MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  submmulg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem submmulg 18262
Description: A group multiple is the same if evaluated in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
submmulgcl.t = (.g𝐺)
submmulg.h 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
submmulg.t · = (.g𝐻)
Assertion
Ref Expression
submmulg ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) → (𝑁 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))

Proof of Theorem submmulg
StepHypRef Expression
1 simpl1 1188 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
2 submmulg.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
3 eqid 2822 . . . . . . 7 (+g𝐺) = (+g𝐺)
42, 3ressplusg 16603 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (+g𝐺) = (+g𝐻))
51, 4syl 17 . . . . 5 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (+g𝐺) = (+g𝐻))
65seqeq2d 13371 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g𝐻), (ℕ × {𝑋})))
76fveq1d 6654 . . 3 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁) = (seq1((+g𝐻), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
8 simpr 488 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
9 eqid 2822 . . . . . . . 8 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
109submss 17965 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
11103ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
12 simp3 1135 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) → 𝑋𝑆)
1311, 12sseldd 3943 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
1413adantr 484 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
15 submmulgcl.t . . . . 5 = (.g𝐺)
16 eqid 2822 . . . . 5 seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))
179, 3, 15, 16mulgnn 18223 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑁 𝑋) = (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
188, 14, 17syl2anc 587 . . 3 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 𝑋) = (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
192submbas 17970 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
20193ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
2112, 20eleqtrd 2916 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐻))
2221adantr 484 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐻))
23 eqid 2822 . . . . 5 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
24 eqid 2822 . . . . 5 (+g𝐻) = (+g𝐻)
25 submmulg.t . . . . 5 · = (.g𝐻)
26 eqid 2822 . . . . 5 seq1((+g𝐻), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g𝐻), (ℕ × {𝑋}))
2723, 24, 25, 26mulgnn 18223 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑁 · 𝑋) = (seq1((+g𝐻), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
288, 22, 27syl2anc 587 . . 3 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑋) = (seq1((+g𝐻), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
297, 18, 283eqtr4d 2867 . 2 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
30 simpl1 1188 . . . . 5 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
31 eqid 2822 . . . . . 6 (0g𝐺) = (0g𝐺)
322, 31subm0 17971 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (0g𝐺) = (0g𝐻))
3330, 32syl 17 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → (0g𝐺) = (0g𝐻))
3413adantr 484 . . . . 5 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
359, 31, 15mulg0 18222 . . . . 5 (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) → (0 𝑋) = (0g𝐺))
3634, 35syl 17 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → (0 𝑋) = (0g𝐺))
3721adantr 484 . . . . 5 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐻))
38 eqid 2822 . . . . . 6 (0g𝐻) = (0g𝐻)
3923, 38, 25mulg0 18222 . . . . 5 (𝑋 ∈ (Base‘𝐻) → (0 · 𝑋) = (0g𝐻))
4037, 39syl 17 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → (0 · 𝑋) = (0g𝐻))
4133, 36, 403eqtr4d 2867 . . 3 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → (0 𝑋) = (0 · 𝑋))
42 simpr 488 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
4342oveq1d 7155 . . 3 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 𝑋) = (0 𝑋))
4442oveq1d 7155 . . 3 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
4541, 43, 443eqtr4d 2867 . 2 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
46 simp2 1134 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) → 𝑁 ∈ ℕ0)
47 elnn0 11887 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
4846, 47sylib 221 . 2 ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
4929, 45, 48mpjaodan 956 1 ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) → (𝑁 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wo 844  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2114  wss 3908  {csn 4539   × cxp 5530  cfv 6334  (class class class)co 7140  0cc0 10526  1c1 10527  cn 11625  0cn0 11885  seqcseq 13364  Basecbs 16474  s cress 16475  +gcplusg 16556  0gc0g 16704  SubMndcsubmnd 17946  .gcmg 18215
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-seq 13365  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-0g 16706  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17948  df-mulg 18216
This theorem is referenced by:  submod  18685  dchrfi  25837  dchrabs  25842  lgsqrlem1  25928  lgseisenlem4  25960  dchrisum0flblem1  26090  submarchi  30846  idomodle  40070  proot1ex  40075
  Copyright terms: Public domain W3C validator