Theorem gsummpt1n0 20066

Description: If only one summand in a finite group sum is not zero, the whole sum equals this summand. More general version of gsummptif1n0 20067. (Contributed by AV, 11-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummpt1n0.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsummpt1n0.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
gsummpt1n0.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
gsummpt1n0.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
gsummpt1n0.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
gsummpt1n0.a	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝐼 𝐴 ∈ (Base‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
gsummpt1n0	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ⦋𝑋 / 𝑛⦌𝐴)

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺   𝑛,𝐼   𝑛,𝑋   𝜑,𝑛   0 ,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝑊(𝑛)

Proof of Theorem gsummpt1n0

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2766	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		gsummpt1n0.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsummpt1n0.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
4		gsummpt1n0.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		gsummpt1n0.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
6		gsummpt1n0.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝐼 𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
7	6	r19.21bi 3260	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
8	1, 2	mndidcl 18836	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ (Base‘𝐺))
9	3, 8	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (Base‘𝐺))
10	9	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 0 ∈ (Base‘𝐺))
11	7, 10	ifcld 4539	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ) ∈ (Base‘𝐺))
12		gsummpt1n0.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
13	11, 12	fmptd 7116	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶(Base‘𝐺))
14	12	oveq1i 7433	. . . 4 ⊢ (𝐹 supp 0 ) = ((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 )
15		eldifsni 4763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋}) → 𝑛 ≠ 𝑋)
16	15	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋})) → 𝑛 ≠ 𝑋)
17		ifnefalse 4504	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ≠ 𝑋 → if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = 0 )
18	16, 17	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋})) → if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = 0 )
19	18, 4	suppss2 8205	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ⊆ {𝑋})
20	14, 19	eqsstrid 3978	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ {𝑋})
21	1, 2, 3, 4, 5, 13, 20	gsumpt 20063	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐹‘𝑋))
22		nfcv 2928	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 )
23		nfv 1947	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑦 = 𝑋
24		nfcsb1v 3880	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑦 / 𝑛⦌𝐴
25		nfcv 2928	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛 0
26	23, 24, 25	nfif 4523	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛if(𝑦 = 𝑋, ⦋𝑦 / 𝑛⦌𝐴, 0 )
27		eqeq1 2770	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → (𝑛 = 𝑋 ↔ 𝑦 = 𝑋))
28		csbeq1a 3870	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → 𝐴 = ⦋𝑦 / 𝑛⦌𝐴)
29	27, 28	ifbieq1d 4517	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = if(𝑦 = 𝑋, ⦋𝑦 / 𝑛⦌𝐴, 0 ))
30	22, 26, 29	cbvmpt 5218	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 )) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, ⦋𝑦 / 𝑛⦌𝐴, 0 ))
31	12, 30	eqtri 2789	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, ⦋𝑦 / 𝑛⦌𝐴, 0 ))
32		iftrue 4498	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → if(𝑦 = 𝑋, ⦋𝑦 / 𝑛⦌𝐴, 0 ) = ⦋𝑦 / 𝑛⦌𝐴)
33		csbeq1 3859	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → ⦋𝑦 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑋 / 𝑛⦌𝐴)
34	32, 33	eqtrd 2801	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → if(𝑦 = 𝑋, ⦋𝑦 / 𝑛⦌𝐴, 0 ) = ⦋𝑋 / 𝑛⦌𝐴)
35		rspcsbela 4406	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐼 𝐴 ∈ (Base‘𝐺)) → ⦋𝑋 / 𝑛⦌𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
36	5, 6, 35	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑋 / 𝑛⦌𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
37	31, 34, 5, 36	fvmptd3 7020	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = ⦋𝑋 / 𝑛⦌𝐴)
38	21, 37	eqtrd 2801	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ⦋𝑋 / 𝑛⦌𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ∀wral 3082  ⦋csb 3856   ∖ cdif 3905  ifcif 4492  {csn 4594   ↦ cmpt 5197  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   supp csupp 8165  Basecbs 17294  0_gc0g 17517   Σ_g cgsu 17518  Mndcmnd 18821

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-hash 14387  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-0g 17519  df-gsum 17520  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-submnd 18873  df-mulg 19165  df-cntz 19418  df-cmn 19883

This theorem is used by:  gsummptif1n0  20067  gsummoncoe1  22505  scmatscm  22707  idpm2idmp  22995  mp2pm2mplem4  23003  monmat2matmon  23018