MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummpt1n0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsummpt1n0 19870
Description: If only one summand in a finite group sum is not zero, the whole sum equals this summand. More general version of gsummptif1n0 19871. (Contributed by AV, 11-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummpt1n0.0 0 = (0g𝐺)
gsummpt1n0.g (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
gsummpt1n0.i (𝜑𝐼𝑊)
gsummpt1n0.x (𝜑𝑋𝐼)
gsummpt1n0.f 𝐹 = (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
gsummpt1n0.a (𝜑 → ∀𝑛𝐼 𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
Assertion
Ref Expression
gsummpt1n0 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = 𝑋 / 𝑛𝐴)
Distinct variable groups:   𝑛,𝐺   𝑛,𝐼   𝑛,𝑋   𝜑,𝑛   0 ,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝑊(𝑛)

Proof of Theorem gsummpt1n0
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2724 . . 3 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2 gsummpt1n0.0 . . 3 0 = (0g𝐺)
3 gsummpt1n0.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
4 gsummpt1n0.i . . 3 (𝜑𝐼𝑊)
5 gsummpt1n0.x . . 3 (𝜑𝑋𝐼)
6 gsummpt1n0.a . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑛𝐼 𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
76r19.21bi 3240 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐼) → 𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
81, 2mndidcl 18669 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ (Base‘𝐺))
93, 8syl 17 . . . . . 6 (𝜑0 ∈ (Base‘𝐺))
109adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐼) → 0 ∈ (Base‘𝐺))
117, 10ifcld 4566 . . . 4 ((𝜑𝑛𝐼) → if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ) ∈ (Base‘𝐺))
12 gsummpt1n0.f . . . 4 𝐹 = (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
1311, 12fmptd 7105 . . 3 (𝜑𝐹:𝐼⟶(Base‘𝐺))
1412oveq1i 7411 . . . 4 (𝐹 supp 0 ) = ((𝑛𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 )
15 eldifsni 4785 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋}) → 𝑛𝑋)
1615adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋})) → 𝑛𝑋)
17 ifnefalse 4532 . . . . . 6 (𝑛𝑋 → if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = 0 )
1816, 17syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋})) → if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = 0 )
1918, 4suppss2 8180 . . . 4 (𝜑 → ((𝑛𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ⊆ {𝑋})
2014, 19eqsstrid 4022 . . 3 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ {𝑋})
211, 2, 3, 4, 5, 13, 20gsumpt 19867 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐹𝑋))
22 nfcv 2895 . . . . 5 𝑦if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 )
23 nfv 1909 . . . . . 6 𝑛 𝑦 = 𝑋
24 nfcsb1v 3910 . . . . . 6 𝑛𝑦 / 𝑛𝐴
25 nfcv 2895 . . . . . 6 𝑛 0
2623, 24, 25nfif 4550 . . . . 5 𝑛if(𝑦 = 𝑋, 𝑦 / 𝑛𝐴, 0 )
27 eqeq1 2728 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑦 → (𝑛 = 𝑋𝑦 = 𝑋))
28 csbeq1a 3899 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑦𝐴 = 𝑦 / 𝑛𝐴)
2927, 28ifbieq1d 4544 . . . . 5 (𝑛 = 𝑦 → if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = if(𝑦 = 𝑋, 𝑦 / 𝑛𝐴, 0 ))
3022, 26, 29cbvmpt 5249 . . . 4 (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 )) = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑦 / 𝑛𝐴, 0 ))
3112, 30eqtri 2752 . . 3 𝐹 = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑦 / 𝑛𝐴, 0 ))
32 iftrue 4526 . . . 4 (𝑦 = 𝑋 → if(𝑦 = 𝑋, 𝑦 / 𝑛𝐴, 0 ) = 𝑦 / 𝑛𝐴)
33 csbeq1 3888 . . . 4 (𝑦 = 𝑋𝑦 / 𝑛𝐴 = 𝑋 / 𝑛𝐴)
3432, 33eqtrd 2764 . . 3 (𝑦 = 𝑋 → if(𝑦 = 𝑋, 𝑦 / 𝑛𝐴, 0 ) = 𝑋 / 𝑛𝐴)
35 rspcsbela 4427 . . . 4 ((𝑋𝐼 ∧ ∀𝑛𝐼 𝐴 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑋 / 𝑛𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
365, 6, 35syl2anc 583 . . 3 (𝜑𝑋 / 𝑛𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
3731, 34, 5, 36fvmptd3 7011 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑋) = 𝑋 / 𝑛𝐴)
3821, 37eqtrd 2764 1 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = 𝑋 / 𝑛𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2932  wral 3053  csb 3885  cdif 3937  ifcif 4520  {csn 4620  cmpt 5221  cfv 6533  (class class class)co 7401   supp csupp 8140  Basecbs 17140  0gc0g 17381   Σg cgsu 17382  Mndcmnd 18654
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-fsupp 9357  df-oi 9500  df-card 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18560  df-sgrp 18639  df-mnd 18655  df-submnd 18701  df-mulg 18983  df-cntz 19218  df-cmn 19687
This theorem is referenced by:  gsummptif1n0  19871  gsummoncoe1  22138  scmatscm  22325  idpm2idmp  22613  mp2pm2mplem4  22621  monmat2matmon  22636
  Copyright terms: Public domain W3C validator