Theorem swrdlen 13673

Description: Length of an extracted subword. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
swrdlen	⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩)) = (𝐿 − 𝐹))

Proof of Theorem swrdlen

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6424	. . . . 5 ⊢ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹)) ∈ V
2		eqid 2799	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹)))
3	1, 2	fnmpti 6233	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹))) Fn (0..^(𝐿 − 𝐹))
4		swrdval2 13670	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹))))
5	4	fneq1d 6192	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → ((𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) Fn (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↔ (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹))) Fn (0..^(𝐿 − 𝐹))))
6	3, 5	mpbiri 250	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) Fn (0..^(𝐿 − 𝐹)))
7		hashfn 13414	. . 3 ⊢ ((𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) Fn (0..^(𝐿 − 𝐹)) → (♯‘(𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩)) = (♯‘(0..^(𝐿 − 𝐹))))
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩)) = (♯‘(0..^(𝐿 − 𝐹))))
9		fznn0sub 12627	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (0...𝐿) → (𝐿 − 𝐹) ∈ ℕ0)
10	9	3ad2ant2 1165	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝐿 − 𝐹) ∈ ℕ0)
11		hashfzo0 13466	. . 3 ⊢ ((𝐿 − 𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(𝐿 − 𝐹))) = (𝐿 − 𝐹))
12	10, 11	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(0..^(𝐿 − 𝐹))) = (𝐿 − 𝐹))
13	8, 12	eqtrd 2833	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩)) = (𝐿 − 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1108   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  ⟨cop 4374   ↦ cmpt 4922   Fn wfn 6096  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878  0cc0 10224   + caddc 10227   − cmin 10556  ℕ₀cn0 11580  ...cfz 12580  ..^cfzo 12720  ♯chash 13370  Word cword 13534   substr csubstr 13664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-card 9051  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-hash 13371  df-word 13535  df-substr 13665

This theorem is referenced by:  swrdf  13676  swrdrlen  13688  swrdlen2  13698  swrds1  13705  ccatswrd  13710  swrdccat2  13712  ccatpfx  13744  swrdswrd  13748  pfxccatin12lem2  13792  swrdccatin12lem2OLD  13793  pfxccatin12  13795  swrdccatin12OLD  13796  spllen  13830  spllenOLD  13831  splfv1OLD  13833  splfv2aOLD  13835  cshwlen  13884  cshwidxmod  13888  efgredleme  18470