Theorem submmulg 19136

Description: A group multiple is the same if evaluated in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
submmulgcl.t	⊢ ∙ = (.g‘𝐺)
submmulg.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
submmulg.t	⊢ · = (.g‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
submmulg	⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑁 ∙ 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))

Proof of Theorem submmulg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1192	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
2		submmulg.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
3		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4	2, 3	ressplusg 17334	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
5	1, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
6	5	seqeq2d 14049	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋})))
7	6	fveq1d 6908	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁) = (seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
8		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
9		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
10	9	submss 18822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
11	10	3ad2ant1 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
12		simp3 1139	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑆)
13	11, 12	sseldd 3984	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
14	13	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
15		submmulgcl.t	. . . . 5 ⊢ ∙ = (.g‘𝐺)
16		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))
17	9, 3, 15, 16	mulgnn 19093	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑁 ∙ 𝑋) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
18	8, 14, 17	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∙ 𝑋) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
19	2	submbas 18827	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
20	19	3ad2ant1 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
21	12, 20	eleqtrd 2843	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐻))
22	21	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐻))
23		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
24		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
25		submmulg.t	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐻)
26		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋}))
27	23, 24, 25, 26	mulgnn 19093	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑁 · 𝑋) = (seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
28	8, 22, 27	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑋) = (seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
29	7, 18, 28	3eqtr4d 2787	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∙ 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
30		simpl1 1192	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
31		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
32	2, 31	subm0 18828	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻))
33	30, 32	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻))
34	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
35	9, 31, 15	mulg0 19092	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) → (0 ∙ 𝑋) = (0g‘𝐺))
36	34, 35	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → (0 ∙ 𝑋) = (0g‘𝐺))
37	21	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐻))
38		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
39	23, 38, 25	mulg0 19092	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝐻) → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐻))
40	37, 39	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐻))
41	33, 36, 40	3eqtr4d 2787	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → (0 ∙ 𝑋) = (0 · 𝑋))
42		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
43	42	oveq1d 7446	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 ∙ 𝑋) = (0 ∙ 𝑋))
44	42	oveq1d 7446	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
45	41, 43, 44	3eqtr4d 2787	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 ∙ 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
46		simp2 1138	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑁 ∈ ℕ0)
47		elnn0 12528	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
48	46, 47	sylib 218	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
49	29, 45, 48	mpjaodan 961	1 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑁 ∙ 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3951  {csn 4626   × cxp 5683  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156  ℕcn 12266  ℕ₀cn0 12526  seqcseq 14042  Basecbs 17247   ↾_s cress 17274  +_gcplusg 17297  0_gc0g 17484  SubMndcsubmnd 18795  ._gcmg 19085

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-seq 14043  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086

This theorem is referenced by:  finodsubmsubg  19585  submod  19587  dchrfi  27299  dchrabs  27304  lgsqrlem1  27390  lgseisenlem4  27422  dchrisum0flblem1  27552  submarchi  33193  primrootsunit1  42098  primrootscoprmpow  42100  primrootscoprbij  42103  idomodle  43203  proot1ex  43208