Theorem subrdom 33583

Description: A subring of a domain is a domain. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
subrdom.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
subrdom.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
subrdom	⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Domn)

Proof of Theorem subrdom

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrdom.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
2		domnnzr 20792	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
4		subrdom.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
5		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑆) = (𝑅 ↾s 𝑆)
6	5	subrgnzr 20680	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ NzRing)
7	3, 4, 6	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ NzRing)
8	1	ad3antrrr 742	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → 𝑅 ∈ Domn)
9		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
10	9	subrgss 20658	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑅))
11	4, 10	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑅))
12	11	ad3antrrr 742	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑅))
13		simpllr 787	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
14	5, 9	ressbas2 17299	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑅) → 𝑆 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
15	11, 14	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
16	15	ad3antrrr 742	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → 𝑆 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
17	13, 16	eleqtrrd 2866	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → 𝑥 ∈ 𝑆)
18	12, 17	sseldd 3939	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
19		simplr 780	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
20	19, 16	eleqtrrd 2866	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → 𝑦 ∈ 𝑆)
21	12, 20	sseldd 3939	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
22		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
23	4	elexd 3478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
24		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
25	5, 24	ressmulr 17361	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ V → (.r‘𝑅) = (.r‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
26	23, 25	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑅) = (.r‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
27	26	oveqd 7429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦))
28	27	ad3antrrr 742	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦))
29		subrgrcl 20662	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
30		ringmnd 20326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
31	4, 29, 30	3syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
32		subrgsubg 20663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
33		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
34	33	subg0cl 19201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (0g‘𝑅) ∈ 𝑆)
35	4, 32, 34	3syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ 𝑆)
36	5, 9, 33	ress0g 18821	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑅)) → (0g‘𝑅) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
37	31, 35, 11, 36	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
38	37	ad3antrrr 742	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → (0g‘𝑅) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
39	22, 28, 38	3eqtr4d 2808	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (0g‘𝑅))
40	9, 24, 33	domneq0 20794	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (0g‘𝑅) ↔ (𝑥 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑅))))
41	40	biimpa 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (0g‘𝑅)) → (𝑥 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑅)))
42	8, 18, 21, 39, 41	syl31anc 1400	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → (𝑥 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑅)))
43	38	eqeq2d 2774	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → (𝑥 = (0g‘𝑅) ↔ 𝑥 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))))
44	38	eqeq2d 2774	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → (𝑦 = (0g‘𝑅) ↔ 𝑦 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))))
45	43, 44	orbi12d 931	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → ((𝑥 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑅)) ↔ (𝑥 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)) ∨ 𝑦 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)))))
46	42, 45	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → (𝑥 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)) ∨ 𝑦 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))))
47	46	ex 417	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → ((𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)) → (𝑥 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)) ∨ 𝑦 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)))))
48	47	anasss 471	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))) → ((𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)) → (𝑥 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)) ∨ 𝑦 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)))))
49	48	ralrimivva 3208	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))((𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)) → (𝑥 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)) ∨ 𝑦 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)))))
50		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)) = (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))
51		eqid 2763	. . 3 ⊢ (.r‘(𝑅 ↾s 𝑆)) = (.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))
52		eqid 2763	. . 3 ⊢ (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))
53	50, 51, 52	isdomn 20791	. 2 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Domn ↔ ((𝑅 ↾s 𝑆) ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))((𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)) → (𝑥 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)) ∨ 𝑦 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))))))
54	7, 49, 53	sylanbrc 594	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Domn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  Vcvv 3455   ⊆ wss 3906  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Basecbs 17270   ↾_s cress 17291  ._rcmulr 17312  0_gc0g 17493  Mndcmnd 18793  SubGrpcsubg 19187  Ringcrg 20316  NzRingcnzr 20596  SubRingcsubrg 20655  Domncdomn 20778

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-0g 17495  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-subg 19190  df-cmn 19853  df-abl 19854  df-mgp 20218  df-rng 20232  df-ur 20265  df-ring 20318  df-nzr 20597  df-subrg 20656  df-domn 20781

This theorem is referenced by:  subridom  33584