Theorem subrdom 33828

Description: A subring of a domain is a domain. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
subrdom.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
subrdom.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
subrdom	⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Domn)

Proof of Theorem subrdom

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrdom.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
2		domnnzr 20938	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
4		subrdom.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
5		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑆) = (𝑅 ↾s 𝑆)
6	5	subrgnzr 20826	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ NzRing)
7	3, 4, 6	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ NzRing)
8	1	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → 𝑅 ∈ Domn)
9		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
10	9	subrgss 20804	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑅))
11	4, 10	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑅))
12	11	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑅))
13		simpllr 788	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
14	5, 9	ressbas2 17396	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑅) → 𝑆 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
15	11, 14	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
16	15	ad3antrrr 743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → 𝑆 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
17	13, 16	eleqtrrd 2864	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → 𝑥 ∈ 𝑆)
18	12, 17	sseldd 3932	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
19		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
20	19, 16	eleqtrrd 2864	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → 𝑦 ∈ 𝑆)
21	12, 20	sseldd 3932	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
22		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
23	4	elexd 3474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
24		eqid 2761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
25	5, 24	ressmulr 17458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ V → (.r‘𝑅) = (.r‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
26	23, 25	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑅) = (.r‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
27	26	oveqd 7429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦))
28	27	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦))
29		subrgrcl 20808	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
30		ringmnd 20450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
31	4, 29, 30	3syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
32		subrgsubg 20809	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
33		eqid 2761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
34	33	subg0cl 19324	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (0g‘𝑅) ∈ 𝑆)
35	4, 32, 34	3syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ 𝑆)
36	5, 9, 33	ress0g 18934	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑅)) → (0g‘𝑅) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
37	31, 35, 11, 36	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
38	37	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → (0g‘𝑅) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
39	22, 28, 38	3eqtr4d 2806	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (0g‘𝑅))
40	9, 24, 33	domneq0 20940	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (0g‘𝑅) ↔ (𝑥 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑅))))
41	40	biimpa 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (0g‘𝑅)) → (𝑥 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑅)))
42	8, 18, 21, 39, 41	syl31anc 1400	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → (𝑥 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑅)))
43	38	eqeq2d 2772	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → (𝑥 = (0g‘𝑅) ↔ 𝑥 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))))
44	38	eqeq2d 2772	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → (𝑦 = (0g‘𝑅) ↔ 𝑦 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))))
45	43, 44	orbi12d 932	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → ((𝑥 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑅)) ↔ (𝑥 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)) ∨ 𝑦 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)))))
46	42, 45	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → (𝑥 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)) ∨ 𝑦 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))))
47	46	ex 418	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → ((𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)) → (𝑥 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)) ∨ 𝑦 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)))))
48	47	anasss 472	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))) → ((𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)) → (𝑥 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)) ∨ 𝑦 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)))))
49	48	ralrimivva 3206	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))((𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)) → (𝑥 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)) ∨ 𝑦 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)))))
50		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)) = (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))
51		eqid 2761	. . 3 ⊢ (.r‘(𝑅 ↾s 𝑆)) = (.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))
52		eqid 2761	. . 3 ⊢ (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))
53	50, 51, 52	isdomn 20937	. 2 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Domn ↔ ((𝑅 ↾s 𝑆) ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))((𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)) → (𝑥 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)) ∨ 𝑦 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))))))
54	7, 49, 53	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Domn)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Basecbs 17367   ↾_s cress 17388  ._rcmulr 17409  0_gc0g 17590  Mndcmnd 18903  SubGrpcsubg 19310  Ringcrg 20439  NzRingcnzr 20742  SubRingcsubrg 20801  Domncdomn 20924

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-0g 17592  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-grp 19127  df-minusg 19128  df-subg 19313  df-cmn 19976  df-abl 19977  df-mgp 20341  df-rng 20355  df-ur 20388  df-ring 20441  df-nzr 20743  df-subrg 20802  df-domn 20927

This theorem is used by:  subridom  33829