Theorem upgrtrls 29787

Description: The set of trails in a pseudograph, definition of walks expanded. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Oct-2017.) (Revised by AV, 7-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrtrls.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upgrtrls.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
upgrtrls	⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (Trails‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝑓) ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐼‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))})})

Distinct variable groups:   𝑓,𝐺,𝑘,𝑝   𝑓,𝐼,𝑘,𝑝   𝑘,𝑉,𝑝

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem upgrtrls

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlsfval 29781	. 2 ⊢ (Trails‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡𝑓)}
2		upgrtrls.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3		upgrtrls.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
4	2, 3	upgriswlk 29728	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ↔ (𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐼‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))})))
5	4	anbi1d 632	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → ((𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡𝑓) ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐼‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))}) ∧ Fun ◡𝑓)))
6		an32 647	. . . . 5 ⊢ (((𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ (𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐼‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))})) ∧ Fun ◡𝑓) ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝑓) ∧ (𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐼‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))})))
7		3anass 1095	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐼‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))}) ↔ (𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ (𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐼‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))})))
8	7	anbi1i 625	. . . . 5 ⊢ (((𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐼‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))}) ∧ Fun ◡𝑓) ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ (𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐼‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))})) ∧ Fun ◡𝑓))
9		3anass 1095	. . . . 5 ⊢ (((𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝑓) ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐼‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))}) ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝑓) ∧ (𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐼‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))})))
10	6, 8, 9	3bitr4i 303	. . . 4 ⊢ (((𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐼‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))}) ∧ Fun ◡𝑓) ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝑓) ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐼‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))}))
11	5, 10	bitrdi 287	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → ((𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡𝑓) ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝑓) ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐼‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))})))
12	11	opabbidv 5152	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡𝑓)} = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝑓) ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐼‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))})})
13	1, 12	eqtrid 2784	1 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (Trails‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝑓) ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐼‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))})})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  {cpr 4570   class class class wbr 5086  {copab 5148  ^◡ccnv 5625  dom cdm 5626  Fun wfun 6488  ⟶wf 6490  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  0cc0 11033  1c1 11034   + caddc 11036  ...cfz 13456  ..^cfzo 13603  ♯chash 14287  Word cword 14470  Vtxcvtx 29083  iEdgciedg 29084  UPGraphcupgr 29167  Walkscwlks 29684  Trailsctrls 29776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-oadd 8404  df-er 8638  df-map 8770  df-pm 8771  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-dju 9820  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-n0 12433  df-xnn0 12506  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-hash 14288  df-word 14471  df-edg 29135  df-uhgr 29145  df-upgr 29169  df-wlks 29687  df-trls 29778

This theorem is referenced by: (None)