Theorem cmodscexp 25139

Description: The powers of i belong to the scalar subring of a subcomplex module if i belongs to the scalar subring . (Contributed by AV, 18-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
cmodscexp.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cmodscexp.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
cmodscexp	⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (i↑𝑁) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem cmodscexp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11217	. . . 4 ⊢ i ∈ ℂ
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ i ∈ 𝐾) → i ∈ ℂ)
3		nnnn0 12531	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
4		cnfldexp 21396	. . 3 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁(.g‘(mulGrp‘ℂfld))i) = (i↑𝑁))
5	2, 3, 4	syl2an 594	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁(.g‘(mulGrp‘ℂfld))i) = (i↑𝑁))
6		cmodscexp.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
7		cmodscexp.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
8	6, 7	clmsubrg 25084	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
9		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
10	9	subrgsubm 20569	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐾 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
11	8, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
12	11	ad2antrr 724	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
13	3	adantl 480	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
14		simplr 767	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → i ∈ 𝐾)
15		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (.g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (.g‘(mulGrp‘ℂfld))
16	15	submmulgcl 19111	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ i ∈ 𝐾) → (𝑁(.g‘(mulGrp‘ℂfld))i) ∈ 𝐾)
17	12, 13, 14, 16	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁(.g‘(mulGrp‘ℂfld))i) ∈ 𝐾)
18	5, 17	eqeltrrd 2827	1 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (i↑𝑁) ∈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  ℂcc 11156  ici 11160  ℕcn 12264  ℕ₀cn0 12524  ↑cexp 14081  Basecbs 17213  Scalarcsca 17269  SubMndcsubmnd 18772  ._gcmg 19061  mulGrpcmgp 20117  SubRingcsubrg 20551  ℂ_fldccnfld 21343  ℂModcclm 25080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-addf 11237  ax-mulf 11238

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-fz 13539  df-seq 14022  df-exp 14082  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-starv 17281  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-unif 17289  df-0g 17456  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-submnd 18774  df-grp 18931  df-mulg 19062  df-cmn 19780  df-mgp 20118  df-ur 20165  df-ring 20218  df-cring 20219  df-subrg 20553  df-cnfld 21344  df-clm 25081

This theorem is referenced by:  cmodscmulexp  25140  cphipval  25262