Theorem upgrtrls 30218

Description: The set of trails in a pseudograph, definition of walks expanded. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Oct-2017.) (Revised by AV, 7-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrtrls.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upgrtrls.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
upgrtrls	⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (Trails‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝑓) ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐼‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))})})

Distinct variable groups:   𝑓,𝐺,𝑘,𝑝   𝑓,𝐼,𝑘,𝑝   𝑘,𝑉,𝑝

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem upgrtrls

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlsfval 30212	. 2 ⊢ (Trails‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡𝑓)}
2		upgrtrls.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3		upgrtrls.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
4	2, 3	upgriswlk 30155	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ↔ (𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐼‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))})))
5	4	anbi1d 643	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → ((𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡𝑓) ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐼‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))}) ∧ Fun ◡𝑓)))
6		an32 659	. . . . 5 ⊢ (((𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ (𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐼‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))})) ∧ Fun ◡𝑓) ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝑓) ∧ (𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐼‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))})))
7		3anass 1111	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐼‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))}) ↔ (𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ (𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐼‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))})))
8	7	anbi1i 636	. . . . 5 ⊢ (((𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐼‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))}) ∧ Fun ◡𝑓) ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ (𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐼‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))})) ∧ Fun ◡𝑓))
9		3anass 1111	. . . . 5 ⊢ (((𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝑓) ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐼‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))}) ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝑓) ∧ (𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐼‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))})))
10	6, 8, 9	3bitr4i 306	. . . 4 ⊢ (((𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐼‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))}) ∧ Fun ◡𝑓) ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝑓) ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐼‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))}))
11	5, 10	bitrdi 290	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → ((𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡𝑓) ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝑓) ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐼‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))})))
12	11	opabbidv 5170	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡𝑓)} = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝑓) ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐼‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))})})
13	1, 12	eqtrid 2807	1 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (Trails‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝑓) ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐼‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))})})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  {cpr 4585   class class class wbr 5102  {copab 5166  ^◡ccnv 5646  dom cdm 5647  Fun wfun 6521  ⟶wf 6523  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  0cc0 11172  1c1 11173   + caddc 11175  ...cfz 13609  ..^cfzo 13757  ♯chash 14442  Word cword 14626  Vtxcvtx 29508  iEdgciedg 29509  UPGraphcupgr 29592  Walkscwlks 30111  Trailsctrls 30207

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-dju 9954  df-card 9992  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-nn 12306  df-2 12375  df-n0 12577  df-xnn0 12650  df-z 12664  df-uz 12936  df-fz 13610  df-fzo 13758  df-hash 14443  df-word 14627  df-edg 29560  df-uhgr 29570  df-upgr 29594  df-wlks 30114  df-trls 30209

This theorem is used by: (None)