Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdlen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdlen 13850
 Description: Length of an extracted subword. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
swrdlen ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩)) = (𝐿𝐹))

Proof of Theorem swrdlen
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 6556 . . . . 5 (𝑆‘(𝑥 + 𝐹)) ∈ V
2 eqid 2795 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹)))
31, 2fnmpti 6364 . . . 4 (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹))) Fn (0..^(𝐿𝐹))
4 swrdval2 13849 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹))))
54fneq1d 6321 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → ((𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) Fn (0..^(𝐿𝐹)) ↔ (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹))) Fn (0..^(𝐿𝐹))))
63, 5mpbiri 259 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) Fn (0..^(𝐿𝐹)))
7 hashfn 13589 . . 3 ((𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) Fn (0..^(𝐿𝐹)) → (♯‘(𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩)) = (♯‘(0..^(𝐿𝐹))))
86, 7syl 17 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩)) = (♯‘(0..^(𝐿𝐹))))
9 fznn0sub 12794 . . . 4 (𝐹 ∈ (0...𝐿) → (𝐿𝐹) ∈ ℕ0)
1093ad2ant2 1127 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝐿𝐹) ∈ ℕ0)
11 hashfzo0 13644 . . 3 ((𝐿𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(𝐿𝐹))) = (𝐿𝐹))
1210, 11syl 17 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(0..^(𝐿𝐹))) = (𝐿𝐹))
138, 12eqtrd 2831 1 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩)) = (𝐿𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1080   = wceq 1522   ∈ wcel 2081  ⟨cop 4482   ↦ cmpt 5045   Fn wfn 6225  ‘cfv 6230  (class class class)co 7021  0cc0 10388   + caddc 10391   − cmin 10722  ℕ0cn0 11750  ...cfz 12747  ..^cfzo 12888  ♯chash 13545  Word cword 13712   substr csubstr 13843 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5086  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-cnex 10444  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464  ax-pre-mulgt0 10465 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-uni 4750  df-int 4787  df-iun 4831  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-pred 6028  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-om 7442  df-1st 7550  df-2nd 7551  df-wrecs 7803  df-recs 7865  df-rdg 7903  df-1o 7958  df-er 8144  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-fin 8366  df-card 9219  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-xr 10530  df-ltxr 10531  df-le 10532  df-sub 10724  df-neg 10725  df-nn 11492  df-n0 11751  df-z 11835  df-uz 12099  df-fz 12748  df-fzo 12889  df-hash 13546  df-word 13713  df-substr 13844 This theorem is referenced by:  swrdf  13853  swrdrlen  13862  swrdlen2  13863  swrds1  13869  ccatswrd  13871  swrdccat2  13872  ccatpfx  13904  swrdswrd  13908  pfxccatin12lem2  13934  pfxccatin12  13936  spllen  13957  cshwlen  14002  cshwidxmod  14006  efgredleme  18601
 Copyright terms: Public domain W3C validator