MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummpt1n0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsummpt1n0 19924
Description: If only one summand in a finite group sum is not zero, the whole sum equals this summand. More general version of gsummptif1n0 19925. (Contributed by AV, 11-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummpt1n0.0 0 = (0g𝐺)
gsummpt1n0.g (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
gsummpt1n0.i (𝜑𝐼𝑊)
gsummpt1n0.x (𝜑𝑋𝐼)
gsummpt1n0.f 𝐹 = (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
gsummpt1n0.a (𝜑 → ∀𝑛𝐼 𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
Assertion
Ref Expression
gsummpt1n0 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = 𝑋 / 𝑛𝐴)
Distinct variable groups:   𝑛,𝐺   𝑛,𝐼   𝑛,𝑋   𝜑,𝑛   0 ,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝑊(𝑛)

Proof of Theorem gsummpt1n0
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2725 . . 3 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2 gsummpt1n0.0 . . 3 0 = (0g𝐺)
3 gsummpt1n0.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
4 gsummpt1n0.i . . 3 (𝜑𝐼𝑊)
5 gsummpt1n0.x . . 3 (𝜑𝑋𝐼)
6 gsummpt1n0.a . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑛𝐼 𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
76r19.21bi 3239 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐼) → 𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
81, 2mndidcl 18708 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ (Base‘𝐺))
93, 8syl 17 . . . . . 6 (𝜑0 ∈ (Base‘𝐺))
109adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐼) → 0 ∈ (Base‘𝐺))
117, 10ifcld 4570 . . . 4 ((𝜑𝑛𝐼) → if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ) ∈ (Base‘𝐺))
12 gsummpt1n0.f . . . 4 𝐹 = (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
1311, 12fmptd 7119 . . 3 (𝜑𝐹:𝐼⟶(Base‘𝐺))
1412oveq1i 7426 . . . 4 (𝐹 supp 0 ) = ((𝑛𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 )
15 eldifsni 4789 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋}) → 𝑛𝑋)
1615adantl 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋})) → 𝑛𝑋)
17 ifnefalse 4536 . . . . . 6 (𝑛𝑋 → if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = 0 )
1816, 17syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋})) → if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = 0 )
1918, 4suppss2 8204 . . . 4 (𝜑 → ((𝑛𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ⊆ {𝑋})
2014, 19eqsstrid 4021 . . 3 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ {𝑋})
211, 2, 3, 4, 5, 13, 20gsumpt 19921 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐹𝑋))
22 nfcv 2892 . . . . 5 𝑦if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 )
23 nfv 1909 . . . . . 6 𝑛 𝑦 = 𝑋
24 nfcsb1v 3909 . . . . . 6 𝑛𝑦 / 𝑛𝐴
25 nfcv 2892 . . . . . 6 𝑛 0
2623, 24, 25nfif 4554 . . . . 5 𝑛if(𝑦 = 𝑋, 𝑦 / 𝑛𝐴, 0 )
27 eqeq1 2729 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑦 → (𝑛 = 𝑋𝑦 = 𝑋))
28 csbeq1a 3898 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑦𝐴 = 𝑦 / 𝑛𝐴)
2927, 28ifbieq1d 4548 . . . . 5 (𝑛 = 𝑦 → if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = if(𝑦 = 𝑋, 𝑦 / 𝑛𝐴, 0 ))
3022, 26, 29cbvmpt 5254 . . . 4 (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 )) = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑦 / 𝑛𝐴, 0 ))
3112, 30eqtri 2753 . . 3 𝐹 = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑦 / 𝑛𝐴, 0 ))
32 iftrue 4530 . . . 4 (𝑦 = 𝑋 → if(𝑦 = 𝑋, 𝑦 / 𝑛𝐴, 0 ) = 𝑦 / 𝑛𝐴)
33 csbeq1 3887 . . . 4 (𝑦 = 𝑋𝑦 / 𝑛𝐴 = 𝑋 / 𝑛𝐴)
3432, 33eqtrd 2765 . . 3 (𝑦 = 𝑋 → if(𝑦 = 𝑋, 𝑦 / 𝑛𝐴, 0 ) = 𝑋 / 𝑛𝐴)
35 rspcsbela 4431 . . . 4 ((𝑋𝐼 ∧ ∀𝑛𝐼 𝐴 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑋 / 𝑛𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
365, 6, 35syl2anc 582 . . 3 (𝜑𝑋 / 𝑛𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
3731, 34, 5, 36fvmptd3 7023 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑋) = 𝑋 / 𝑛𝐴)
3821, 37eqtrd 2765 1 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = 𝑋 / 𝑛𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2930  wral 3051  csb 3884  cdif 3936  ifcif 4524  {csn 4624  cmpt 5226  cfv 6543  (class class class)co 7416   supp csupp 8163  Basecbs 17179  0gc0g 17420   Σg cgsu 17421  Mndcmnd 18693
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-hash 14322  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-mulg 19028  df-cntz 19272  df-cmn 19741
This theorem is referenced by:  gsummptif1n0  19925  gsummoncoe1  22236  scmatscm  22433  idpm2idmp  22721  mp2pm2mplem4  22729  monmat2matmon  22744
  Copyright terms: Public domain W3C validator