Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tng0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tng0 23251
 Description: The group identity of a structure augmented with a norm. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngbas.t 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tng0.2 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
tng0 (𝑁𝑉0 = (0g𝑇))

Proof of Theorem tng0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tng0.2 . 2 0 = (0g𝐺)
2 eqidd 2822 . . 3 (𝑁𝑉 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
3 tngbas.t . . . 4 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
4 eqid 2821 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
53, 4tngbas 23249 . . 3 (𝑁𝑉 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝑇))
6 eqid 2821 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
73, 6tngplusg 23250 . . . 4 (𝑁𝑉 → (+g𝐺) = (+g𝑇))
87oveqdr 7183 . . 3 ((𝑁𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑥(+g𝑇)𝑦))
92, 5, 8grpidpropd 17871 . 2 (𝑁𝑉 → (0g𝐺) = (0g𝑇))
101, 9syl5eq 2868 1 (𝑁𝑉0 = (0g𝑇))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155  Basecbs 16482  +gcplusg 16564  0gc0g 16712   toNrmGrp ctng 23187 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-plusg 16577  df-tset 16583  df-ds 16586  df-0g 16714  df-tng 23193 This theorem is referenced by:  tngnm  23259  tngngp  23262  tngngp3  23264  rrx0  23999
 Copyright terms: Public domain W3C validator