Theorem subrdom 33254

Description: A subring of a domain is a domain. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
subrdom.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
subrdom.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
subrdom	⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Domn)

Proof of Theorem subrdom

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrdom.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
2		domnnzr 20728	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
4		subrdom.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
5		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑆) = (𝑅 ↾s 𝑆)
6	5	subrgnzr 20622	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ NzRing)
7	3, 4, 6	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ NzRing)
8	1	ad3antrrr 729	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → 𝑅 ∈ Domn)
9		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
10	9	subrgss 20600	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑅))
11	4, 10	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑅))
12	11	ad3antrrr 729	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑅))
13		simpllr 775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
14	5, 9	ressbas2 17296	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑅) → 𝑆 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
15	11, 14	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
16	15	ad3antrrr 729	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → 𝑆 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
17	13, 16	eleqtrrd 2847	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → 𝑥 ∈ 𝑆)
18	12, 17	sseldd 4009	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
19		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
20	19, 16	eleqtrrd 2847	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → 𝑦 ∈ 𝑆)
21	12, 20	sseldd 4009	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
22		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
23	4	elexd 3512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
24		eqid 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
25	5, 24	ressmulr 17366	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ V → (.r‘𝑅) = (.r‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
26	23, 25	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑅) = (.r‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
27	26	oveqd 7465	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦))
28	27	ad3antrrr 729	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦))
29		subrgrcl 20604	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
30		ringmnd 20270	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
31	4, 29, 30	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
32		subrgsubg 20605	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
33		eqid 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
34	33	subg0cl 19174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (0g‘𝑅) ∈ 𝑆)
35	4, 32, 34	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ 𝑆)
36	5, 9, 33	ress0g 18800	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑅)) → (0g‘𝑅) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
37	31, 35, 11, 36	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
38	37	ad3antrrr 729	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → (0g‘𝑅) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
39	22, 28, 38	3eqtr4d 2790	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (0g‘𝑅))
40	9, 24, 33	domneq0 20730	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (0g‘𝑅) ↔ (𝑥 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑅))))
41	40	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (0g‘𝑅)) → (𝑥 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑅)))
42	8, 18, 21, 39, 41	syl31anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → (𝑥 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑅)))
43	38	eqeq2d 2751	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → (𝑥 = (0g‘𝑅) ↔ 𝑥 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))))
44	38	eqeq2d 2751	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → (𝑦 = (0g‘𝑅) ↔ 𝑦 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))))
45	43, 44	orbi12d 917	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → ((𝑥 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑅)) ↔ (𝑥 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)) ∨ 𝑦 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)))))
46	42, 45	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → (𝑥 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)) ∨ 𝑦 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))))
47	46	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → ((𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)) → (𝑥 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)) ∨ 𝑦 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)))))
48	47	anasss 466	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))) → ((𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)) → (𝑥 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)) ∨ 𝑦 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)))))
49	48	ralrimivva 3208	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))((𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)) → (𝑥 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)) ∨ 𝑦 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)))))
50		eqid 2740	. . 3 ⊢ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)) = (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))
51		eqid 2740	. . 3 ⊢ (.r‘(𝑅 ↾s 𝑆)) = (.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))
52		eqid 2740	. . 3 ⊢ (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))
53	50, 51, 52	isdomn 20727	. 2 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Domn ↔ ((𝑅 ↾s 𝑆) ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))((𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)) → (𝑥 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)) ∨ 𝑦 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))))))
54	7, 49, 53	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Domn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258   ↾_s cress 17287  ._rcmulr 17312  0_gc0g 17499  Mndcmnd 18772  SubGrpcsubg 19160  Ringcrg 20260  NzRingcnzr 20538  SubRingcsubrg 20595  Domncdomn 20714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-subg 19163  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-nzr 20539  df-subrg 20597  df-domn 20717

This theorem is referenced by:  subridom  33255