MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  submmulg Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem submmulg 18992
Description: A group multiple is the same if evaluated in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
submmulgcl.t βˆ™ = (.gβ€˜πΊ)
submmulg.h 𝐻 = (𝐺 β†Ύs 𝑆)
submmulg.t Β· = (.gβ€˜π»)
Assertion
Ref Expression
submmulg ((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ (𝑁 βˆ™ 𝑋) = (𝑁 Β· 𝑋))
Proof of Theorem submmulg
StepHypRef Expression
1 simpl1 1191 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
2 submmulg.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝐺 β†Ύs 𝑆)
3 eqid 2732 . . . . . . 7 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
42, 3ressplusg 17231 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜π»))
51, 4syl 17 . . . . 5 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜π»))
65seqeq2d 13969 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ seq1((+gβ€˜πΊ), (β„• Γ— {𝑋})) = seq1((+gβ€˜π»), (β„• Γ— {𝑋})))
76fveq1d 6890 . . 3 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (seq1((+gβ€˜πΊ), (β„• Γ— {𝑋}))β€˜π‘) = (seq1((+gβ€˜π»), (β„• Γ— {𝑋}))β€˜π‘))
8 simpr 485 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
9 eqid 2732 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
109submss 18686 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
11103ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
12 simp3 1138 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ 𝑆)
1311, 12sseldd 3982 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
1413adantr 481 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
15 submmulgcl.t . . . . 5 βˆ™ = (.gβ€˜πΊ)
16 eqid 2732 . . . . 5 seq1((+gβ€˜πΊ), (β„• Γ— {𝑋})) = seq1((+gβ€˜πΊ), (β„• Γ— {𝑋}))
179, 3, 15, 16mulgnn 18952 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (𝑁 βˆ™ 𝑋) = (seq1((+gβ€˜πΊ), (β„• Γ— {𝑋}))β€˜π‘))
188, 14, 17syl2anc 584 . . 3 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑁 βˆ™ 𝑋) = (seq1((+gβ€˜πΊ), (β„• Γ— {𝑋}))β€˜π‘))
192submbas 18691 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ 𝑆 = (Baseβ€˜π»))
20193ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ 𝑆 = (Baseβ€˜π»))
2112, 20eleqtrd 2835 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π»))
2221adantr 481 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π»))
23 eqid 2732 . . . . 5 (Baseβ€˜π») = (Baseβ€˜π»)
24 eqid 2732 . . . . 5 (+gβ€˜π») = (+gβ€˜π»)
25 submmulg.t . . . . 5 Β· = (.gβ€˜π»)
26 eqid 2732 . . . . 5 seq1((+gβ€˜π»), (β„• Γ— {𝑋})) = seq1((+gβ€˜π»), (β„• Γ— {𝑋}))
2723, 24, 25, 26mulgnn 18952 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π»)) β†’ (𝑁 Β· 𝑋) = (seq1((+gβ€˜π»), (β„• Γ— {𝑋}))β€˜π‘))
288, 22, 27syl2anc 584 . . 3 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑁 Β· 𝑋) = (seq1((+gβ€˜π»), (β„• Γ— {𝑋}))β€˜π‘))
297, 18, 283eqtr4d 2782 . 2 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑁 βˆ™ 𝑋) = (𝑁 Β· 𝑋))
30 simpl1 1191 . . . . 5 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) β†’ 𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
31 eqid 2732 . . . . . 6 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
322, 31subm0 18692 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜π»))
3330, 32syl 17 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) β†’ (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜π»))
3413adantr 481 . . . . 5 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
359, 31, 15mulg0 18951 . . . . 5 (𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΊ) β†’ (0 βˆ™ 𝑋) = (0gβ€˜πΊ))
3634, 35syl 17 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) β†’ (0 βˆ™ 𝑋) = (0gβ€˜πΊ))
3721adantr 481 . . . . 5 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π»))
38 eqid 2732 . . . . . 6 (0gβ€˜π») = (0gβ€˜π»)
3923, 38, 25mulg0 18951 . . . . 5 (𝑋 ∈ (Baseβ€˜π») β†’ (0 Β· 𝑋) = (0gβ€˜π»))
4037, 39syl 17 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) β†’ (0 Β· 𝑋) = (0gβ€˜π»))
4133, 36, 403eqtr4d 2782 . . 3 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) β†’ (0 βˆ™ 𝑋) = (0 Β· 𝑋))
42 simpr 485 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) β†’ 𝑁 = 0)
4342oveq1d 7420 . . 3 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) β†’ (𝑁 βˆ™ 𝑋) = (0 βˆ™ 𝑋))
4442oveq1d 7420 . . 3 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) β†’ (𝑁 Β· 𝑋) = (0 Β· 𝑋))
4541, 43, 443eqtr4d 2782 . 2 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) β†’ (𝑁 βˆ™ 𝑋) = (𝑁 Β· 𝑋))
46 simp2 1137 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
47 elnn0 12470 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 ↔ (𝑁 ∈ β„• ∨ 𝑁 = 0))
4846, 47sylib 217 . 2 ((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ (𝑁 ∈ β„• ∨ 𝑁 = 0))
4929, 45, 48mpjaodan 957 1 ((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ (𝑁 βˆ™ 𝑋) = (𝑁 Β· 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βŠ† wss 3947  {csn 4627   Γ— cxp 5673  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  0cc0 11106  1c1 11107  β„•cn 12208  β„•0cn0 12468  seqcseq 13962  Basecbs 17140   β†Ύs cress 17169  +gcplusg 17193  0gc0g 17381  SubMndcsubmnd 18666  .gcmg 18944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-seq 13963  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945
This theorem is referenced by:  finodsubmsubg  19429  submod  19431  dchrfi  26747  dchrabs  26752  lgsqrlem1  26838  lgseisenlem4  26870  dchrisum0flblem1  27000  submarchi  32319  idomodle  41923  proot1ex  41928
  Copyright terms: Public domain W3C validator