Theorem subfacp1 34829

Description: A two-term recurrence for the subfactorial. This theorem allows to forget the combinatorial definition of the derangement number in favor of the recursive definition provided by this theorem and subfac0 34820, subfac1 34821. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
derang.d	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))
subfac.n	⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
subfacp1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆‘(𝑁 + 1)) = (𝑁 · ((𝑆‘𝑁) + (𝑆‘(𝑁 − 1)))))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑛,𝑥,𝑦,𝑁   𝐷,𝑛   𝑆,𝑛,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓)   𝑆(𝑓)

Proof of Theorem subfacp1

Dummy variables 𝑔 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		derang.d	. 2 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))
2		subfac.n	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
3		f1oeq1 6832	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (𝑔:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ↔ 𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1))))
4		fveq2 6902	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑔‘𝑧) = (𝑔‘𝑦))
5		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → 𝑧 = 𝑦)
6	4, 5	neeq12d 2999	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑔‘𝑧) ≠ 𝑧 ↔ (𝑔‘𝑦) ≠ 𝑦))
7	6	cbvralvw 3232	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑔‘𝑧) ≠ 𝑧 ↔ ∀𝑦 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑔‘𝑦) ≠ 𝑦)
8		fveq1 6901	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (𝑔‘𝑦) = (𝑓‘𝑦))
9	8	neeq1d 2997	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → ((𝑔‘𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦))
10	9	ralbidv 3175	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (∀𝑦 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑔‘𝑦) ≠ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦))
11	7, 10	bitrid 282	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (∀𝑧 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑔‘𝑧) ≠ 𝑧 ↔ ∀𝑦 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦))
12	3, 11	anbi12d 630	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → ((𝑔:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ ∀𝑧 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑔‘𝑧) ≠ 𝑧) ↔ (𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ ∀𝑦 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)))
13	12	cbvabv 2801	. 2 ⊢ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ ∀𝑧 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑔‘𝑧) ≠ 𝑧)} = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ ∀𝑦 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}
14	1, 2, 13	subfacp1lem6 34828	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆‘(𝑁 + 1)) = (𝑁 · ((𝑆‘𝑁) + (𝑆‘(𝑁 − 1)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2705   ≠ wne 2937  ∀wral 3058   ↦ cmpt 5235  –1-1-onto→wf1o 6552  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  Fincfn 8970  1c1 11147   + caddc 11149   · cmul 11151   − cmin 11482  ℕcn 12250  ℕ₀cn0 12510  ...cfz 13524  ♯chash 14329

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-oadd 8497  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-dju 9932  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-n0 12511  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-hash 14330

This theorem is referenced by:  subfacval2  34830