Theorem subrdom 33262

Description: A subring of a domain is a domain. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
subrdom.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
subrdom.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
subrdom	⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Domn)

Proof of Theorem subrdom

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrdom.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
2		domnnzr 20631	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
4		subrdom.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
5		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑆) = (𝑅 ↾s 𝑆)
6	5	subrgnzr 20519	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ NzRing)
7	3, 4, 6	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ NzRing)
8	1	ad3antrrr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → 𝑅 ∈ Domn)
9		eqid 2733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
10	9	subrgss 20497	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑅))
11	4, 10	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑅))
12	11	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑅))
13		simpllr 775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
14	5, 9	ressbas2 17159	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑅) → 𝑆 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
15	11, 14	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
16	15	ad3antrrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → 𝑆 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
17	13, 16	eleqtrrd 2836	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → 𝑥 ∈ 𝑆)
18	12, 17	sseldd 3932	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
19		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
20	19, 16	eleqtrrd 2836	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → 𝑦 ∈ 𝑆)
21	12, 20	sseldd 3932	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
22		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
23	4	elexd 3462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
24		eqid 2733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
25	5, 24	ressmulr 17221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ V → (.r‘𝑅) = (.r‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
26	23, 25	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑅) = (.r‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
27	26	oveqd 7372	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦))
28	27	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦))
29		subrgrcl 20501	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
30		ringmnd 20171	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
31	4, 29, 30	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
32		subrgsubg 20502	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
33		eqid 2733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
34	33	subg0cl 19057	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (0g‘𝑅) ∈ 𝑆)
35	4, 32, 34	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ 𝑆)
36	5, 9, 33	ress0g 18680	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑅)) → (0g‘𝑅) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
37	31, 35, 11, 36	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
38	37	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → (0g‘𝑅) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
39	22, 28, 38	3eqtr4d 2778	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (0g‘𝑅))
40	9, 24, 33	domneq0 20633	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (0g‘𝑅) ↔ (𝑥 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑅))))
41	40	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (0g‘𝑅)) → (𝑥 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑅)))
42	8, 18, 21, 39, 41	syl31anc 1375	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → (𝑥 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑅)))
43	38	eqeq2d 2744	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → (𝑥 = (0g‘𝑅) ↔ 𝑥 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))))
44	38	eqeq2d 2744	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → (𝑦 = (0g‘𝑅) ↔ 𝑦 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))))
45	43, 44	orbi12d 918	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → ((𝑥 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑅)) ↔ (𝑥 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)) ∨ 𝑦 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)))))
46	42, 45	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → (𝑥 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)) ∨ 𝑦 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))))
47	46	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → ((𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)) → (𝑥 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)) ∨ 𝑦 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)))))
48	47	anasss 466	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))) → ((𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)) → (𝑥 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)) ∨ 𝑦 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)))))
49	48	ralrimivva 3177	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))((𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)) → (𝑥 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)) ∨ 𝑦 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)))))
50		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)) = (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))
51		eqid 2733	. . 3 ⊢ (.r‘(𝑅 ↾s 𝑆)) = (.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))
52		eqid 2733	. . 3 ⊢ (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))
53	50, 51, 52	isdomn 20630	. 2 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Domn ↔ ((𝑅 ↾s 𝑆) ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))((𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)) → (𝑥 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)) ∨ 𝑦 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))))))
54	7, 49, 53	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Domn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049  Vcvv 3438   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  Basecbs 17130   ↾_s cress 17151  ._rcmulr 17172  0_gc0g 17353  Mndcmnd 18652  SubGrpcsubg 19043  Ringcrg 20161  NzRingcnzr 20437  SubRingcsubrg 20494  Domncdomn 20617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-nn 12136  df-2 12198  df-3 12199  df-sets 17085  df-slot 17103  df-ndx 17115  df-base 17131  df-ress 17152  df-plusg 17184  df-mulr 17185  df-0g 17355  df-mgm 18558  df-sgrp 18637  df-mnd 18653  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-subg 19046  df-cmn 19704  df-abl 19705  df-mgp 20069  df-rng 20081  df-ur 20110  df-ring 20163  df-nzr 20438  df-subrg 20495  df-domn 20620

This theorem is referenced by:  subridom  33263