Theorem trlres 30283

Description: The restriction ⟨𝐻, 𝑄⟩ of a trail ⟨𝐹, 𝑃⟩ to an initial segment of the trail (of length 𝑁) forms a trail on the subgraph 𝑆 consisting of the edges in the initial segment. (Contributed by AV, 6-Mar-2021.) Hypothesis revised using the prefix operation. (Revised by AV, 30-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlres.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
trlres.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
trlres.d	⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
trlres.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
trlres.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 prefix 𝑁)
trlres.s	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
trlres.e	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
trlres.q	⊢ 𝑄 = (𝑃 ↾ (0...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
trlres	⊢ (𝜑 → 𝐻(Trails‘𝑆)𝑄)

Proof of Theorem trlres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlres.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		trlres.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3		trlres.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
4		trliswlk 30280	. . . 4 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
5	3, 4	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
6		trlres.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
7		trlres.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
8		trlres.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
9		trlres.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐹 prefix 𝑁)
10		trlres.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑃 ↾ (0...𝑁))
11	1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10	wlkres 30249	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻(Walks‘𝑆)𝑄)
12	1, 2, 3, 6, 9	trlreslem 30282	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
13		f1of1 6823	. . 3 ⊢ (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
14		df-f1 6543	. . . 4 ⊢ (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) ↔ (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) ∧ Fun ◡𝐻))
15	14	simprbi 503	. . 3 ⊢ (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) → Fun ◡𝐻)
16	12, 13, 15	3syl 19	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun ◡𝐻)
17		istrl 30279	. 2 ⊢ (𝐻(Trails‘𝑆)𝑄 ↔ (𝐻(Walks‘𝑆)𝑄 ∧ Fun ◡𝐻))
18	11, 16, 17	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻(Trails‘𝑆)𝑄)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ^◡ccnv 5650  dom cdm 5651   ↾ cres 5653   “ cima 5654  Fun wfun 6532  ⟶wf 6534  –1-1→wf1 6535  –1-1-onto→wf1o 6537  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11200  ...cfz 13639  ..^cfzo 13788  ♯chash 14474   prefix cpfx 14820  Vtxcvtx 29574  iEdgciedg 29575  Walkscwlks 30177  Trailsctrls 30273

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-hash 14475  df-word 14659  df-substr 14789  df-pfx 14821  df-wlks 30180  df-trls 30275

This theorem is used by: (None)