Theorem gsummpt1n0 19870

Description: If only one summand in a finite group sum is not zero, the whole sum equals this summand. More general version of gsummptif1n0 19871. (Contributed by AV, 11-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummpt1n0.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsummpt1n0.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
gsummpt1n0.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
gsummpt1n0.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
gsummpt1n0.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
gsummpt1n0.a	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝐼 𝐴 ∈ (Base‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
gsummpt1n0	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ⦋𝑋 / 𝑛⦌𝐴)

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺   𝑛,𝐼   𝑛,𝑋   𝜑,𝑛   0 ,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝑊(𝑛)

Proof of Theorem gsummpt1n0

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2724	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		gsummpt1n0.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsummpt1n0.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
4		gsummpt1n0.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		gsummpt1n0.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
6		gsummpt1n0.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝐼 𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
7	6	r19.21bi 3240	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
8	1, 2	mndidcl 18669	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ (Base‘𝐺))
9	3, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (Base‘𝐺))
10	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 0 ∈ (Base‘𝐺))
11	7, 10	ifcld 4566	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ) ∈ (Base‘𝐺))
12		gsummpt1n0.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
13	11, 12	fmptd 7105	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶(Base‘𝐺))
14	12	oveq1i 7411	. . . 4 ⊢ (𝐹 supp 0 ) = ((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 )
15		eldifsni 4785	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋}) → 𝑛 ≠ 𝑋)
16	15	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋})) → 𝑛 ≠ 𝑋)
17		ifnefalse 4532	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ≠ 𝑋 → if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = 0 )
18	16, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋})) → if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = 0 )
19	18, 4	suppss2 8180	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ⊆ {𝑋})
20	14, 19	eqsstrid 4022	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ {𝑋})
21	1, 2, 3, 4, 5, 13, 20	gsumpt 19867	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐹‘𝑋))
22		nfcv 2895	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 )
23		nfv 1909	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑦 = 𝑋
24		nfcsb1v 3910	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑦 / 𝑛⦌𝐴
25		nfcv 2895	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛 0
26	23, 24, 25	nfif 4550	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛if(𝑦 = 𝑋, ⦋𝑦 / 𝑛⦌𝐴, 0 )
27		eqeq1 2728	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → (𝑛 = 𝑋 ↔ 𝑦 = 𝑋))
28		csbeq1a 3899	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → 𝐴 = ⦋𝑦 / 𝑛⦌𝐴)
29	27, 28	ifbieq1d 4544	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = if(𝑦 = 𝑋, ⦋𝑦 / 𝑛⦌𝐴, 0 ))
30	22, 26, 29	cbvmpt 5249	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 )) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, ⦋𝑦 / 𝑛⦌𝐴, 0 ))
31	12, 30	eqtri 2752	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, ⦋𝑦 / 𝑛⦌𝐴, 0 ))
32		iftrue 4526	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → if(𝑦 = 𝑋, ⦋𝑦 / 𝑛⦌𝐴, 0 ) = ⦋𝑦 / 𝑛⦌𝐴)
33		csbeq1 3888	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → ⦋𝑦 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑋 / 𝑛⦌𝐴)
34	32, 33	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → if(𝑦 = 𝑋, ⦋𝑦 / 𝑛⦌𝐴, 0 ) = ⦋𝑋 / 𝑛⦌𝐴)
35		rspcsbela 4427	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐼 𝐴 ∈ (Base‘𝐺)) → ⦋𝑋 / 𝑛⦌𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
36	5, 6, 35	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑋 / 𝑛⦌𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
37	31, 34, 5, 36	fvmptd3 7011	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = ⦋𝑋 / 𝑛⦌𝐴)
38	21, 37	eqtrd 2764	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ⦋𝑋 / 𝑛⦌𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  ∀wral 3053  ⦋csb 3885   ∖ cdif 3937  ifcif 4520  {csn 4620   ↦ cmpt 5221  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401   supp csupp 8140  Basecbs 17140  0_gc0g 17381   Σ_g cgsu 17382  Mndcmnd 18654

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-fsupp 9357  df-oi 9500  df-card 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18560  df-sgrp 18639  df-mnd 18655  df-submnd 18701  df-mulg 18983  df-cntz 19218  df-cmn 19687

This theorem is referenced by:  gsummptif1n0  19871  gsummoncoe1  22138  scmatscm  22325  idpm2idmp  22613  mp2pm2mplem4  22621  monmat2matmon  22636