MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  upgrtrls Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem upgrtrls 29467
Description: The set of trails in a pseudograph, definition of walks expanded. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Oct-2017.) (Revised by AV, 7-Jan-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
upgrtrls.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
upgrtrls.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
upgrtrls (𝐺 ∈ UPGraph β†’ (Trailsβ€˜πΊ) = {βŸ¨π‘“, π‘βŸ© ∣ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun ◑𝑓) ∧ 𝑝:(0...(β™―β€˜π‘“))βŸΆπ‘‰ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘“))(πΌβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = {(π‘β€˜π‘˜), (π‘β€˜(π‘˜ + 1))})})
Distinct variable groups:   𝑓,𝐺,π‘˜,𝑝   𝑓,𝐼,π‘˜,𝑝   π‘˜,𝑉,𝑝
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem upgrtrls
StepHypRef Expression
1 trlsfval 29461 . 2 (Trailsβ€˜πΊ) = {βŸ¨π‘“, π‘βŸ© ∣ (𝑓(Walksβ€˜πΊ)𝑝 ∧ Fun ◑𝑓)}
2 upgrtrls.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
3 upgrtrls.i . . . . . 6 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
42, 3upgriswlk 29407 . . . . 5 (𝐺 ∈ UPGraph β†’ (𝑓(Walksβ€˜πΊ)𝑝 ↔ (𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑝:(0...(β™―β€˜π‘“))βŸΆπ‘‰ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘“))(πΌβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = {(π‘β€˜π‘˜), (π‘β€˜(π‘˜ + 1))})))
54anbi1d 629 . . . 4 (𝐺 ∈ UPGraph β†’ ((𝑓(Walksβ€˜πΊ)𝑝 ∧ Fun ◑𝑓) ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑝:(0...(β™―β€˜π‘“))βŸΆπ‘‰ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘“))(πΌβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = {(π‘β€˜π‘˜), (π‘β€˜(π‘˜ + 1))}) ∧ Fun ◑𝑓)))
6 an32 643 . . . . 5 (((𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ (𝑝:(0...(β™―β€˜π‘“))βŸΆπ‘‰ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘“))(πΌβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = {(π‘β€˜π‘˜), (π‘β€˜(π‘˜ + 1))})) ∧ Fun ◑𝑓) ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun ◑𝑓) ∧ (𝑝:(0...(β™―β€˜π‘“))βŸΆπ‘‰ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘“))(πΌβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = {(π‘β€˜π‘˜), (π‘β€˜(π‘˜ + 1))})))
7 3anass 1092 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑝:(0...(β™―β€˜π‘“))βŸΆπ‘‰ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘“))(πΌβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = {(π‘β€˜π‘˜), (π‘β€˜(π‘˜ + 1))}) ↔ (𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ (𝑝:(0...(β™―β€˜π‘“))βŸΆπ‘‰ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘“))(πΌβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = {(π‘β€˜π‘˜), (π‘β€˜(π‘˜ + 1))})))
87anbi1i 623 . . . . 5 (((𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑝:(0...(β™―β€˜π‘“))βŸΆπ‘‰ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘“))(πΌβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = {(π‘β€˜π‘˜), (π‘β€˜(π‘˜ + 1))}) ∧ Fun ◑𝑓) ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ (𝑝:(0...(β™―β€˜π‘“))βŸΆπ‘‰ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘“))(πΌβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = {(π‘β€˜π‘˜), (π‘β€˜(π‘˜ + 1))})) ∧ Fun ◑𝑓))
9 3anass 1092 . . . . 5 (((𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun ◑𝑓) ∧ 𝑝:(0...(β™―β€˜π‘“))βŸΆπ‘‰ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘“))(πΌβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = {(π‘β€˜π‘˜), (π‘β€˜(π‘˜ + 1))}) ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun ◑𝑓) ∧ (𝑝:(0...(β™―β€˜π‘“))βŸΆπ‘‰ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘“))(πΌβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = {(π‘β€˜π‘˜), (π‘β€˜(π‘˜ + 1))})))
106, 8, 93bitr4i 303 . . . 4 (((𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑝:(0...(β™―β€˜π‘“))βŸΆπ‘‰ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘“))(πΌβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = {(π‘β€˜π‘˜), (π‘β€˜(π‘˜ + 1))}) ∧ Fun ◑𝑓) ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun ◑𝑓) ∧ 𝑝:(0...(β™―β€˜π‘“))βŸΆπ‘‰ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘“))(πΌβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = {(π‘β€˜π‘˜), (π‘β€˜(π‘˜ + 1))}))
115, 10bitrdi 287 . . 3 (𝐺 ∈ UPGraph β†’ ((𝑓(Walksβ€˜πΊ)𝑝 ∧ Fun ◑𝑓) ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun ◑𝑓) ∧ 𝑝:(0...(β™―β€˜π‘“))βŸΆπ‘‰ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘“))(πΌβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = {(π‘β€˜π‘˜), (π‘β€˜(π‘˜ + 1))})))
1211opabbidv 5207 . 2 (𝐺 ∈ UPGraph β†’ {βŸ¨π‘“, π‘βŸ© ∣ (𝑓(Walksβ€˜πΊ)𝑝 ∧ Fun ◑𝑓)} = {βŸ¨π‘“, π‘βŸ© ∣ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun ◑𝑓) ∧ 𝑝:(0...(β™―β€˜π‘“))βŸΆπ‘‰ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘“))(πΌβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = {(π‘β€˜π‘˜), (π‘β€˜(π‘˜ + 1))})})
131, 12eqtrid 2778 1 (𝐺 ∈ UPGraph β†’ (Trailsβ€˜πΊ) = {βŸ¨π‘“, π‘βŸ© ∣ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun ◑𝑓) ∧ 𝑝:(0...(β™―β€˜π‘“))βŸΆπ‘‰ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘“))(πΌβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = {(π‘β€˜π‘˜), (π‘β€˜(π‘˜ + 1))})})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  {cpr 4625   class class class wbr 5141  {copab 5203  β—‘ccnv 5668  dom cdm 5669  Fun wfun 6531  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  ...cfz 13490  ..^cfzo 13633  β™―chash 14295  Word cword 14470  Vtxcvtx 28764  iEdgciedg 28765  UPGraphcupgr 28848  Walkscwlks 29362  Trailsctrls 29456
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-ifp 1060  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-hash 14296  df-word 14471  df-edg 28816  df-uhgr 28826  df-upgr 28850  df-wlks 29365  df-trls 29458
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator