Theorem wlklenvm1 27100

Description: The number of edges of a walk is the number of its vertices minus 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jul-2018.) (Revised by AV, 2-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
wlklenvm1	⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1))

Proof of Theorem wlklenvm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlklenvp1 27097	. 2 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
2		oveq1 6977	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1) → ((♯‘𝑃) − 1) = (((♯‘𝐹) + 1) − 1))
3		wlkcl 27094	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
4	3	nn0cnd 11763	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
5		pncan1 10859	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℂ → (((♯‘𝐹) + 1) − 1) = (♯‘𝐹))
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (((♯‘𝐹) + 1) − 1) = (♯‘𝐹))
7	2, 6	sylan9eqr 2830	. . 3 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) → ((♯‘𝑃) − 1) = (♯‘𝐹))
8	7	eqcomd 2778	. 2 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) → (♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1))
9	1, 8	mpdan 674	1 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   class class class wbr 4923  ‘cfv 6182  (class class class)co 6970  ℂcc 10327  1c1 10330   + caddc 10332   − cmin 10664  ♯chash 13499  Walkscwlks 27075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10385  ax-resscn 10386  ax-1cn 10387  ax-icn 10388  ax-addcl 10389  ax-addrcl 10390  ax-mulcl 10391  ax-mulrcl 10392  ax-mulcom 10393  ax-addass 10394  ax-mulass 10395  ax-distr 10396  ax-i2m1 10397  ax-1ne0 10398  ax-1rid 10399  ax-rnegex 10400  ax-rrecex 10401  ax-cnre 10402  ax-pre-lttri 10403  ax-pre-lttrn 10404  ax-pre-ltadd 10405  ax-pre-mulgt0 10406

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-ifp 1044  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5306  df-eprel 5311  df-po 5320  df-so 5321  df-fr 5360  df-we 5362  df-xp 5407  df-rel 5408  df-cnv 5409  df-co 5410  df-dm 5411  df-rn 5412  df-res 5413  df-ima 5414  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7495  df-2nd 7496  df-wrecs 7744  df-recs 7806  df-rdg 7844  df-1o 7899  df-oadd 7903  df-er 8083  df-map 8202  df-en 8301  df-dom 8302  df-sdom 8303  df-fin 8304  df-card 9156  df-pnf 10470  df-mnf 10471  df-xr 10472  df-ltxr 10473  df-le 10474  df-sub 10666  df-neg 10667  df-nn 11434  df-n0 11702  df-z 11788  df-uz 12053  df-fz 12703  df-fzo 12844  df-hash 13500  df-word 13667  df-wlks 27078

This theorem is referenced by:  wlkeq  27112  uspgr2wlkeqi  27126  wlkonwlk1l  27141  wlksoneq1eq2  27142  wlklnwwlkln2lem  27363  wlknewwlksn  27368  wspthsnwspthsnon  27416  wspthsnonn0vne  27417  elwspths2spth  27467  clwlkclwwlkfolem  27511  clwlkclwwlkf1OLD  27514  clwlkclwwlkf1  27518  clwlknf1oclwwlknlem1  27599  clwlknf1oclwwlknlem1OLD  27600  clwlknf1oclwwlkn  27603  clwlknf1oclwwlknOLD  27605