Theorem submmulg 19031

Description: A group multiple is the same if evaluated in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
submmulgcl.t	⊢ ∙ = (.g‘𝐺)
submmulg.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
submmulg.t	⊢ · = (.g‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
submmulg	⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑁 ∙ 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))

Proof of Theorem submmulg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1192	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
2		submmulg.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
3		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4	2, 3	ressplusg 17195	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
5	1, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
6	5	seqeq2d 13915	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋})))
7	6	fveq1d 6824	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁) = (seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
8		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
9		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
10	9	submss 18717	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
11	10	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
12		simp3 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑆)
13	11, 12	sseldd 3935	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
14	13	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
15		submmulgcl.t	. . . . 5 ⊢ ∙ = (.g‘𝐺)
16		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))
17	9, 3, 15, 16	mulgnn 18988	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑁 ∙ 𝑋) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
18	8, 14, 17	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∙ 𝑋) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
19	2	submbas 18722	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
20	19	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
21	12, 20	eleqtrd 2833	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐻))
22	21	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐻))
23		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
24		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
25		submmulg.t	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐻)
26		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋}))
27	23, 24, 25, 26	mulgnn 18988	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑁 · 𝑋) = (seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
28	8, 22, 27	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑋) = (seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
29	7, 18, 28	3eqtr4d 2776	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∙ 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
30		simpl1 1192	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
31		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
32	2, 31	subm0 18723	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻))
33	30, 32	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻))
34	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
35	9, 31, 15	mulg0 18987	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) → (0 ∙ 𝑋) = (0g‘𝐺))
36	34, 35	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → (0 ∙ 𝑋) = (0g‘𝐺))
37	21	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐻))
38		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
39	23, 38, 25	mulg0 18987	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝐻) → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐻))
40	37, 39	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐻))
41	33, 36, 40	3eqtr4d 2776	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → (0 ∙ 𝑋) = (0 · 𝑋))
42		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
43	42	oveq1d 7361	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 ∙ 𝑋) = (0 ∙ 𝑋))
44	42	oveq1d 7361	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
45	41, 43, 44	3eqtr4d 2776	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 ∙ 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
46		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑁 ∈ ℕ0)
47		elnn0 12383	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
48	46, 47	sylib 218	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
49	29, 45, 48	mpjaodan 960	1 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑁 ∙ 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3902  {csn 4576   × cxp 5614  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  0cc0 11006  1c1 11007  ℕcn 12125  ℕ₀cn0 12381  seqcseq 13908  Basecbs 17120   ↾_s cress 17141  +_gcplusg 17161  0_gc0g 17343  SubMndcsubmnd 18690  ._gcmg 18980

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-seq 13909  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-0g 17345  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-submnd 18692  df-mulg 18981

This theorem is referenced by:  finodsubmsubg  19480  submod  19482  dchrfi  27194  dchrabs  27199  lgsqrlem1  27285  lgseisenlem4  27317  dchrisum0flblem1  27447  submarchi  33153  primrootsunit1  42136  primrootscoprmpow  42138  primrootscoprbij  42141  idomodle  43230  proot1ex  43235