MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  upgr1eopALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem upgr1eopALT 28366
Description: Alternate proof of upgr1eop 28364, using the general theorem gropeld 28282 to transform a theorem for an arbitrary representation of a graph into a theorem for a graph represented as ordered pair. This general approach causes some overhead, which makes the proof longer than necessary (see proof of upgr1eop 28364). (Contributed by AV, 11-Oct-2020.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
upgr1eopALT (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩ ∈ UPGraph)

Proof of Theorem upgr1eopALT
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . . . 5 (Vtx‘𝑔) = (Vtx‘𝑔)
2 simpllr 774 . . . . 5 ((((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) ∧ ((Vtx‘𝑔) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑔) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})) → 𝐴𝑋)
3 simplrl 775 . . . . . 6 ((((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) ∧ ((Vtx‘𝑔) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑔) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})) → 𝐵𝑉)
4 eleq2 2822 . . . . . . 7 ((Vtx‘𝑔) = 𝑉 → (𝐵 ∈ (Vtx‘𝑔) ↔ 𝐵𝑉))
54ad2antrl 726 . . . . . 6 ((((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) ∧ ((Vtx‘𝑔) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑔) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})) → (𝐵 ∈ (Vtx‘𝑔) ↔ 𝐵𝑉))
63, 5mpbird 256 . . . . 5 ((((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) ∧ ((Vtx‘𝑔) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑔) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})) → 𝐵 ∈ (Vtx‘𝑔))
7 simplrr 776 . . . . . 6 ((((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) ∧ ((Vtx‘𝑔) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑔) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})) → 𝐶𝑉)
8 eleq2 2822 . . . . . . 7 ((Vtx‘𝑔) = 𝑉 → (𝐶 ∈ (Vtx‘𝑔) ↔ 𝐶𝑉))
98ad2antrl 726 . . . . . 6 ((((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) ∧ ((Vtx‘𝑔) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑔) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})) → (𝐶 ∈ (Vtx‘𝑔) ↔ 𝐶𝑉))
107, 9mpbird 256 . . . . 5 ((((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) ∧ ((Vtx‘𝑔) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑔) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})) → 𝐶 ∈ (Vtx‘𝑔))
11 simprr 771 . . . . 5 ((((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) ∧ ((Vtx‘𝑔) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑔) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})) → (iEdg‘𝑔) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
121, 2, 6, 10, 11upgr1e 28362 . . . 4 ((((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) ∧ ((Vtx‘𝑔) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑔) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})) → 𝑔 ∈ UPGraph)
1312ex 413 . . 3 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (((Vtx‘𝑔) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑔) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}) → 𝑔 ∈ UPGraph))
1413alrimiv 1930 . 2 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ∀𝑔(((Vtx‘𝑔) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑔) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}) → 𝑔 ∈ UPGraph))
15 simpll 765 . 2 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝑉𝑊)
16 snex 5430 . . 3 {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} ∈ V
1716a1i 11 . 2 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} ∈ V)
1814, 15, 17gropeld 28282 1 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩ ∈ UPGraph)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3474  {csn 4627  {cpr 4629  cop 4633  cfv 6540  Vtxcvtx 28245  iEdgciedg 28246  UPGraphcupgr 28329
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-hash 14287  df-vtx 28247  df-iedg 28248  df-upgr 28331
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator