Theorem subfacp1 34177

Description: A two-term recurrence for the subfactorial. This theorem allows to forget the combinatorial definition of the derangement number in favor of the recursive definition provided by this theorem and subfac0 34168, subfac1 34169. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
derang.d	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))
subfac.n	⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
subfacp1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆‘(𝑁 + 1)) = (𝑁 · ((𝑆‘𝑁) + (𝑆‘(𝑁 − 1)))))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑛,𝑥,𝑦,𝑁   𝐷,𝑛   𝑆,𝑛,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓)   𝑆(𝑓)

Proof of Theorem subfacp1

Dummy variables 𝑔 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		derang.d	. 2 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))
2		subfac.n	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
3		f1oeq1 6822	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (𝑔:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ↔ 𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1))))
4		fveq2 6892	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑔‘𝑧) = (𝑔‘𝑦))
5		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → 𝑧 = 𝑦)
6	4, 5	neeq12d 3003	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑔‘𝑧) ≠ 𝑧 ↔ (𝑔‘𝑦) ≠ 𝑦))
7	6	cbvralvw 3235	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑔‘𝑧) ≠ 𝑧 ↔ ∀𝑦 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑔‘𝑦) ≠ 𝑦)
8		fveq1 6891	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (𝑔‘𝑦) = (𝑓‘𝑦))
9	8	neeq1d 3001	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → ((𝑔‘𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦))
10	9	ralbidv 3178	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (∀𝑦 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑔‘𝑦) ≠ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦))
11	7, 10	bitrid 283	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (∀𝑧 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑔‘𝑧) ≠ 𝑧 ↔ ∀𝑦 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦))
12	3, 11	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → ((𝑔:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ ∀𝑧 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑔‘𝑧) ≠ 𝑧) ↔ (𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ ∀𝑦 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)))
13	12	cbvabv 2806	. 2 ⊢ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ ∀𝑧 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑔‘𝑧) ≠ 𝑧)} = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ ∀𝑦 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}
14	1, 2, 13	subfacp1lem6 34176	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆‘(𝑁 + 1)) = (𝑁 · ((𝑆‘𝑁) + (𝑆‘(𝑁 − 1)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2710   ≠ wne 2941  ∀wral 3062   ↦ cmpt 5232  –1-1-onto→wf1o 6543  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  1c1 11111   + caddc 11113   · cmul 11115   − cmin 11444  ℕcn 12212  ℕ₀cn0 12472  ...cfz 13484  ♯chash 14290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-hash 14291

This theorem is referenced by:  subfacval2  34178