Theorem gsummpt1n0 19951

Description: If only one summand in a finite group sum is not zero, the whole sum equals this summand. More general version of gsummptif1n0 19952. (Contributed by AV, 11-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummpt1n0.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsummpt1n0.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
gsummpt1n0.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
gsummpt1n0.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
gsummpt1n0.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
gsummpt1n0.a	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝐼 𝐴 ∈ (Base‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
gsummpt1n0	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ⦋𝑋 / 𝑛⦌𝐴)

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺   𝑛,𝐼   𝑛,𝑋   𝜑,𝑛   0 ,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝑊(𝑛)

Proof of Theorem gsummpt1n0

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		gsummpt1n0.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsummpt1n0.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
4		gsummpt1n0.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		gsummpt1n0.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
6		gsummpt1n0.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝐼 𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
7	6	r19.21bi 3238	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
8	1, 2	mndidcl 18732	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ (Base‘𝐺))
9	3, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (Base‘𝐺))
10	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 0 ∈ (Base‘𝐺))
11	7, 10	ifcld 4552	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ) ∈ (Base‘𝐺))
12		gsummpt1n0.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
13	11, 12	fmptd 7109	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶(Base‘𝐺))
14	12	oveq1i 7420	. . . 4 ⊢ (𝐹 supp 0 ) = ((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 )
15		eldifsni 4771	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋}) → 𝑛 ≠ 𝑋)
16	15	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋})) → 𝑛 ≠ 𝑋)
17		ifnefalse 4517	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ≠ 𝑋 → if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = 0 )
18	16, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋})) → if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = 0 )
19	18, 4	suppss2 8204	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ⊆ {𝑋})
20	14, 19	eqsstrid 4002	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ {𝑋})
21	1, 2, 3, 4, 5, 13, 20	gsumpt 19948	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐹‘𝑋))
22		nfcv 2899	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 )
23		nfv 1914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑦 = 𝑋
24		nfcsb1v 3903	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑦 / 𝑛⦌𝐴
25		nfcv 2899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛 0
26	23, 24, 25	nfif 4536	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛if(𝑦 = 𝑋, ⦋𝑦 / 𝑛⦌𝐴, 0 )
27		eqeq1 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → (𝑛 = 𝑋 ↔ 𝑦 = 𝑋))
28		csbeq1a 3893	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → 𝐴 = ⦋𝑦 / 𝑛⦌𝐴)
29	27, 28	ifbieq1d 4530	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = if(𝑦 = 𝑋, ⦋𝑦 / 𝑛⦌𝐴, 0 ))
30	22, 26, 29	cbvmpt 5228	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 )) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, ⦋𝑦 / 𝑛⦌𝐴, 0 ))
31	12, 30	eqtri 2759	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, ⦋𝑦 / 𝑛⦌𝐴, 0 ))
32		iftrue 4511	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → if(𝑦 = 𝑋, ⦋𝑦 / 𝑛⦌𝐴, 0 ) = ⦋𝑦 / 𝑛⦌𝐴)
33		csbeq1 3882	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → ⦋𝑦 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑋 / 𝑛⦌𝐴)
34	32, 33	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → if(𝑦 = 𝑋, ⦋𝑦 / 𝑛⦌𝐴, 0 ) = ⦋𝑋 / 𝑛⦌𝐴)
35		rspcsbela 4418	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐼 𝐴 ∈ (Base‘𝐺)) → ⦋𝑋 / 𝑛⦌𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
36	5, 6, 35	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑋 / 𝑛⦌𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
37	31, 34, 5, 36	fvmptd3 7014	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = ⦋𝑋 / 𝑛⦌𝐴)
38	21, 37	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ⦋𝑋 / 𝑛⦌𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ⦋csb 3879   ∖ cdif 3928  ifcif 4505  {csn 4606   ↦ cmpt 5206  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   supp csupp 8164  Basecbs 17233  0_gc0g 17458   Σ_g cgsu 17459  Mndcmnd 18717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-iin 4975  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-oi 9529  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-hash 14354  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-mre 17603  df-mrc 17604  df-acs 17606  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-submnd 18767  df-mulg 19056  df-cntz 19305  df-cmn 19768

This theorem is referenced by:  gsummptif1n0  19952  gsummoncoe1  22251  scmatscm  22456  idpm2idmp  22744  mp2pm2mplem4  22752  monmat2matmon  22767