Theorem cmodscexp 25163

Description: The powers of i belong to the scalar subring of a subcomplex module if i belongs to the scalar subring . (Contributed by AV, 18-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
cmodscexp.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cmodscexp.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
cmodscexp	⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (i↑𝑁) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem cmodscexp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11129	. . . 4 ⊢ i ∈ ℂ
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ i ∈ 𝐾) → i ∈ ℂ)
3		nnnn0 12485	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
4		cnfldexp 21437	. . 3 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁(.g‘(mulGrp‘ℂfld))i) = (i↑𝑁))
5	2, 3, 4	syl2an 605	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁(.g‘(mulGrp‘ℂfld))i) = (i↑𝑁))
6		cmodscexp.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
7		cmodscexp.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
8	6, 7	clmsubrg 25108	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
9		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
10	9	subrgsubm 20614	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐾 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
11	8, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
12	11	ad2antrr 736	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
13	3	adantl 485	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
14		simplr 778	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → i ∈ 𝐾)
15		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (.g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (.g‘(mulGrp‘ℂfld))
16	15	submmulgcl 19142	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ i ∈ 𝐾) → (𝑁(.g‘(mulGrp‘ℂfld))i) ∈ 𝐾)
17	12, 13, 14, 16	syl3anc 1389	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁(.g‘(mulGrp‘ℂfld))i) ∈ 𝐾)
18	5, 17	eqeltrrd 2862	1 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (i↑𝑁) ∈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  ℂcc 11068  ici 11072  ℕcn 12207  ℕ₀cn0 12478  ↑cexp 14071  Basecbs 17228  Scalarcsca 17272  SubMndcsubmnd 18799  ._gcmg 19092  mulGrpcmgp 20169  SubRingcsubrg 20598  ℂ_fldccnfld 21404  ℂModcclm 25104

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-addf 11149  ax-mulf 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-z 12566  df-dec 12686  df-uz 12837  df-fz 13510  df-seq 14012  df-exp 14072  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-0g 17453  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-submnd 18801  df-grp 18961  df-mulg 19093  df-cmn 19805  df-mgp 20170  df-ur 20211  df-ring 20264  df-cring 20265  df-subrg 20599  df-cnfld 21405  df-clm 25105

This theorem is referenced by:  cmodscmulexp  25164  cphipval  25285