MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fusgrfisbase Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fusgrfisbase 27116
Description: Induction base for fusgrfis 27118. Main work is done in uhgr0v0e 27026. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Jan-2018.) (Revised by AV, 23-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
fusgrfisbase (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph ∧ (♯‘𝑉) = 0) → 𝐸 ∈ Fin)

Proof of Theorem fusgrfisbase
StepHypRef Expression
1 usgruhgr 26974 . . . . 5 (⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph → ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ UHGraph)
213ad2ant2 1131 . . . 4 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph ∧ (♯‘𝑉) = 0) → ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ UHGraph)
3 opvtxfv 26795 . . . . . 6 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = 𝑉)
433ad2ant1 1130 . . . . 5 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph ∧ (♯‘𝑉) = 0) → (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = 𝑉)
5 hasheq0 13727 . . . . . . . . 9 (𝑉𝑋 → ((♯‘𝑉) = 0 ↔ 𝑉 = ∅))
65biimpd 232 . . . . . . . 8 (𝑉𝑋 → ((♯‘𝑉) = 0 → 𝑉 = ∅))
76adantr 484 . . . . . . 7 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → ((♯‘𝑉) = 0 → 𝑉 = ∅))
87a1d 25 . . . . . 6 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → (⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph → ((♯‘𝑉) = 0 → 𝑉 = ∅)))
983imp 1108 . . . . 5 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph ∧ (♯‘𝑉) = 0) → 𝑉 = ∅)
104, 9eqtrd 2859 . . . 4 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph ∧ (♯‘𝑉) = 0) → (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = ∅)
11 eqid 2824 . . . . 5 (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩)
12 eqid 2824 . . . . 5 (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩)
1311, 12uhgr0v0e 27026 . . . 4 ((⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ UHGraph ∧ (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = ∅) → (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = ∅)
142, 10, 13syl2anc 587 . . 3 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph ∧ (♯‘𝑉) = 0) → (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = ∅)
15 0fin 8739 . . 3 ∅ ∈ Fin
1614, 15eqeltrdi 2924 . 2 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph ∧ (♯‘𝑉) = 0) → (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin)
17 eqid 2824 . . . . 5 (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩)
1817, 12usgredgffibi 27112 . . . 4 (⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph → ((Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin ↔ (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin))
19183ad2ant2 1131 . . 3 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph ∧ (♯‘𝑉) = 0) → ((Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin ↔ (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin))
20 opiedgfv 26798 . . . . 5 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = 𝐸)
21203ad2ant1 1130 . . . 4 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph ∧ (♯‘𝑉) = 0) → (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = 𝐸)
2221eleq1d 2900 . . 3 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph ∧ (♯‘𝑉) = 0) → ((iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin ↔ 𝐸 ∈ Fin))
2319, 22bitrd 282 . 2 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph ∧ (♯‘𝑉) = 0) → ((Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin ↔ 𝐸 ∈ Fin))
2416, 23mpbid 235 1 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph ∧ (♯‘𝑉) = 0) → 𝐸 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  c0 4276  cop 4556  cfv 6344  Fincfn 8501  0cc0 10531  chash 13693  Vtxcvtx 26787  iEdgciedg 26788  Edgcedg 26838  UHGraphcuhgr 26847  USGraphcusgr 26940
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-card 9361  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11695  df-n0 11893  df-z 11977  df-uz 12239  df-fz 12893  df-hash 13694  df-vtx 26789  df-iedg 26790  df-edg 26839  df-uhgr 26849  df-upgr 26873  df-uspgr 26941  df-usgr 26942
This theorem is referenced by:  fusgrfis  27118
  Copyright terms: Public domain W3C validator