Theorem gsummpt1n0 19084

Description: If only one summand in a finite group sum is not zero, the whole sum equals this summand. More general version of gsummptif1n0 19085. (Contributed by AV, 11-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummpt1n0.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsummpt1n0.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
gsummpt1n0.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
gsummpt1n0.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
gsummpt1n0.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
gsummpt1n0.a	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝐼 𝐴 ∈ (Base‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
gsummpt1n0	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ⦋𝑋 / 𝑛⦌𝐴)

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺   𝑛,𝐼   𝑛,𝑋   𝜑,𝑛   0 ,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝑊(𝑛)

Proof of Theorem gsummpt1n0

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2821	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		gsummpt1n0.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsummpt1n0.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
4		gsummpt1n0.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		gsummpt1n0.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
6		gsummpt1n0.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝐼 𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
7	6	r19.21bi 3208	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
8	1, 2	mndidcl 17925	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ (Base‘𝐺))
9	3, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (Base‘𝐺))
10	9	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 0 ∈ (Base‘𝐺))
11	7, 10	ifcld 4511	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ) ∈ (Base‘𝐺))
12		gsummpt1n0.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
13	11, 12	fmptd 6877	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶(Base‘𝐺))
14	12	oveq1i 7165	. . . 4 ⊢ (𝐹 supp 0 ) = ((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 )
15		eldifsni 4721	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋}) → 𝑛 ≠ 𝑋)
16	15	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋})) → 𝑛 ≠ 𝑋)
17		ifnefalse 4478	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ≠ 𝑋 → if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = 0 )
18	16, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋})) → if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = 0 )
19	18, 4	suppss2 7863	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ⊆ {𝑋})
20	14, 19	eqsstrid 4014	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ {𝑋})
21	1, 2, 3, 4, 5, 13, 20	gsumpt 19081	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐹‘𝑋))
22		nfcv 2977	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 )
23		nfv 1911	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑦 = 𝑋
24		nfcsb1v 3906	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑦 / 𝑛⦌𝐴
25		nfcv 2977	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛 0
26	23, 24, 25	nfif 4495	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛if(𝑦 = 𝑋, ⦋𝑦 / 𝑛⦌𝐴, 0 )
27		eqeq1 2825	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → (𝑛 = 𝑋 ↔ 𝑦 = 𝑋))
28		csbeq1a 3896	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → 𝐴 = ⦋𝑦 / 𝑛⦌𝐴)
29	27, 28	ifbieq1d 4489	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = if(𝑦 = 𝑋, ⦋𝑦 / 𝑛⦌𝐴, 0 ))
30	22, 26, 29	cbvmpt 5166	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 )) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, ⦋𝑦 / 𝑛⦌𝐴, 0 ))
31	12, 30	eqtri 2844	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, ⦋𝑦 / 𝑛⦌𝐴, 0 ))
32		iftrue 4472	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → if(𝑦 = 𝑋, ⦋𝑦 / 𝑛⦌𝐴, 0 ) = ⦋𝑦 / 𝑛⦌𝐴)
33		csbeq1 3885	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → ⦋𝑦 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑋 / 𝑛⦌𝐴)
34	32, 33	eqtrd 2856	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → if(𝑦 = 𝑋, ⦋𝑦 / 𝑛⦌𝐴, 0 ) = ⦋𝑋 / 𝑛⦌𝐴)
35		rspcsbela 4386	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐼 𝐴 ∈ (Base‘𝐺)) → ⦋𝑋 / 𝑛⦌𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
36	5, 6, 35	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑋 / 𝑛⦌𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
37	31, 34, 5, 36	fvmptd3 6790	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = ⦋𝑋 / 𝑛⦌𝐴)
38	21, 37	eqtrd 2856	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ⦋𝑋 / 𝑛⦌𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ∀wral 3138  ⦋csb 3882   ∖ cdif 3932  ifcif 4466  {csn 4566   ↦ cmpt 5145  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155   supp csupp 7829  Basecbs 16482  0_gc0g 16712   Σ_g cgsu 16713  Mndcmnd 17910

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-iin 4921  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-supp 7830  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-fsupp 8833  df-oi 8973  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11699  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-hash 13690  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-0g 16714  df-gsum 16715  df-mre 16856  df-mrc 16857  df-acs 16859  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-submnd 17956  df-mulg 18224  df-cntz 18446  df-cmn 18907

This theorem is referenced by:  gsummptif1n0  19085  gsummoncoe1  20471  scmatscm  21121  idpm2idmp  21408  mp2pm2mplem4  21416  monmat2matmon  21431