Theorem wlk1ewlk 30221

Description: A walk is an s-walk "on the edge level" (with s=1) according to Aksoy et al. (Contributed by AV, 5-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
wlk1ewlk	⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 1))

Proof of Theorem wlk1ewlk

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . 3 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
2	1	wlkf 30196	. 2 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
3	1	wlk1walk 30220	. 2 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))1 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))))
4		wlkv 30194	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
5	4	simp1d 1160	. . 3 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐺 ∈ V)
6		1nn0 12623	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
7		nn0xnn0 12684	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℕ0*)
8	6, 7	mp1i 14	. . 3 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 1 ∈ ℕ0*)
9	1	isewlk 30184	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 1 ∈ ℕ0* ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) → (𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 1) ↔ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))1 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))))))
10	5, 8, 2, 9	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 1) ↔ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))1 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))))))
11	2, 3, 10	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  Vcvv 3451   ∩ cin 3898   class class class wbr 5103  dom cdm 5651  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  1c1 11202   ≤ cle 11345   − cmin 11542  ℕ₀cn0 12607  ℕ₀^*cxnn0 12680  ..^cfzo 13789  ♯chash 14475  Word cword 14659  iEdgciedg 29576   EdgWalks cewlks 30177  Walkscwlks 30178

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-pss 4035  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-er 8718  df-map 8850  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-n0 12608  df-xnn0 12681  df-z 12695  df-uz 12967  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-hash 14476  df-word 14660  df-ewlks 30180  df-wlks 30181

This theorem is used by: (None)