MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlklenvm1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem wlklenvm1 29480
Description: The number of edges of a walk is the number of its vertices minus 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jul-2018.) (Revised by AV, 2-Jan-2021.)
Assertion
Ref Expression
wlklenvm1 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (β™―β€˜πΉ) = ((β™―β€˜π‘ƒ) βˆ’ 1))
Proof of Theorem wlklenvm1
StepHypRef Expression
1 wlklenvp1 29476 . 2 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (β™―β€˜π‘ƒ) = ((β™―β€˜πΉ) + 1))
2 oveq1 7423 . . . 4 ((β™―β€˜π‘ƒ) = ((β™―β€˜πΉ) + 1) β†’ ((β™―β€˜π‘ƒ) βˆ’ 1) = (((β™―β€˜πΉ) + 1) βˆ’ 1))
3 wlkcl 29473 . . . . . 6 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0)
43nn0cnd 12564 . . . . 5 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„‚)
5 pncan1 11668 . . . . 5 ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„‚ β†’ (((β™―β€˜πΉ) + 1) βˆ’ 1) = (β™―β€˜πΉ))
64, 5syl 17 . . . 4 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (((β™―β€˜πΉ) + 1) βˆ’ 1) = (β™―β€˜πΉ))
72, 6sylan9eqr 2787 . . 3 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = ((β™―β€˜πΉ) + 1)) β†’ ((β™―β€˜π‘ƒ) βˆ’ 1) = (β™―β€˜πΉ))
87eqcomd 2731 . 2 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = ((β™―β€˜πΉ) + 1)) β†’ (β™―β€˜πΉ) = ((β™―β€˜π‘ƒ) βˆ’ 1))
91, 8mpdan 685 1 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (β™―β€˜πΉ) = ((β™―β€˜π‘ƒ) βˆ’ 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  β„‚cc 11136  1c1 11139   + caddc 11141   βˆ’ cmin 11474  β™―chash 14321  Walkscwlks 29454
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-ifp 1061  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-hash 14322  df-word 14497  df-wlks 29457
This theorem is referenced by:  wlkeq  29492  uspgr2wlkeqi  29506  wlkonwlk1l  29521  wlksoneq1eq2  29522  wlklnwwlkln2lem  29737  wlknewwlksn  29742  wspthsnwspthsnon  29771  wspthsnonn0vne  29772  elwspths2spth  29822  clwlkclwwlkfolem  29861  clwlkclwwlkf1  29864  clwlknf1oclwwlknlem1  29935  clwlknf1oclwwlkn  29938  revwlk  34791
  Copyright terms: Public domain W3C validator