Theorem fusgredgfi 27982

Description: In a finite simple graph the number of edges which contain a given vertex is also finite. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Jan-2018.) (Revised by AV, 21-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fusgredgfi.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
fusgredgfi.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
fusgredgfi	⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑒,𝑁   𝑒,𝑉

Proof of Theorem fusgredgfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fusgredgfi.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
2	1	fvexi 6840	. . 3 ⊢ 𝐸 ∈ V
3		rabexg 5276	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ V → {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ∈ V)
4	2, 3	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ∈ V)
5		fusgredgfi.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
6	5	isfusgr 27975	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin))
7		hashcl 14172	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0)
8	6, 7	simplbiim 505	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0)
9	8	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0)
10		fusgrusgr 27979	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
11	5, 1	usgredgleord 27890	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) ≤ (♯‘𝑉))
12	10, 11	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) ≤ (♯‘𝑉))
13		hashbnd 14152	. 2 ⊢ (({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ∈ V ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) ≤ (♯‘𝑉)) → {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ∈ Fin)
14	4, 9, 12, 13	syl3anc 1370	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {crab 3403  Vcvv 3441   class class class wbr 5093  ‘cfv 6480  Fincfn 8805   ≤ cle 11112  ℕ₀cn0 12335  ♯chash 14146  Vtxcvtx 27656  Edgcedg 27707  USGraphcusgr 27809  FinUSGraphcfusgr 27973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5230  ax-sep 5244  ax-nul 5251  ax-pow 5309  ax-pr 5373  ax-un 7651  ax-cnex 11029  ax-resscn 11030  ax-1cn 11031  ax-icn 11032  ax-addcl 11033  ax-addrcl 11034  ax-mulcl 11035  ax-mulrcl 11036  ax-mulcom 11037  ax-addass 11038  ax-mulass 11039  ax-distr 11040  ax-i2m1 11041  ax-1ne0 11042  ax-1rid 11043  ax-rnegex 11044  ax-rrecex 11045  ax-cnre 11046  ax-pre-lttri 11047  ax-pre-lttrn 11048  ax-pre-ltadd 11049  ax-pre-mulgt0 11050

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4271  df-if 4475  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4854  df-int 4896  df-iun 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5177  df-tr 5211  df-id 5519  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6239  df-ord 6306  df-on 6307  df-lim 6308  df-suc 6309  df-iota 6432  df-fun 6482  df-fn 6483  df-f 6484  df-f1 6485  df-fo 6486  df-f1o 6487  df-fv 6488  df-riota 7294  df-ov 7341  df-oprab 7342  df-mpo 7343  df-om 7782  df-1st 7900  df-2nd 7901  df-frecs 8168  df-wrecs 8199  df-recs 8273  df-rdg 8312  df-1o 8368  df-2o 8369  df-oadd 8372  df-er 8570  df-en 8806  df-dom 8807  df-sdom 8808  df-fin 8809  df-dju 9759  df-card 9797  df-pnf 11113  df-mnf 11114  df-xr 11115  df-ltxr 11116  df-le 11117  df-sub 11309  df-neg 11310  df-nn 12076  df-2 12138  df-n0 12336  df-xnn0 12408  df-z 12422  df-uz 12685  df-fz 13342  df-hash 14147  df-edg 27708  df-upgr 27742  df-uspgr 27810  df-usgr 27811  df-fusgr 27974

This theorem is referenced by:  usgrfilem  27984