Theorem subrdom 33373

Description: A subring of a domain is a domain. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
subrdom.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
subrdom.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
subrdom	⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Domn)

Proof of Theorem subrdom

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrdom.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
2		domnnzr 20685	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
4		subrdom.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
5		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑆) = (𝑅 ↾s 𝑆)
6	5	subrgnzr 20573	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ NzRing)
7	3, 4, 6	syl2anc 590	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ NzRing)
8	1	ad3antrrr 736	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → 𝑅 ∈ Domn)
9		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
10	9	subrgss 20551	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑅))
11	4, 10	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑅))
12	11	ad3antrrr 736	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑅))
13		simpllr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
14	5, 9	ressbas2 17206	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑅) → 𝑆 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
15	11, 14	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
16	15	ad3antrrr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → 𝑆 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
17	13, 16	eleqtrrd 2843	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → 𝑥 ∈ 𝑆)
18	12, 17	sseldd 3923	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
19		simplr 774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
20	19, 16	eleqtrrd 2843	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → 𝑦 ∈ 𝑆)
21	12, 20	sseldd 3923	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
22		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
23	4	elexd 3456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
24		eqid 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
25	5, 24	ressmulr 17268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ V → (.r‘𝑅) = (.r‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
26	23, 25	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑅) = (.r‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
27	26	oveqd 7380	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦))
28	27	ad3antrrr 736	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦))
29		subrgrcl 20555	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
30		ringmnd 20222	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
31	4, 29, 30	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
32		subrgsubg 20556	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
33		eqid 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
34	33	subg0cl 19108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (0g‘𝑅) ∈ 𝑆)
35	4, 32, 34	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ 𝑆)
36	5, 9, 33	ress0g 18728	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑅)) → (0g‘𝑅) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
37	31, 35, 11, 36	syl3anc 1379	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
38	37	ad3antrrr 736	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → (0g‘𝑅) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
39	22, 28, 38	3eqtr4d 2785	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (0g‘𝑅))
40	9, 24, 33	domneq0 20687	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (0g‘𝑅) ↔ (𝑥 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑅))))
41	40	biimpa 477	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (0g‘𝑅)) → (𝑥 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑅)))
42	8, 18, 21, 39, 41	syl31anc 1381	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → (𝑥 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑅)))
43	38	eqeq2d 2751	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → (𝑥 = (0g‘𝑅) ↔ 𝑥 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))))
44	38	eqeq2d 2751	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → (𝑦 = (0g‘𝑅) ↔ 𝑦 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))))
45	43, 44	orbi12d 924	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → ((𝑥 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑅)) ↔ (𝑥 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)) ∨ 𝑦 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)))))
46	42, 45	mpbid 233	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ (𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → (𝑥 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)) ∨ 𝑦 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))))
47	46	ex 413	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → ((𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)) → (𝑥 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)) ∨ 𝑦 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)))))
48	47	anasss 467	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))) → ((𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)) → (𝑥 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)) ∨ 𝑦 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)))))
49	48	ralrimivva 3183	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))((𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)) → (𝑥 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)) ∨ 𝑦 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)))))
50		eqid 2740	. . 3 ⊢ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)) = (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))
51		eqid 2740	. . 3 ⊢ (.r‘(𝑅 ↾s 𝑆)) = (.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))
52		eqid 2740	. . 3 ⊢ (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))
53	50, 51, 52	isdomn 20684	. 2 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Domn ↔ ((𝑅 ↾s 𝑆) ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))((𝑥(.r‘(𝑅 ↾s 𝑆))𝑦) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)) → (𝑥 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)) ∨ 𝑦 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))))))
54	7, 49, 53	sylanbrc 589	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Domn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 853   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3054  Vcvv 3432   ⊆ wss 3890  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Basecbs 17177   ↾_s cress 17198  ._rcmulr 17219  0_gc0g 17400  Mndcmnd 18700  SubGrpcsubg 19094  Ringcrg 20212  NzRingcnzr 20491  SubRingcsubrg 20548  Domncdomn 20671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-0g 17402  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-subg 19097  df-cmn 19755  df-abl 19756  df-mgp 20120  df-rng 20132  df-ur 20161  df-ring 20214  df-nzr 20492  df-subrg 20549  df-domn 20674

This theorem is referenced by:  subridom  33374