Theorem swrdlen2 14614

Description: Length of an extracted subword. (Contributed by AV, 5-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
swrdlen2	⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (♯‘(𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩)) = (𝐿 − 𝐹))

Proof of Theorem swrdlen2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1142	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝑆 ∈ Word 𝑉)
2		simpl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) → 𝐹 ∈ ℕ0)
3		eluznn0 12858	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
4		eluzle 12792	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹) → 𝐹 ≤ 𝐿)
5	4	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) → 𝐹 ≤ 𝐿)
6	2, 3, 5	3jca 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) → (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 ≤ 𝐿))
7	6	3ad2ant2 1140	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 ≤ 𝐿))
8		elfz2nn0 13563	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (0...𝐿) ↔ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 ≤ 𝐿))
9	7, 8	sylibr 235	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝐹 ∈ (0...𝐿))
10	3	3ad2ant2 1140	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
11		lencl 14486	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
12	11	3ad2ant1 1139	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
13		simp3 1144	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝐿 ≤ (♯‘𝑆))
14	10, 12, 13	3jca 1134	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)))
15		elfz2nn0 13563	. . 3 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ↔ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)))
16	14, 15	sylibr 235	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
17		swrdlen 14601	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩)) = (𝐿 − 𝐹))
18	1, 9, 16, 17	syl3anc 1379	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (♯‘(𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩)) = (𝐿 − 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ⟨cop 4561   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  0cc0 11029   ≤ cle 11171   − cmin 11368  ℕ₀cn0 12428  ℤ_≥cuz 12779  ...cfz 13452  ♯chash 14283  Word cword 14466   substr csubstr 14594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-hash 14284  df-word 14467  df-substr 14595

This theorem is referenced by:  swrdsbslen  14618  swrdspsleq  14619