Theorem gsummpt1n0 20180

Description: If only one summand in a finite group sum is not zero, the whole sum equals this summand. More general version of gsummptif1n0 20181. (Contributed by AV, 11-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummpt1n0.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsummpt1n0.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
gsummpt1n0.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
gsummpt1n0.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
gsummpt1n0.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
gsummpt1n0.a	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝐼 𝐴 ∈ (Base‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
gsummpt1n0	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ⦋𝑋 / 𝑛⦌𝐴)

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺   𝑛,𝐼   𝑛,𝑋   𝜑,𝑛   0 ,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝑊(𝑛)

Proof of Theorem gsummpt1n0

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		gsummpt1n0.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsummpt1n0.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
4		gsummpt1n0.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		gsummpt1n0.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
6		gsummpt1n0.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝐼 𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
7	6	r19.21bi 3255	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
8	1, 2	mndidcl 18940	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ (Base‘𝐺))
9	3, 8	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (Base‘𝐺))
10	9	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 0 ∈ (Base‘𝐺))
11	7, 10	ifcld 4529	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ) ∈ (Base‘𝐺))
12		gsummpt1n0.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
13	11, 12	fmptd 7115	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶(Base‘𝐺))
14	12	oveq1i 7431	. . . 4 ⊢ (𝐹 supp 0 ) = ((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 )
15		eldifsni 4753	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋}) → 𝑛 ≠ 𝑋)
16	15	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋})) → 𝑛 ≠ 𝑋)
17		ifnefalse 4494	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ≠ 𝑋 → if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = 0 )
18	16, 17	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋})) → if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = 0 )
19	18, 4	suppss2 8218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ⊆ {𝑋})
20	14, 19	eqsstrid 3967	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ {𝑋})
21	1, 2, 3, 4, 5, 13, 20	gsumpt 20177	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐹‘𝑋))
22		nfcv 2923	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 )
23		nfv 1947	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑦 = 𝑋
24		nfcsb1v 3871	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑦 / 𝑛⦌𝐴
25		nfcv 2923	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛 0
26	23, 24, 25	nfif 4513	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛if(𝑦 = 𝑋, ⦋𝑦 / 𝑛⦌𝐴, 0 )
27		eqeq1 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → (𝑛 = 𝑋 ↔ 𝑦 = 𝑋))
28		csbeq1a 3861	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → 𝐴 = ⦋𝑦 / 𝑛⦌𝐴)
29	27, 28	ifbieq1d 4507	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = if(𝑦 = 𝑋, ⦋𝑦 / 𝑛⦌𝐴, 0 ))
30	22, 26, 29	cbvmpt 5207	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 )) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, ⦋𝑦 / 𝑛⦌𝐴, 0 ))
31	12, 30	eqtri 2784	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, ⦋𝑦 / 𝑛⦌𝐴, 0 ))
32		iftrue 4488	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → if(𝑦 = 𝑋, ⦋𝑦 / 𝑛⦌𝐴, 0 ) = ⦋𝑦 / 𝑛⦌𝐴)
33		csbeq1 3850	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → ⦋𝑦 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑋 / 𝑛⦌𝐴)
34	32, 33	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → if(𝑦 = 𝑋, ⦋𝑦 / 𝑛⦌𝐴, 0 ) = ⦋𝑋 / 𝑛⦌𝐴)
35		rspcsbela 4396	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐼 𝐴 ∈ (Base‘𝐺)) → ⦋𝑋 / 𝑛⦌𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
36	5, 6, 35	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑋 / 𝑛⦌𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
37	31, 34, 5, 36	fvmptd3 7018	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = ⦋𝑋 / 𝑛⦌𝐴)
38	21, 37	eqtrd 2796	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ⦋𝑋 / 𝑛⦌𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  ⦋csb 3847   ∖ cdif 3896  ifcif 4482  {csn 4584   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421   supp csupp 8178  Basecbs 17388  0_gc0g 17611   Σ_g cgsu 17612  Mndcmnd 18924

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-pss 4035  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-supp 8179  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-2o 8478  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9355  df-oi 9505  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-n0 12608  df-z 12695  df-uz 12967  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-seq 14146  df-hash 14476  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-ress 17410  df-plusg 17442  df-0g 17613  df-gsum 17614  df-mre 17757  df-mrc 17758  df-acs 17760  df-mgm 18817  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-submnd 18980  df-mulg 19279  df-cntz 19532  df-cmn 19997

This theorem is used by:  gsummptif1n0  20181  gsummoncoe1  22627  scmatscm  22829  idpm2idmp  23120  mp2pm2mplem4  23128  monmat2matmon  23143