Theorem cmodscexp 25046

Description: The powers of i belong to the scalar subring of a subcomplex module if i belongs to the scalar subring . (Contributed by AV, 18-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
cmodscexp.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cmodscexp.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
cmodscexp	⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (i↑𝑁) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem cmodscexp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11062	. . . 4 ⊢ i ∈ ℂ
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ i ∈ 𝐾) → i ∈ ℂ)
3		nnnn0 12385	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
4		cnfldexp 21339	. . 3 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁(.g‘(mulGrp‘ℂfld))i) = (i↑𝑁))
5	2, 3, 4	syl2an 596	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁(.g‘(mulGrp‘ℂfld))i) = (i↑𝑁))
6		cmodscexp.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
7		cmodscexp.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
8	6, 7	clmsubrg 24991	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
9		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
10	9	subrgsubm 20498	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐾 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
11	8, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
12	11	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
13	3	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
14		simplr 768	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → i ∈ 𝐾)
15		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (.g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (.g‘(mulGrp‘ℂfld))
16	15	submmulgcl 19027	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ i ∈ 𝐾) → (𝑁(.g‘(mulGrp‘ℂfld))i) ∈ 𝐾)
17	12, 13, 14, 16	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁(.g‘(mulGrp‘ℂfld))i) ∈ 𝐾)
18	5, 17	eqeltrrd 2832	1 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (i↑𝑁) ∈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11001  ici 11005  ℕcn 12122  ℕ₀cn0 12378  ↑cexp 13965  Basecbs 17117  Scalarcsca 17161  SubMndcsubmnd 18687  ._gcmg 18977  mulGrpcmgp 20056  SubRingcsubrg 20482  ℂ_fldccnfld 21289  ℂModcclm 24987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-addf 11082  ax-mulf 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-z 12466  df-dec 12586  df-uz 12730  df-fz 13405  df-seq 13906  df-exp 13966  df-struct 17055  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ress 17139  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-starv 17173  df-tset 17177  df-ple 17178  df-ds 17180  df-unif 17181  df-0g 17342  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-submnd 18689  df-grp 18846  df-mulg 18978  df-cmn 19692  df-mgp 20057  df-ur 20098  df-ring 20151  df-cring 20152  df-subrg 20483  df-cnfld 21290  df-clm 24988

This theorem is referenced by:  cmodscmulexp  25047  cphipval  25168