Theorem wlk1ewlk 29708

Description: A walk is an s-walk "on the edge level" (with s=1) according to Aksoy et al. (Contributed by AV, 5-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
wlk1ewlk	⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 1))

Proof of Theorem wlk1ewlk

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
2	1	wlkf 29683	. 2 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
3	1	wlk1walk 29707	. 2 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))1 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))))
4		wlkv 29681	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
5	4	simp1d 1143	. . 3 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐺 ∈ V)
6		1nn0 12453	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
7		nn0xnn0 12514	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℕ0*)
8	6, 7	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 1 ∈ ℕ0*)
9	1	isewlk 29671	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 1 ∈ ℕ0* ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) → (𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 1) ↔ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))1 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))))))
10	5, 8, 2, 9	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 1) ↔ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))1 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))))))
11	2, 3, 10	mpbir2and 714	1 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  Vcvv 3429   ∩ cin 3888   class class class wbr 5085  dom cdm 5631  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  1c1 11039   ≤ cle 11180   − cmin 11377  ℕ₀cn0 12437  ℕ₀^*cxnn0 12510  ..^cfzo 13608  ♯chash 14292  Word cword 14475  iEdgciedg 29066   EdgWalks cewlks 29664  Walkscwlks 29665

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-xnn0 12511  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-hash 14293  df-word 14476  df-ewlks 29667  df-wlks 29668

This theorem is referenced by: (None)