MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  submmulg Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem submmulg 19035
Description: A group multiple is the same if evaluated in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
submmulgcl.t βˆ™ = (.gβ€˜πΊ)
submmulg.h 𝐻 = (𝐺 β†Ύs 𝑆)
submmulg.t Β· = (.gβ€˜π»)
Assertion
Ref Expression
submmulg ((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ (𝑁 βˆ™ 𝑋) = (𝑁 Β· 𝑋))
Proof of Theorem submmulg
StepHypRef Expression
1 simpl1 1190 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
2 submmulg.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝐺 β†Ύs 𝑆)
3 eqid 2731 . . . . . . 7 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
42, 3ressplusg 17240 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜π»))
51, 4syl 17 . . . . 5 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜π»))
65seqeq2d 13978 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ seq1((+gβ€˜πΊ), (β„• Γ— {𝑋})) = seq1((+gβ€˜π»), (β„• Γ— {𝑋})))
76fveq1d 6893 . . 3 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (seq1((+gβ€˜πΊ), (β„• Γ— {𝑋}))β€˜π‘) = (seq1((+gβ€˜π»), (β„• Γ— {𝑋}))β€˜π‘))
8 simpr 484 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
9 eqid 2731 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
109submss 18727 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
11103ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
12 simp3 1137 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ 𝑆)
1311, 12sseldd 3983 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
1413adantr 480 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
15 submmulgcl.t . . . . 5 βˆ™ = (.gβ€˜πΊ)
16 eqid 2731 . . . . 5 seq1((+gβ€˜πΊ), (β„• Γ— {𝑋})) = seq1((+gβ€˜πΊ), (β„• Γ— {𝑋}))
179, 3, 15, 16mulgnn 18995 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (𝑁 βˆ™ 𝑋) = (seq1((+gβ€˜πΊ), (β„• Γ— {𝑋}))β€˜π‘))
188, 14, 17syl2anc 583 . . 3 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑁 βˆ™ 𝑋) = (seq1((+gβ€˜πΊ), (β„• Γ— {𝑋}))β€˜π‘))
192submbas 18732 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ 𝑆 = (Baseβ€˜π»))
20193ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ 𝑆 = (Baseβ€˜π»))
2112, 20eleqtrd 2834 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π»))
2221adantr 480 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π»))
23 eqid 2731 . . . . 5 (Baseβ€˜π») = (Baseβ€˜π»)
24 eqid 2731 . . . . 5 (+gβ€˜π») = (+gβ€˜π»)
25 submmulg.t . . . . 5 Β· = (.gβ€˜π»)
26 eqid 2731 . . . . 5 seq1((+gβ€˜π»), (β„• Γ— {𝑋})) = seq1((+gβ€˜π»), (β„• Γ— {𝑋}))
2723, 24, 25, 26mulgnn 18995 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π»)) β†’ (𝑁 Β· 𝑋) = (seq1((+gβ€˜π»), (β„• Γ— {𝑋}))β€˜π‘))
288, 22, 27syl2anc 583 . . 3 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑁 Β· 𝑋) = (seq1((+gβ€˜π»), (β„• Γ— {𝑋}))β€˜π‘))
297, 18, 283eqtr4d 2781 . 2 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑁 βˆ™ 𝑋) = (𝑁 Β· 𝑋))
30 simpl1 1190 . . . . 5 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) β†’ 𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
31 eqid 2731 . . . . . 6 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
322, 31subm0 18733 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜π»))
3330, 32syl 17 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) β†’ (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜π»))
3413adantr 480 . . . . 5 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
359, 31, 15mulg0 18994 . . . . 5 (𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΊ) β†’ (0 βˆ™ 𝑋) = (0gβ€˜πΊ))
3634, 35syl 17 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) β†’ (0 βˆ™ 𝑋) = (0gβ€˜πΊ))
3721adantr 480 . . . . 5 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π»))
38 eqid 2731 . . . . . 6 (0gβ€˜π») = (0gβ€˜π»)
3923, 38, 25mulg0 18994 . . . . 5 (𝑋 ∈ (Baseβ€˜π») β†’ (0 Β· 𝑋) = (0gβ€˜π»))
4037, 39syl 17 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) β†’ (0 Β· 𝑋) = (0gβ€˜π»))
4133, 36, 403eqtr4d 2781 . . 3 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) β†’ (0 βˆ™ 𝑋) = (0 Β· 𝑋))
42 simpr 484 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) β†’ 𝑁 = 0)
4342oveq1d 7427 . . 3 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) β†’ (𝑁 βˆ™ 𝑋) = (0 βˆ™ 𝑋))
4442oveq1d 7427 . . 3 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) β†’ (𝑁 Β· 𝑋) = (0 Β· 𝑋))
4541, 43, 443eqtr4d 2781 . 2 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) β†’ (𝑁 βˆ™ 𝑋) = (𝑁 Β· 𝑋))
46 simp2 1136 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
47 elnn0 12479 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 ↔ (𝑁 ∈ β„• ∨ 𝑁 = 0))
4846, 47sylib 217 . 2 ((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ (𝑁 ∈ β„• ∨ 𝑁 = 0))
4929, 45, 48mpjaodan 956 1 ((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ (𝑁 βˆ™ 𝑋) = (𝑁 Β· 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   βŠ† wss 3948  {csn 4628   Γ— cxp 5674  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  0cc0 11113  1c1 11114  β„•cn 12217  β„•0cn0 12477  seqcseq 13971  Basecbs 17149   β†Ύs cress 17178  +gcplusg 17202  0gc0g 17390  SubMndcsubmnd 18705  .gcmg 18987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-seq 13972  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-0g 17392  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988
This theorem is referenced by:  finodsubmsubg  19477  submod  19479  dchrfi  26995  dchrabs  27000  lgsqrlem1  27086  lgseisenlem4  27118  dchrisum0flblem1  27248  submarchi  32603  idomodle  42241  proot1ex  42246
  Copyright terms: Public domain W3C validator