Theorem fusgredgfi 28579

Description: In a finite simple graph the number of edges which contain a given vertex is also finite. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Jan-2018.) (Revised by AV, 21-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fusgredgfi.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
fusgredgfi.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
fusgredgfi	⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑒,𝑁   𝑒,𝑉

Proof of Theorem fusgredgfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fusgredgfi.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
2	1	fvexi 6905	. . 3 ⊢ 𝐸 ∈ V
3		rabexg 5331	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ V → {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ∈ V)
4	2, 3	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ∈ V)
5		fusgredgfi.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
6	5	isfusgr 28572	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin))
7		hashcl 14315	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0)
8	6, 7	simplbiim 505	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0)
9	8	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0)
10		fusgrusgr 28576	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
11	5, 1	usgredgleord 28487	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) ≤ (♯‘𝑉))
12	10, 11	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) ≤ (♯‘𝑉))
13		hashbnd 14295	. 2 ⊢ (({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ∈ V ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) ≤ (♯‘𝑉)) → {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ∈ Fin)
14	4, 9, 12, 13	syl3anc 1371	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432  Vcvv 3474   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  Fincfn 8938   ≤ cle 11248  ℕ₀cn0 12471  ♯chash 14289  Vtxcvtx 28253  Edgcedg 28304  USGraphcusgr 28406  FinUSGraphcfusgr 28570

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-oadd 8469  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-hash 14290  df-edg 28305  df-upgr 28339  df-uspgr 28407  df-usgr 28408  df-fusgr 28571

This theorem is referenced by:  usgrfilem  28581