Theorem structiedg0val 29109

Description: The set of indexed edges of an extensible structure with a base set and another slot not being the slot for edge functions is empty. (Contributed by AV, 23-Sep-2020.) (Proof shortened by AV, 12-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
structvtxvallem.s	⊢ 𝑆 ∈ ℕ
structvtxvallem.b	⊢ (Base‘ndx) < 𝑆
structvtxvallem.g	⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩}

Assertion

Ref	Expression
structiedg0val	⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → (iEdg‘𝐺) = ∅)

Proof of Theorem structiedg0val

Step	Hyp	Ref	Expression
1		structvtxvallem.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩}
2		structvtxvallem.b	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) < 𝑆
3		structvtxvallem.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ∈ ℕ
4	1, 2, 3	2strstr 17192	. . . 4 ⊢ 𝐺 Struct ⟨(Base‘ndx), 𝑆⟩
5		structn0fun 17116	. . . . 5 ⊢ (𝐺 Struct ⟨(Base‘ndx), 𝑆⟩ → Fun (𝐺 ∖ {∅}))
6	3, 2, 1	structvtxvallem 29107	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → 2 ≤ (♯‘dom 𝐺))
7		funiedgdmge2val 29099	. . . . 5 ⊢ ((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (♯‘dom 𝐺)) → (iEdg‘𝐺) = (.ef‘𝐺))
8	5, 6, 7	syl2an 597	. . . 4 ⊢ ((𝐺 Struct ⟨(Base‘ndx), 𝑆⟩ ∧ (𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌)) → (iEdg‘𝐺) = (.ef‘𝐺))
9	4, 8	mpan 691	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (iEdg‘𝐺) = (.ef‘𝐺))
10	9	3adant3 1133	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → (iEdg‘𝐺) = (.ef‘𝐺))
11		prex 5377	. . . . . 6 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} ∈ V
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} → {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} ∈ V)
13	1, 12	eqeltrid 2841	. . . 4 ⊢ (𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} → 𝐺 ∈ V)
14		edgfndxid 29080	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → (.ef‘𝐺) = (𝐺‘(.ef‘ndx)))
15	1, 13, 14	mp2b 10	. . 3 ⊢ (.ef‘𝐺) = (𝐺‘(.ef‘ndx))
16		basendxnedgfndx 29082	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.ef‘ndx)
17	16	nesymi 2990	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ (.ef‘ndx) = (Base‘ndx)
18	17	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → ¬ (.ef‘ndx) = (Base‘ndx))
19		neneq 2939	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ≠ (.ef‘ndx) → ¬ 𝑆 = (.ef‘ndx))
20		eqcom 2744	. . . . . . . . 9 ⊢ ((.ef‘ndx) = 𝑆 ↔ 𝑆 = (.ef‘ndx))
21	19, 20	sylnibr 329	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ≠ (.ef‘ndx) → ¬ (.ef‘ndx) = 𝑆)
22	21	3ad2ant3 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → ¬ (.ef‘ndx) = 𝑆)
23		ioran 986	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ((.ef‘ndx) = (Base‘ndx) ∨ (.ef‘ndx) = 𝑆) ↔ (¬ (.ef‘ndx) = (Base‘ndx) ∧ ¬ (.ef‘ndx) = 𝑆))
24	18, 22, 23	sylanbrc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → ¬ ((.ef‘ndx) = (Base‘ndx) ∨ (.ef‘ndx) = 𝑆))
25		fvex 6849	. . . . . . 7 ⊢ (.ef‘ndx) ∈ V
26	25	elpr 4593	. . . . . 6 ⊢ ((.ef‘ndx) ∈ {(Base‘ndx), 𝑆} ↔ ((.ef‘ndx) = (Base‘ndx) ∨ (.ef‘ndx) = 𝑆))
27	24, 26	sylnibr 329	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → ¬ (.ef‘ndx) ∈ {(Base‘ndx), 𝑆})
28	1	dmeqi 5855	. . . . . 6 ⊢ dom 𝐺 = dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩}
29		dmpropg 6175	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} = {(Base‘ndx), 𝑆})
30	29	3adant3 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} = {(Base‘ndx), 𝑆})
31	28, 30	eqtrid 2784	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → dom 𝐺 = {(Base‘ndx), 𝑆})
32	27, 31	neleqtrrd 2860	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → ¬ (.ef‘ndx) ∈ dom 𝐺)
33		ndmfv 6868	. . . 4 ⊢ (¬ (.ef‘ndx) ∈ dom 𝐺 → (𝐺‘(.ef‘ndx)) = ∅)
34	32, 33	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → (𝐺‘(.ef‘ndx)) = ∅)
35	15, 34	eqtrid 2784	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → (.ef‘𝐺) = ∅)
36	10, 35	eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → (iEdg‘𝐺) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3430   ∖ cdif 3887  ∅c0 4274  {csn 4568  {cpr 4570  ⟨cop 4574   class class class wbr 5086  dom cdm 5626  Fun wfun 6488  ‘cfv 6494   < clt 11174   ≤ cle 11175  ℕcn 12169  2c2 12231  ♯chash 14287   Struct cstr 17111  ndxcnx 17158  Basecbs 17174  .efcedgf 29075  iEdgciedg 29084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-oadd 8404  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-dju 9820  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-xnn0 12506  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-hash 14288  df-struct 17112  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-edgf 29076  df-iedg 29086

This theorem is referenced by: (None)