assertion
Ref Expression
structiedg0val ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → (iEdg‘𝐺) = ∅)

Proof of Theorem structiedg0val
StepHypRef Expression
1 structvtxvallem.g . . . . 5 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩}
2 structvtxvallem.b . . . . 5 (Base‘ndx) < 𝑆
3 structvtxvallem.s . . . . 5 𝑆 ∈ ℕ
41, 2, 32strstr1 16352 . . . 4 𝐺 Struct ⟨(Base‘ndx), 𝑆
5 structn0fun 16241 . . . . 5 (𝐺 Struct ⟨(Base‘ndx), 𝑆⟩ → Fun (𝐺 ∖ {∅}))
63, 2, 1structvtxvallem 26325 . . . . 5 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → 2 ≤ (♯‘dom 𝐺))
7 funiedgdmge2val 26317 . . . . 5 ((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (♯‘dom 𝐺)) → (iEdg‘𝐺) = (.ef‘𝐺))
85, 6, 7syl2an 589 . . . 4 ((𝐺 Struct ⟨(Base‘ndx), 𝑆⟩ ∧ (𝑉𝑋𝐸𝑌)) → (iEdg‘𝐺) = (.ef‘𝐺))
94, 8mpan 681 . . 3 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → (iEdg‘𝐺) = (.ef‘𝐺))
1093adant3 1166 . 2 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → (iEdg‘𝐺) = (.ef‘𝐺))
11 prex 5132 . . . . . 6 {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} ∈ V
1211a1i 11 . . . . 5 (𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} → {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} ∈ V)
131, 12syl5eqel 2910 . . . 4 (𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} → 𝐺 ∈ V)
14 edgfndxid 26298 . . . 4 (𝐺 ∈ V → (.ef‘𝐺) = (𝐺‘(.ef‘ndx)))
151, 13, 14mp2b 10 . . 3 (.ef‘𝐺) = (𝐺‘(.ef‘ndx))
16 slotsbaseefdif 26300 . . . . . . . . 9 (Base‘ndx) ≠ (.ef‘ndx)
1716nesymi 3056 . . . . . . . 8 ¬ (.ef‘ndx) = (Base‘ndx)
1817a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → ¬ (.ef‘ndx) = (Base‘ndx))
19 neneq 3005 . . . . . . . . 9 (𝑆 ≠ (.ef‘ndx) → ¬ 𝑆 = (.ef‘ndx))
20 eqcom 2832 . . . . . . . . 9 ((.ef‘ndx) = 𝑆𝑆 = (.ef‘ndx))
2119, 20sylnibr 321 . . . . . . . 8 (𝑆 ≠ (.ef‘ndx) → ¬ (.ef‘ndx) = 𝑆)
22213ad2ant3 1169 . . . . . . 7 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → ¬ (.ef‘ndx) = 𝑆)
23 ioran 1011 . . . . . . 7 (¬ ((.ef‘ndx) = (Base‘ndx) ∨ (.ef‘ndx) = 𝑆) ↔ (¬ (.ef‘ndx) = (Base‘ndx) ∧ ¬ (.ef‘ndx) = 𝑆))
2418, 22, 23sylanbrc 578 . . . . . 6 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → ¬ ((.ef‘ndx) = (Base‘ndx) ∨ (.ef‘ndx) = 𝑆))
25 fvex 6450 . . . . . . 7 (.ef‘ndx) ∈ V
2625elpr 4422 . . . . . 6 ((.ef‘ndx) ∈ {(Base‘ndx), 𝑆} ↔ ((.ef‘ndx) = (Base‘ndx) ∨ (.ef‘ndx) = 𝑆))
2724, 26sylnibr 321 . . . . 5 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → ¬ (.ef‘ndx) ∈ {(Base‘ndx), 𝑆})
281dmeqi 5561 . . . . . 6 dom 𝐺 = dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩}
29 dmpropg 5853 . . . . . . 7 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} = {(Base‘ndx), 𝑆})
30293adant3 1166 . . . . . 6 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} = {(Base‘ndx), 𝑆})
3128, 30syl5eq 2873 . . . . 5 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → dom 𝐺 = {(Base‘ndx), 𝑆})
3227, 31neleqtrrd 2928 . . . 4 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → ¬ (.ef‘ndx) ∈ dom 𝐺)
33 ndmfv 6467 . . . 4 (¬ (.ef‘ndx) ∈ dom 𝐺 → (𝐺‘(.ef‘ndx)) = ∅)
3432, 33syl 17 . . 3 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → (𝐺‘(.ef‘ndx)) = ∅)
3515, 34syl5eq 2873 . 2 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → (.ef‘𝐺) = ∅)
3610, 35eqtrd 2861 1 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → (iEdg‘𝐺) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 386  wo 878  w3a 1111   = wceq 1656  wcel 2164  wne 2999  Vcvv 3414  cdif 3795  c0 4146  {csn 4399  {cpr 4401  cop 4405   class class class wbr 4875  dom cdm 5346  Fun wfun 6121  cfv 6127   < clt 10398  cle 10399  cn 11357  2c2 11413  chash 13417   Struct cstr 16225  ndxcnx 16226  Basecbs 16229  .efcedgf 26294  iEdgciedg 26302
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-card 9085  df-cda 9312  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-xnn0 11698  df-z 11712  df-dec 11829  df-uz 11976  df-fz 12627  df-hash 13418  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-edgf 26295  df-iedg 26304
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator