Theorem fusgrfisbase 29411

Description: Induction base for fusgrfis 29413. Main work is done in uhgr0v0e 29321. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Jan-2018.) (Revised by AV, 23-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fusgrfisbase	⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph ∧ (♯‘𝑉) = 0) → 𝐸 ∈ Fin)

Proof of Theorem fusgrfisbase

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgruhgr 29269	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph → ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ UHGraph)
2	1	3ad2ant2 1135	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph ∧ (♯‘𝑉) = 0) → ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ UHGraph)
3		opvtxfv 29087	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = 𝑉)
4	3	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph ∧ (♯‘𝑉) = 0) → (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = 𝑉)
5		hasheq0 14316	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑋 → ((♯‘𝑉) = 0 ↔ 𝑉 = ∅))
6	5	biimpd 229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑋 → ((♯‘𝑉) = 0 → 𝑉 = ∅))
7	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → ((♯‘𝑉) = 0 → 𝑉 = ∅))
8	7	a1d 25	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph → ((♯‘𝑉) = 0 → 𝑉 = ∅)))
9	8	3imp 1111	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph ∧ (♯‘𝑉) = 0) → 𝑉 = ∅)
10	4, 9	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph ∧ (♯‘𝑉) = 0) → (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = ∅)
11		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩)
12		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩)
13	11, 12	uhgr0v0e 29321	. . . 4 ⊢ ((⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ UHGraph ∧ (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = ∅) → (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = ∅)
14	2, 10, 13	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph ∧ (♯‘𝑉) = 0) → (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = ∅)
15		0fi 8982	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
16	14, 15	eqeltrdi 2845	. 2 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph ∧ (♯‘𝑉) = 0) → (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin)
17		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩)
18	17, 12	usgredgffibi 29407	. . . 4 ⊢ (⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph → ((Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin ↔ (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin))
19	18	3ad2ant2 1135	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph ∧ (♯‘𝑉) = 0) → ((Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin ↔ (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin))
20		opiedgfv 29090	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = 𝐸)
21	20	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph ∧ (♯‘𝑉) = 0) → (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = 𝐸)
22	21	eleq1d 2822	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph ∧ (♯‘𝑉) = 0) → ((iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin ↔ 𝐸 ∈ Fin))
23	19, 22	bitrd 279	. 2 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph ∧ (♯‘𝑉) = 0) → ((Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin ↔ 𝐸 ∈ Fin))
24	16, 23	mpbid 232	1 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph ∧ (♯‘𝑉) = 0) → 𝐸 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∅c0 4274  ⟨cop 4574  ‘cfv 6492  Fincfn 8886  0cc0 11029  ♯chash 14283  Vtxcvtx 29079  iEdgciedg 29080  Edgcedg 29130  UHGraphcuhgr 29139  USGraphcusgr 29232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-hash 14284  df-vtx 29081  df-iedg 29082  df-edg 29131  df-uhgr 29141  df-upgr 29165  df-uspgr 29233  df-usgr 29234

This theorem is referenced by:  fusgrfis  29413