Theorem trlres 29843

Description: The restriction ⟨𝐻, 𝑄⟩ of a trail ⟨𝐹, 𝑃⟩ to an initial segment of the trail (of length 𝑁) forms a trail on the subgraph 𝑆 consisting of the edges in the initial segment. (Contributed by AV, 6-Mar-2021.) Hypothesis revised using the prefix operation. (Revised by AV, 30-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlres.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
trlres.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
trlres.d	⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
trlres.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
trlres.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 prefix 𝑁)
trlres.s	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
trlres.e	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
trlres.q	⊢ 𝑄 = (𝑃 ↾ (0...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
trlres	⊢ (𝜑 → 𝐻(Trails‘𝑆)𝑄)

Proof of Theorem trlres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlres.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		trlres.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3		trlres.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
4		trliswlk 29840	. . . 4 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
6		trlres.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
7		trlres.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
8		trlres.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
9		trlres.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐹 prefix 𝑁)
10		trlres.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑃 ↾ (0...𝑁))
11	1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10	wlkres 29813	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻(Walks‘𝑆)𝑄)
12	1, 2, 3, 6, 9	trlreslem 29842	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
13		f1of1 6799	. . 3 ⊢ (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
14		df-f1 6520	. . . 4 ⊢ (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) ↔ (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) ∧ Fun ◡𝐻))
15	14	simprbi 501	. . 3 ⊢ (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) → Fun ◡𝐻)
16	12, 13, 15	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun ◡𝐻)
17		istrl 29839	. 2 ⊢ (𝐻(Trails‘𝑆)𝑄 ↔ (𝐻(Walks‘𝑆)𝑄 ∧ Fun ◡𝐻))
18	11, 16, 17	sylanbrc 592	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻(Trails‘𝑆)𝑄)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5099  ^◡ccnv 5644  dom cdm 5645   ↾ cres 5647   “ cima 5648  Fun wfun 6509  ⟶wf 6511  –1-1→wf1 6512  –1-1-onto→wf1o 6514  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  0cc0 11068  ...cfz 13507  ..^cfzo 13654  ♯chash 14338   prefix cpfx 14679  Vtxcvtx 29141  iEdgciedg 29142  Walkscwlks 29741  Trailsctrls 29833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7712  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-ifp 1074  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-er 8671  df-map 8803  df-pm 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-card 9892  df-pnf 11213  df-mnf 11214  df-xr 11215  df-ltxr 11216  df-le 11217  df-sub 11411  df-neg 11412  df-nn 12206  df-n0 12477  df-z 12564  df-uz 12835  df-fz 13508  df-fzo 13655  df-hash 14339  df-word 14522  df-substr 14650  df-pfx 14680  df-wlks 29744  df-trls 29835

This theorem is referenced by: (None)