Theorem upgrtrls 29839

Description: The set of trails in a pseudograph, definition of walks expanded. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Oct-2017.) (Revised by AV, 7-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrtrls.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upgrtrls.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
upgrtrls	⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (Trails‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝑓) ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐼‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))})})

Distinct variable groups:   𝑓,𝐺,𝑘,𝑝   𝑓,𝐼,𝑘,𝑝   𝑘,𝑉,𝑝

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem upgrtrls

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlsfval 29833	. 2 ⊢ (Trails‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡𝑓)}
2		upgrtrls.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3		upgrtrls.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
4	2, 3	upgriswlk 29780	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ↔ (𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐼‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))})))
5	4	anbi1d 639	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → ((𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡𝑓) ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐼‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))}) ∧ Fun ◡𝑓)))
6		an32 654	. . . . 5 ⊢ (((𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ (𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐼‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))})) ∧ Fun ◡𝑓) ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝑓) ∧ (𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐼‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))})))
7		3anass 1103	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐼‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))}) ↔ (𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ (𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐼‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))})))
8	7	anbi1i 632	. . . . 5 ⊢ (((𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐼‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))}) ∧ Fun ◡𝑓) ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ (𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐼‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))})) ∧ Fun ◡𝑓))
9		3anass 1103	. . . . 5 ⊢ (((𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝑓) ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐼‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))}) ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝑓) ∧ (𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐼‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))})))
10	6, 8, 9	3bitr4i 305	. . . 4 ⊢ (((𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐼‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))}) ∧ Fun ◡𝑓) ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝑓) ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐼‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))}))
11	5, 10	bitrdi 289	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → ((𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡𝑓) ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝑓) ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐼‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))})))
12	11	opabbidv 5160	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡𝑓)} = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝑓) ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐼‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))})})
13	1, 12	eqtrid 2803	1 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (Trails‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝑓) ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐼‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))})})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1095   = wceq 1554   ∈ wcel 2136  ∀wral 3070  {cpr 4578   class class class wbr 5094  {copab 5156  ^◡ccnv 5639  dom cdm 5640  Fun wfun 6504  ⟶wf 6506  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385  0cc0 11063  1c1 11064   + caddc 11066  ...cfz 13502  ..^cfzo 13649  ♯chash 14333  Word cword 14516  Vtxcvtx 29136  iEdgciedg 29137  UPGraphcupgr 29220  Walkscwlks 29736  Trailsctrls 29828

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-ifp 1072  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-1o 8425  df-2o 8426  df-oadd 8429  df-er 8666  df-map 8798  df-pm 8799  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-fin 8920  df-dju 9849  df-card 9887  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-nn 12201  df-2 12270  df-n0 12472  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12830  df-fz 13503  df-fzo 13650  df-hash 14334  df-word 14517  df-edg 29188  df-uhgr 29198  df-upgr 29222  df-wlks 29739  df-trls 29830

This theorem is referenced by: (None)