Theorem wlkf 29578

Description: The mapping enumerating the (indices of the) edges of a walk is a word over the indices of the edges of the graph. (Contributed by AV, 5-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
wlkf.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
wlkf	⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)

Proof of Theorem wlkf

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		wlkf.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3	1, 2	wlkprop 29575	. 2 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
4	3	simp1d 1142	1 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4  if-wif 1062   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ⊆ wss 3905  {csn 4579  {cpr 4581   class class class wbr 5095  dom cdm 5623  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031  ...cfz 13428  ..^cfzo 13575  ♯chash 14255  Word cword 14438  Vtxcvtx 28959  iEdgciedg 28960  Walkscwlks 29560

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-hash 14256  df-word 14439  df-wlks 29563

This theorem is referenced by:  wlkcl  29579  iedginwlk  29600  wlk1ewlk  29603  wlkv0  29613  wlkonwlk1l  29625  wlkres  29632  redwlk  29634  wlkp1lem2  29636  wlkp1lem3  29637  wlkp1lem4  29638  wlkp1lem6  29640  wlkp1lem8  29642  wlkp1  29643  lfgriswlk  29650  trlf1  29660  trlreslem  29661  upgr2pthnlp  29695  uhgrwkspthlem1  29716  usgr2wlkspthlem1  29720  crctcshlem2  29781  crctcshlem4  29783  crctcshwlkn0  29784  eupth2eucrct  30179  eucrctshift  30205  eucrct2eupth  30207  pfxwlk  35096  revwlk  35097  swrdwlk  35099  upgrimwlklem5  47885  upgrimwlk  47886  upgrimwlklen  47887  upgrimtrlslem1  47888  upgrimtrlslem2  47889  upgrimtrls  47890  upgrimpths  47893  upgrimcycls  47895