Theorem wlkf 29930

Description: The mapping enumerating the (indices of the) edges of a walk is a word over the indices of the edges of the graph. (Contributed by AV, 5-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
wlkf.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
wlkf	⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)

Proof of Theorem wlkf

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		wlkf.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3	1, 2	wlkprop 29927	. 2 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
4	3	simp1d 1158	1 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4  if-wif 1076   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  ∀wral 3077   ⊆ wss 3904  {csn 4588  {cpr 4590   class class class wbr 5108  dom cdm 5661  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11099  1c1 11100   + caddc 11102  ...cfz 13534  ..^cfzo 13682  ♯chash 14366  Word cword 14550  Vtxcvtx 29312  iEdgciedg 29313  Walkscwlks 29912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-ifp 1077  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-fzo 13683  df-hash 14367  df-word 14551  df-wlks 29915

This theorem is referenced by:  wlkcl  29931  iedginwlk  29952  wlk1ewlk  29955  wlkv0  29965  wlkonwlk1l  29977  wlkres  29984  redwlk  29986  wlkp1lem2  29988  wlkp1lem3  29989  wlkp1lem4  29990  wlkp1lem6  29992  wlkp1lem8  29994  wlkp1  29995  lfgriswlk  30002  trlf1  30012  trlreslem  30013  upgr2pthnlp  30047  uhgrwkspthlem1  30068  usgr2wlkspthlem1  30072  crctcshlem2  30133  crctcshlem4  30135  crctcshwlkn0  30136  eupth2eucrct  30534  eucrctshift  30560  eucrct2eupth  30562  pfxwlk  35582  revwlk  35583  swrdwlk  35585  upgrimwlklem5  48633  upgrimwlk  48634  upgrimwlklen  48635  upgrimtrlslem1  48636  upgrimtrlslem2  48637  upgrimtrls  48638  upgrimpths  48641  upgrimcycls  48643