Theorem wlkf 29542

Description: The mapping enumerating the (indices of the) edges of a walk is a word over the indices of the edges of the graph. (Contributed by AV, 5-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
wlkf.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
wlkf	⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)

Proof of Theorem wlkf

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		wlkf.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3	1, 2	wlkprop 29539	. 2 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
4	3	simp1d 1142	1 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4  if-wif 1062   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ⊆ wss 3914  {csn 4589  {cpr 4591   class class class wbr 5107  dom cdm 5638  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071  ...cfz 13468  ..^cfzo 13615  ♯chash 14295  Word cword 14478  Vtxcvtx 28923  iEdgciedg 28924  Walkscwlks 29524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-hash 14296  df-word 14479  df-wlks 29527

This theorem is referenced by:  wlkcl  29543  wksvOLD  29548  iedginwlk  29565  wlk1ewlk  29568  wlkv0  29579  wlkonwlk1l  29591  wlkres  29598  redwlk  29600  wlkp1lem2  29602  wlkp1lem3  29603  wlkp1lem4  29604  wlkp1lem6  29606  wlkp1lem8  29608  wlkp1  29609  lfgriswlk  29616  trlf1  29626  trlreslem  29627  upgr2pthnlp  29662  uhgrwkspthlem1  29683  usgr2wlkspthlem1  29687  crctcshlem2  29748  crctcshlem4  29750  crctcshwlkn0  29751  eupth2eucrct  30146  eucrctshift  30172  eucrct2eupth  30174  pfxwlk  35111  revwlk  35112  swrdwlk  35114  upgrimwlklem5  47901  upgrimwlk  47902  upgrimwlklen  47903  upgrimtrlslem1  47904  upgrimtrlslem2  47905  upgrimtrls  47906  upgrimpths  47909  upgrimcycls  47911