Theorem submmulg 19158

Description: A group multiple is the same if evaluated in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
submmulgcl.t	⊢ ∙ = (.g‘𝐺)
submmulg.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
submmulg.t	⊢ · = (.g‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
submmulg	⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑁 ∙ 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))

Proof of Theorem submmulg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1191	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
2		submmulg.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
3		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4	2, 3	ressplusg 17349	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
5	1, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
6	5	seqeq2d 14059	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋})))
7	6	fveq1d 6922	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁) = (seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
8		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
9		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
10	9	submss 18844	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
11	10	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
12		simp3 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑆)
13	11, 12	sseldd 4009	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
14	13	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
15		submmulgcl.t	. . . . 5 ⊢ ∙ = (.g‘𝐺)
16		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))
17	9, 3, 15, 16	mulgnn 19115	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑁 ∙ 𝑋) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
18	8, 14, 17	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∙ 𝑋) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
19	2	submbas 18849	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
20	19	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
21	12, 20	eleqtrd 2846	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐻))
22	21	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐻))
23		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
24		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
25		submmulg.t	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐻)
26		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋}))
27	23, 24, 25, 26	mulgnn 19115	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑁 · 𝑋) = (seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
28	8, 22, 27	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑋) = (seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
29	7, 18, 28	3eqtr4d 2790	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∙ 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
30		simpl1 1191	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
31		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
32	2, 31	subm0 18850	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻))
33	30, 32	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻))
34	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
35	9, 31, 15	mulg0 19114	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) → (0 ∙ 𝑋) = (0g‘𝐺))
36	34, 35	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → (0 ∙ 𝑋) = (0g‘𝐺))
37	21	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐻))
38		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
39	23, 38, 25	mulg0 19114	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝐻) → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐻))
40	37, 39	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐻))
41	33, 36, 40	3eqtr4d 2790	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → (0 ∙ 𝑋) = (0 · 𝑋))
42		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
43	42	oveq1d 7463	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 ∙ 𝑋) = (0 ∙ 𝑋))
44	42	oveq1d 7463	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
45	41, 43, 44	3eqtr4d 2790	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 ∙ 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
46		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑁 ∈ ℕ0)
47		elnn0 12555	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
48	46, 47	sylib 218	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
49	29, 45, 48	mpjaodan 959	1 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑁 ∙ 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976  {csn 4648   × cxp 5698  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  0cc0 11184  1c1 11185  ℕcn 12293  ℕ₀cn0 12553  seqcseq 14052  Basecbs 17258   ↾_s cress 17287  +_gcplusg 17311  0_gc0g 17499  SubMndcsubmnd 18817  ._gcmg 19107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-seq 14053  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-mulg 19108

This theorem is referenced by:  finodsubmsubg  19609  submod  19611  dchrfi  27317  dchrabs  27322  lgsqrlem1  27408  lgseisenlem4  27440  dchrisum0flblem1  27570  submarchi  33166  primrootsunit1  42054  primrootscoprmpow  42056  primrootscoprbij  42059  idomodle  43152  proot1ex  43157