Theorem wrdeqs1cat 14433

Description: Decompose a nonempty word by separating off the first symbol. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 12-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
wrdeqs1cat	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊 = (⟨“(𝑊‘0)”⟩ ++ (𝑊 substr ⟨1, (♯‘𝑊)⟩)))

Proof of Theorem wrdeqs1cat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 483	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊 ∈ Word 𝐴)
2		wrdfin 14235	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → 𝑊 ∈ Fin)
3		1elfz0hash 14105	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Fin ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 1 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
4	2, 3	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 1 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
5		lennncl 14237	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
6	5	nnnn0d 12293	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
7		eluzfz2 13264	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘0) → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
8		nn0uz 12620	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
9	7, 8	eleq2s 2857	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
10	6, 9	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
11		ccatpfx 14414	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 1 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 prefix 1) ++ (𝑊 substr ⟨1, (♯‘𝑊)⟩)) = (𝑊 prefix (♯‘𝑊)))
12	1, 4, 10, 11	syl3anc 1370	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 prefix 1) ++ (𝑊 substr ⟨1, (♯‘𝑊)⟩)) = (𝑊 prefix (♯‘𝑊)))
13		pfx1 14416	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 prefix 1) = ⟨“(𝑊‘0)”⟩)
14	13	oveq1d 7290	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 prefix 1) ++ (𝑊 substr ⟨1, (♯‘𝑊)⟩)) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩ ++ (𝑊 substr ⟨1, (♯‘𝑊)⟩)))
15		pfxid 14397	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝑊 prefix (♯‘𝑊)) = 𝑊)
16	15	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 prefix (♯‘𝑊)) = 𝑊)
17	12, 14, 16	3eqtr3rd 2787	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊 = (⟨“(𝑊‘0)”⟩ ++ (𝑊 substr ⟨1, (♯‘𝑊)⟩)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∅c0 4256  ⟨cop 4567  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Fincfn 8733  0cc0 10871  1c1 10872  ℕ₀cn0 12233  ℤ_≥cuz 12582  ...cfz 13239  ♯chash 14044  Word cword 14217   ++ cconcat 14273  ⟨“cs1 14300   substr csubstr 14353   prefix cpfx 14383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218  df-concat 14274  df-s1 14301  df-substr 14354  df-pfx 14384

This theorem is referenced by: (None)