Theorem trlres 29721

Description: The restriction ⟨𝐻, 𝑄⟩ of a trail ⟨𝐹, 𝑃⟩ to an initial segment of the trail (of length 𝑁) forms a trail on the subgraph 𝑆 consisting of the edges in the initial segment. (Contributed by AV, 6-Mar-2021.) Hypothesis revised using the prefix operation. (Revised by AV, 30-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlres.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
trlres.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
trlres.d	⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
trlres.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
trlres.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 prefix 𝑁)
trlres.s	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
trlres.e	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
trlres.q	⊢ 𝑄 = (𝑃 ↾ (0...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
trlres	⊢ (𝜑 → 𝐻(Trails‘𝑆)𝑄)

Proof of Theorem trlres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlres.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		trlres.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3		trlres.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
4		trliswlk 29718	. . . 4 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
6		trlres.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
7		trlres.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
8		trlres.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
9		trlres.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐹 prefix 𝑁)
10		trlres.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑃 ↾ (0...𝑁))
11	1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10	wlkres 29691	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻(Walks‘𝑆)𝑄)
12	1, 2, 3, 6, 9	trlreslem 29720	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
13		f1of1 6771	. . 3 ⊢ (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
14		df-f1 6495	. . . 4 ⊢ (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) ↔ (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) ∧ Fun ◡𝐻))
15	14	simprbi 496	. . 3 ⊢ (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) → Fun ◡𝐻)
16	12, 13, 15	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun ◡𝐻)
17		istrl 29717	. 2 ⊢ (𝐻(Trails‘𝑆)𝑄 ↔ (𝐻(Walks‘𝑆)𝑄 ∧ Fun ◡𝐻))
18	11, 16, 17	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻(Trails‘𝑆)𝑄)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5096  ^◡ccnv 5621  dom cdm 5622   ↾ cres 5624   “ cima 5625  Fun wfun 6484  ⟶wf 6486  –1-1→wf1 6487  –1-1-onto→wf1o 6489  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  0cc0 11024  ...cfz 13421  ..^cfzo 13568  ♯chash 14251   prefix cpfx 14592  Vtxcvtx 29018  iEdgciedg 29019  Walkscwlks 29619  Trailsctrls 29711

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8763  df-pm 8764  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-hash 14252  df-word 14435  df-substr 14563  df-pfx 14593  df-wlks 29622  df-trls 29713

This theorem is referenced by: (None)