Theorem cmodscexp 25241

Description: The powers of i belong to the scalar subring of a subcomplex module if i belongs to the scalar subring . (Contributed by AV, 18-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
cmodscexp.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cmodscexp.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
cmodscexp	⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (i↑𝑁) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem cmodscexp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11147	. . . 4 ⊢ i ∈ ℂ
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ i ∈ 𝐾) → i ∈ ℂ)
3		nnnn0 12502	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
4		cnfldexp 21515	. . 3 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁(.g‘(mulGrp‘ℂfld))i) = (i↑𝑁))
5	2, 3, 4	syl2an 607	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁(.g‘(mulGrp‘ℂfld))i) = (i↑𝑁))
6		cmodscexp.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
7		cmodscexp.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
8	6, 7	clmsubrg 25186	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
9		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
10	9	subrgsubm 20661	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐾 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
11	8, 10	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
12	11	ad2antrr 738	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
13	3	adantl 486	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
14		simplr 780	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → i ∈ 𝐾)
15		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (.g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (.g‘(mulGrp‘ℂfld))
16	15	submmulgcl 19174	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ i ∈ 𝐾) → (𝑁(.g‘(mulGrp‘ℂfld))i) ∈ 𝐾)
17	12, 13, 14, 16	syl3anc 1394	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁(.g‘(mulGrp‘ℂfld))i) ∈ 𝐾)
18	5, 17	eqeltrrd 2866	1 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (i↑𝑁) ∈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  ici 11090  ℕcn 12224  ℕ₀cn0 12495  ↑cexp 14088  Basecbs 17259  Scalarcsca 17303  SubMndcsubmnd 18830  ._gcmg 19124  mulGrpcmgp 20207  SubRingcsubrg 20645  ℂ_fldccnfld 21482  ℂModcclm 25182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-addf 11167  ax-mulf 11168

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-fz 13527  df-seq 14029  df-exp 14089  df-struct 17197  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-starv 17315  df-tset 17319  df-ple 17320  df-ds 17322  df-unif 17323  df-0g 17484  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-submnd 18832  df-grp 18993  df-mulg 19125  df-cmn 19843  df-mgp 20208  df-ur 20255  df-ring 20308  df-cring 20309  df-subrg 20646  df-cnfld 21483  df-clm 25183

This theorem is referenced by:  cmodscmulexp  25242  cphipval  25363